人教A版高中数学第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难) (32)(有解析)

第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难)(32)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1-己知向量方=(sin(<ox),cos(a>%)),K=(cos(o>x),—Bcos((ox))且函数/'(x)=a-B的两条对称轴

之间的最小距离为》

(I)若方程/'(x)-m=0恰好在xG玲?］有两个不同实根Xi，%求实数m的取值范围及乙+%2

的值.

(II)设函数g(%)=ox+b,且｛y|y=g(x),xe[1,2]｝=卜|y=e格,朗｝,求实数a,b

的值.

2.已知函数/'(x)=Asin(3x+w)(A>0,3>0,0<s<兀)，在一周期内，当％=•^时，了取得最大

值3,当％=工时，>取得最小值一3.

(1)求函数“X)的解析式；

(2)求函数的单调递增区间；

⑶当勺时，求函数f(x)的最值及对应x的值.

3.已知134BC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若(2a—c)cosB—bcosC=0.

(1)求角B的大小；

(2)若b=2,求团力BC周长的取值范围.

4.已知函数/'(x)=cos2a)x+V3sina)xsin(wx-1)(3>0)的最小正周期为兀.

(1)求/Q)的对称轴和单调递增区间；

(2)求/(x)在区间［0,自上的值域.

5.已知函数/'(x)=2sin卜万-(x€R).

X

2x--027T

3

2sin(2x—

(1)请结合所给表格，在所给的坐标系中作出函数/(X)一个周期内的简图;

r

卜1I------T

：X

―।Onitn里史n1理

6；63；3：66

-1

(2)求/(x)的最大值和最小值及取得最值时的x的集合;

(3)求使/(X)>1成立的x取值的集合.

6.已知函数f(x)=Asin(3尤+w),(尤GR)(其中4>0,3>0,0<W<其的图象与x轴的相邻两个

交点之间的距离为今且图象上一个最高点为Qg,3)

(1)求“X)的解析式和单调增区间；

(2)当尤e琮,堂,求/⑺的值域.

(3)将函数f(x)的图象向左平移。(0<0<9个单位后，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，得到函数g(x)的图象，且g(x)为偶函数，求。的值.

7.已知向量万一(cosi,—1),77=(v/3s>nx,

⑴当记〃和寸，求闻勺'2的值;

SIHX-V»>cosx

(2)已知在锐角△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，Vic=2asinQ4+B),函数

/(x)=(m+n)-m,求/(B)的取值范围.

sin(a-37r)+cos(7r-a)+sin(--a)-2cos(-+a),,/士

2

8.(1)已知tan(3;r+a)=3,试求:---------：-------------2——FrJta.

-sin(-a)+cos(7r+a)

(2)求函数的值域：/(%)=2COS2X+3sinx4-3xG

eo

9.已知函数/(%)=sin2%+acosx4--a--,aG/?.

82

(1)当Q=1时，求函数/(%)的最大值；

(2)若xe[0(],当aCR时，求函数f(x)的最大值.

10.在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极

坐标方程为p2(5-4cos2。)=9,直线/的极坐标方程为p(cos9+V3sin0)=4-73.

(1)若射线。=壬"薮分别与/交于4,8两点，求|4B|；

(II)若尸为曲线C上任意一点，求P到直线/的距离的最大值及此时尸点的直角坐标.

11.如图，在路边安装路灯，灯柱与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且

LABC12(),路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图阴影部分所示，已知N4CO=60。，路

宽4D=24(m),设灯柱高AB=NACB=9(30°W。445°).

(1)求灯柱的高九(用。表示)；

(2)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记所用材料长度和为S,求S关于。的函数表达式，并

求出S的最小值.

12.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系,

直线/的极坐标方程为psi"。+》=2,曲线C的参数方程为『二盥(。为参数).

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线C的普通方程；

(2)以曲线C上的动点M为圆心、r为半径的圆恰与直线/相切，求r的最小值.

13.如图所示为一张边长为1/n的正方形白纸A8C£>,点分别在边8c和CD上，现需要沿AM,

AN,MN将AADN,AABM,△CMN折起，使得折起后B,。两点重合.

(1)若折起后点C刚好落在折痕4V上，求折成的△力MN的面积;

(2)若C点必须落在△4MN内，求折成的44MN面积的最小值.

14.已知m-=(sinx,cosx),n-=(cosx,—cosx),设/(x)=mf-nf.

(1)当图时，求/(x)的值域；

(2)若锐角4/8C满足/'(C)=0,且不等式taM4+tan2jS+mtanAtanB4-1>0恒成立，求相的

取值范围.

15.记号"4”表示一种运算，即adb=Va2+b2+a+V3h>记/(x)=(sin2x)/(cos2久)

(1)求函数y=/(x)的表达式及最小正周期；

(2)若函数f(x)在x=出处取得最大值，若数列｛%｝满足;“，5)(〃e.V),求/(即)+/(a2)+

「缶3)的值.

[sin(j-x)tan(x+7r)-cos(7T-x)]2-1

16.已知/(x)4sin(^+x)+cos(7r-x)+cos(27r-x)

⑴求/(1860°)；

(2)若方程产(x)+(1+|a)sinx+2a=0在xG邑号上有两根，求实数«的范围•

No4

17.已知函数/'(%)=sinx+V3cosx,xGR.

(I)求f(x)的单调递增区间；

(II)设函数g(x)=[/(X)]2-2,XG[0,5，求g(x)的值域.

18.某市民公园改造规划平面示意图如图，经规划调研测定，该市民公园占地区域是半径为R的圆

面，该圆面的内接四边形ABCD是绿化用地，经测量得边界AB=1百米，BC=C0=2百米，

AD=3百米.

(1)求原绿化用地ABCD的面积和市民公园的占地面积；

(2)为提高绿化覆盖率，在保留边界48,8c不动的基础上，对边界C£>,AO进行调整，在圆弧

AOC上新设一点D',使改造后新的绿地ABC。'的面积最大，设乙4CD'=。(0<0<|兀),将ABCD'

的面积用。表示并求出求最大面积.

19.在△48C中，内角A,B,C的对边分别为mh,c,且bcos/=(Q—2c)cos(7T-8).

(1)求48的大小;

(2)若4c为钝角，求2的取值范围.

20.已知函数/'(x)=V3cosx-sin%.

(1)求函数f(x)的周期及最大值；

(2)将函数f(x)图像上所有的点向左平移g个单位，向上平移1个单位，得到函数g(x)的图像,

写出函数g(x)的表达式.

21.已知五=(V3cosx,cosx)>b=(sinx,cosx)>函数/'(x)=a-b-

(1)求/(x)的最小正周期及对称轴方程；

(2)当Xe(一兀,扪时;求f(x)单调递增区间.

22.设函数石=(2,m).

团求日〃至；

@求函数/在区间怔-3上的值域.

23.已知/⑺-6小in.《＜p3+与，将函数/(久)的图象向左平移卷个单位得到函数

y=g(x)的图象.

(1)求函数g(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)当xe［一,斗时，求函数g(x)的取值范围.

24.已知以角B为钝角的△ABC的内角4、B、C的对边分别为〃、氏c,沅=(a,2b),n=(A/3,-sin/1).

且沅1n.

(1)求角8的大小;

(2)求cosA+cosC的取值范围.

25.函数g(%)=sin%+cos%,函数/i(%)=sin%cosX,设函数f(%)=—九(工)+ag(%)-1,(其中

a>1)

(1)当g(%)=:时，求九。)的值；

(2)当Q=1时，求f(x)的值域;

(3)若函数在［0,乎］内有且只有一个零点，求a的取值范围.

26.已知函数/(%)=sinxcosx—V3sin2x.

(1)求f(x)在区间［0片］上的最小值；

(2)设ae&jr),/(|)=i-y,求sina的值.

27.在平面直角坐标系x。)，中，已知曲线G的参数方程为｛：二溜;°侬为参数),以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为p2=Spcos0+4psind-16.

(1)求曲线Ci的普通方程和圆C2的直角坐标方程；

(2)设点尸为曲线G上的点，直线/经过圆C2的圆心，且倾斜角为牛，求点尸到直线/的最大距

离.

28.已知函数/'(x)=sinxsin-x)+-圣⑴求/'(x)的最小正周期;

(2)求/(幻的单调区间.

29.已知0为坐标原点,0A=(2asin2x,a),OB=(1,-2V3sinxcosx+1),/(%)=OA・OB+b(a<b

且aA0).

(1)求y=/(%)的单调递增区间；

(2)若f(x)的定义域为碎㈤，值域[2,5],求mb的值.

30.3知函数f(%)=2sin2Q+x)-75cos2x.

(1)求f(x)的周期和单调递减区间.

(2)若关于x的方程/(x)-6=2在x6仁用上有解，求实数m的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：解：依题/(%)=a-b=sin(a)x)cos(cdx)—V3cos2(cox)

=1sin(2a)x)—乎[cos(2cox)+1]=sin(2wx——y

又因为两条对称轴之间的最小距离为5，

所以由「2=箸得：3=1,

•1•f(%)=sin(2x_今_*

(1)当》6卷用时，由图像性质知I:

/(X)在椁，W上递增，在售詈]上递减，在[詈用上递增,

当“工，f(x)取得最大值等，当*=詈时，/(x)取得最小值-竽,

且/©)=/©)=0，/©)=—争

所以旌(-萼，-同U[。,等)，/+&=耕尊

(II)易知{y[y=/(*),*e[py]]=[-V3.0],

当a>0时：g(x)在xe[l,2]上递增，满足：[一加=a}b,

(0=2a+b

解得：a=V3»b=­25/3.

当a<0时：g(x)在xe[1,2]上递减，满足：(Y=2：+b

解得：a=—V3,b=V3

综上所述：[a=遮或,a=-V3.

(b=-2V3(b=y/3

解析：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，y=As讥(3%+欠)

的图象和性质，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题.

首项利用两个向量的数量积的定义、三角函数的恒等变换，化简函数的解析式为

sin(2cr-；)一年，由周期求出3,从而确定函数f(x)的解析式.

(/)根据函数f(x)的图像性质可知当久e植用时最大值和最小值，以及/《)=/(》=0,/(?)=-y

可求出m的取值范围，再根据对称性可得%+r的值

(〃)根据已知条件可求得y=/(%)的值域，即为y=g(%)值域，分当a>0时和当Qv0时，结合

y=g(x)的定义域，根据一次函数增减性列出方程组，分别求出。、b.

2.答案：解：⑴由题设知，4=3,周期;年一看=三，7=兀=3=2,

y(x)=3sin(2x4-(p)f又二工5时，y取得最大值3,\(p\<TT,

即3sin(，+,)=30,=；,

63

•••函数的解析式为〃工)=蜩1>(21+:).

(2)由2fcjr--<2x+-$2kir+得Air-篇+恚，

所以函数f(x)的单调递增区间为防:+总(4€Z).

(3)%G[―-2x+<^Jsin(2x+<3,

即函数f(x)的值域为[一|,3].

当/⑶=旧时，工——：，当/(%)=3时，

解析：本题给出三角函数式满足的条件，求函数/(x)的单调区间和闭区间上的值域，着重考查了由

y=击讥(3X+R)的部分图象确定其解析式等知识、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题.

(1)根据函数在一个周期内的最大、最小值及相应的x值，可得4=3且3=2,再由函数在x=工时

取得最小值-3,列式解出3=M由此得到函数的表达式；

(2)根据三角函数单调区间的结论，可得函数的单调增区间；

(3)当xe［一9用时，可得2上+16［一，结合三角函数的图象与性质即可得到函数f(x)的值

域和对应的X的值.

3.答案：解：(1)由(2a—c)cosB=bcosC,

可得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

:.2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,可得：2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,

•・,A6sinA＞0,

・•・可得：cosB=5

・,・由BW可得B=g.

a_c_b_4\/3

(2).・.sin/lsinCsinB3

.二

・•・a=473——.si.nA，c=——sinC,

33

又A+B+C=*.,..A+C=手，

«)

・•・可得三角形周长：a+b+c=—sinA4--sinC4-2=—sinA+—sin(如一4)+2

=W(ycosTl+|sin/l)+2=4sin(A+£)+2,

・.・0＜力＜箓可得：sin(4+$£(；,l］.

3666oz

•••0ABC周长的范围为(4,6].

解析：本题主要考查了正弦定理的应用，考查了两角和差的正弦函数公式，解题时注意分析角的范

围，属于中档题.

(1)利用正弦正理化简已知等式可得(2sin4-sinC)cosF=sinBcosC,再化解即可求出角B的余弦值,

从而得到角3的大小.

(2)利用正弦定理表示出八b,代入a+6+c利用两角和与差的正弦公式化简，根据A的范围和正

弦函数的性质得出a+b+c的取值范围，即可得解.

4.答案：解:(l)/(x)=cos2cox+V3sina)xsin(&,x-

1+cos2a)x

—V3sincoxcosa)x

2

=——(—sin2o)x--cos2cox)

=1-sin(2tox—£),

•­T=—=7T,3=1,

2co

•••/W=1-sin(2x-^),

由2%—="+录得/号+三,

6223

即f(%)的对称轴％=等+，kEZ,

・・・/(%)的单调递增区间为y=sin(2x-1)的单调递减区间，

令2kn+^<2%—^<2kH+:，

解得上兀+g工无W々7T+乎，

36

f⑶的单调递增区间为便兀+g,而+争keZ；

(2)•••o<x<p

--<2x--<—,

666

：Wsin(2x—7)<1,

No

-sin(2o)x--)<1,

226’

即/⑶在区间［0,1上的值域为［心,I］.

解析：本题主要考查了二倍角公式，两角和的三角函数公式，正弦函数的周期性，单调性函数的值

域，属于中档题.

(1)利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，然后利用正弦函数的最小正周期求得

3,则函数解析式可得，进而求出函数的单调区间；

(2)根据x的范围可确定2X-,的范围，进而根据正弦函数的图象和性质求出函数的值域.

5.答案：解：(1)列表：

n7T37r

。0n2TT

22

n57r2n117T7n

X

6123126

y020-20

描点，连线可得对应的图象为:

(2)由正弦函数的图象和性质可得函数/Xx)=2s讥(2%的最大值为2.

取得最大值2时满足2x-g=]+2kn,

得到自变量x的集合为：{X|X=/CTT+碧,kez}.

取得最小值一2时满足2x-g=-1+2k兀，

自变量x的集合为：{巾=久=一号+4兀#6Z}.

(3)由/'(x)=2sin(2x->1=>sin(2x-^>1,

所以g+2/OT<2x—+2kn,

636

即1+kuWxW—+kji(kGZ).

•••x取值的集合卜吟+kn<x<^+kn,keZ^.

解析：本题考查丫=45出(3%+0)的图象及性质，五点作图法，属于基础题.

(1)根据“五点法”可以列表、描点、连线.

(2)由正弦函数的图象和性质可得函数/(x)=2sin(2x的最大值为2.

得到自变量x的集合为：{布="+患,卜€2上最小值一2时，满足0x=x=—"+k7r,k€Z}.

⑶由/(x)=2sin(2x->1=>sin(2x-|,可得x的范围.

6.答案：解：(1)由最高点为。工,2)得4=2,

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为9得9=p

即T=7T,<0=—=—=2,

Tn

由点Q&2)在图象上得2sin(2x1+w)=2,sin(；+卬)=1,

故卫+(p=2kn+-,/c6Z,<p=2kn4-/cGZ.

326

又(P6(0,：)»3=3故f(%)=2sin(2x+/),

令2kn--<2%4--<2kn+解得kji--<x<kn+-

26236f

所以函数f0)在pOTk兀+弓(kez)上单调递增.

⑵「xe玲l2%+M曲科

当2X+3=5,即x=?时，f(x)取得最大值2；

当2x+?=?,即x=3时，f(x)取得最小值一1,

故/(%)的值域为

(3)/(x)=2sin(2x+9的图象向左平移0(0<03］个单位后，

再将图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)=2sin(x+20+匀，

g(x)为偶函数，

5(0)=2sin(e+g=±2,即sin(6»+9=±1,

.♦.9+g=/OT+2即o=也+生(kez),

6L23

XO<0<p

71

"=3-

解析：本题主要考查!/Asin(心r+⑺图象及性质，考查图象的平移及伸缩变换，属于基础题.

(1)先利用题中条件结合周期公式7=誓求出3,再利用图象过定点求出A,w，即可得单调区间

(2)2x+?e[+，?],当2x+g=q,/(x)取得最大值2,当2x+g=?,/(x)取得最小值一1.

(3)先求出g(x),再利用9(。)2疝皿+；)±2,结合。的取值范围，可得答案.

7.答案：解：(l)：^〃j?,；.-：cosK+V5sinx=0,.・.tanx=晅=^.

2COSX6

.\[3stnx+cosx_y/3tanx+l_3y/3

sinx-\[3cosxtanx-V35

<-c2a

(2)vV3c=Zasin(A+8)=2asinC，：•=^=»

c,z

T7—a.A\3

ABC是锐角三角形，二A=60°,

-ff<1^-B<90-解得3°°<B<9。。，

/(%)=(m4-n)-m

=m*2+m-n

L1

=cosz9x+1+y/3sinxcosx+-

V31

=—sin2x+-cos2x+2

22

=sin(2x+300)+2,

:,f(B)=sin(2^+30°)+2,

v30°<B<90°,A90°<25+30°<210°,结合正弦函数图象可得

•••f(B)</(30。)=3,/(B)>/90。)=|.

・••/(B)的取值范围是G，3).

解析：本题考查了平面向量平行与坐标的关系，三角函数的化简求值，属于中档题.

(1)根据向量平行得出tanx,将式子分子分母同除以cosi得出结果;

(2)根据正弦定理得出A,求出B的范围，代入门8),利用正弦函数的性质求出f(8)的范围.

8.答案：(1)解：因为tan(3;r+c)3,则比ma=3,

sin(a—37r)+co«(7r-a)+sin(:—a)—2co«(]+a)

所以

—sin(—a)+CG«(7r+a)

—sins-cosa+co6a+2sina

siiia-CUSQ

sinntaiia3

sins-co«ntniui—13—1

(2)解：/(/)=2CO«2T+3sinr+3

=2(1—sin2J:)+Bwhur+3

=-2siirx+3siikr+5

7T27r

又因为上€y，则sin/£1,

当sinx=］时，函数f(x)有最大值，最大值为日，

当sinx=：或1时，函数/(X)有最小值，最小值为6.

所以函数f(x)的值域为［6,裔.

解析：(1)本题主要考查诱导公式，三角函数的化简，同角三角函数的关系式.

sin(a—37r)+cos(7r—a)+sdn(^—a)—2co«(—+a)

由tan(37r+a)3，则tana=3,

—sin(—a)+COS(TT+a)

siiiataiia

即可得.

sina-coKatann-1

(2)利用同角三角函数的关系式，二次函数的性质，即可得.

/.3V49即―/日

由/(1)=2coiS'N+3siitr+3=2(sinJ,—-1H——,即可得.

9.答案：解：(1)当a=1时，/(上卜sin2X4-cosz-

O

](]、23

=—cos2%+cosx+-=—(COSX——)+-・

8I2/8

vcosxE[—1,1],

.•.当cosx=g,即x=2/OT土，(kCZ)时,f(x)max=|.

51

(2)f(x)=1—co«2x+aco«xH—a--

82

/a、21251

=_(COSN--)+-a-4--a--

因为xe[0,^],cosxe[0,1]

当5<0时，g|Ja<0,f(x)max=1a-|；

2

当O^Wl时，B|J0<a<2,r(x)max=；a+|«-5；

当B>1时，即a>2,fOnax=-|,

51

-5,aV()

oZ

151

所以/(1)+G。一不，()Wa42

4a2

133c

—a--,a>2

«2

解析：本题考查同角三角函数的基本关系、余弦函数的图象与性质、最值问题，考查分类讨论思想，

配方法的应用，属中档题.

2

(1)当Q=1时，f(x)=—cos2x+cosx4--=—(cosx-7)+O'由二次函数即可得出最大值；

(2)先用同角三角函数关系式统一名，配方得到/(工)二一："2+'a-；：,对。分类a<0,

0<a<2,a>2讨论，即可求函数的最值.

10.答案：解：(1)直线/：再训。+)，W3,

令。=得p=2-/3>令。=Y'得P=4曲.

•••4(2封》,8(475,争.

又N4OB=号-

«/«9J

|4B『=(2\/3)2+(4>/3)2-2x'[瓜x4\/3x«)«^=36.

.%\AB\=6；

(II)曲线C的极坐标方程为p2(5-4cos20)=9,即p2(cos2。+9sin20)=9,

•・•曲线C的直角坐标方程为菅+y2=1,

化为参数方程为｛；煞"（。为参数）.

直线/的直角坐标方程为X+V3y-4>/3=0，

P到直线I的距离“：：+Ann-44|

2

|2\/3siii（n+彳）-4gl

_____________<2________

=2\/3—\/3«in（o+力.

«J

令a+”2k7r一久k€Z）,即a=2/OT—今时，dmax=3V3.

此时cosa=co«（2A,?r——）=,sine=曲I（2*TT-^-）=.

'6'262

••加（-¥，-»

解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程、椭圆的参数方程、正弦函数的图象与性质和点到直线的

距离公式，是中档题.

(1)令。=全得p=26，令。=g,得p=4V5.得出A、B坐标和乙4。3，再由余弦定理即可得出

\AB\-,

(H)曲线C的直角坐标方程为9+y2=i,化为参数方程为｛：为参数).直线/的直角坐

标方程为x+Wy-4b=0,则尸到直线/的距离

d=电吧土粤吧二=2仆一0sh+夕.由正弦函数性质得出最大值及尸点的直角坐

标.

11.答案：解：(1)由已知得NBAC=60。-。，/乙4。=30。+0,

又乙4CD=60。，〃。。=90。一仇

在△ACO中,

sinZ.ACDshiZ.ADC

24”迎

1li,

siiRiO

在△ABC中,484c

sin乙4cBsin£ABC9

ACsinO

16cin28,

sinl20

B[J/i=16sin20；

；DCACsin(60°-。)

sin120°

=8\&+8Vzi-Hsin'20，

则S=AB+BC=8b+8V3cos26»+8sin20

=8v<J+16sin(20+W)),

•••30°<6»<45°,

120°<29+60°<150°,

.•.当29+60。=150。，即0=45。时，S取到最小值(8b+8)m.

解析：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档

题.

(1)由条件求得4B4C=60。-8,ACAD=30°+6,乙4DC=90。一4C0中，利用正弦定理求得

AC的值，在△ABC中，由正弦定理求得/?的值.

(2)在AABC中，由正弦定理求得BC的值，再根据S=AB+BC=8g+16sin(2。+60。).根据

30°<0<45。，利用正弦函数的定义域和值域求得S的最小值.

12.答案：解：(1)由ps讥(。+，)=2,得，pstn。+[pcos。=2,

将psin。=y,pcos0=x代入上式，得直线/的直角坐标方程为x+百丫一4=0.

由曲线C的参数方程｛；:篙(。为参数)，得曲线C的普通方程为9+?=1.

(2)设点M的坐标为(2cos6,V^s讥6),

则点M到直线/：%+V3y-4=0的距离为己=心+(可-=2，其中tan。=--

当d=r时，圆M与直线/相切，

故当sin(O+0)=l时，取最小值，且，的最小值为匕咨.

解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程及参数方程，属中档题.

⑴由ps讥(0+*)=2,得苧psinO+[pcos。=2,将psin。=y,pcosJ=x代入上式，得直线/的直

角坐标方程为x+V3y-4=0.由曲线C的参数方程;富(。为参数)，得曲线C的普通方程为

(2)利用点到直线的距离以及三角函数性质可得.

13.答案：解：(1)因为点C刚好落在折痕4N上,

所以NONA=AANM=ZCNM=1，

3

因为40=1,

所以在△AND中,

AD_1_25/3

AN=

sin60°一且—3•

2

因为8,£)重合,

所以NN4U=

所以NA/.A3

在^AM8中，

AM=—jr=—yr=V6-V2

cos正cos-

所以S.WA，=;

=1X^X(V6-V2)X^=1-^.

23\v723

(2)设4£MN=e,

0<0$-

6

由(1)知＜

o<£-0wJ

46

所以日w。W6，

4D_1

在△40N中，AN

cos6cosO

…AD1

在△ABM中，4/丁j-J)，

41

所以SZUA/N=

_6I_1

」(X)«0<XJS(——0)14-v^2sin(20+—)'

44

因为。:，

所以1420+.普，

当2。+：=:,即。:时，S-MN的最小值为a-L

4/o

解析：本题考查了正弦定理，三角形面积公式以及三角函数最值求解，属于中档题.

(1)因为点C刚好落在折痕4N上，所以NON'Z.4.V.UACNM:，由直角三角形边长关系

以及正弦定理可求AM,AN,从而求△力MN的面积；

(2)由(1)求得。\，结合三角函数性质求最值.

14.答案：解：(l)/(x)=sinico«i—C082X=sin2z—]sin(2.r--y)->

当xe[o,||时,2X-^G[-^，Y].sin(2x-^)G[-y,l].

/(x)e卜1，与

(2)由/(C)=0可得C=W

tanA+tanF,-------------

・•・tan(A+B)=—1=----------------・•・tan4+tanB=tanAtanB—1>2Vtan/tanB

、'1-tanAtanB

注意到tanAtanB>1/.tanAtanB>3+272

设t=tanAtanB,t>34-272

不等式q(tan/+tanB)2—2tan/ltanB+mtan/ltanB+1>0

=(tarii4tanF—l)2—2tan4tan8+mtanAtanB4-1>0

<=>t2-4t4-mt4-2>0

2__

<=>-Tn<t+--4怛成立

注意到t23+2夜.•.当t=3+2迎时，(t+4)=5-2V2

\1/min

•••m>2V2-5

解析：本题主要考查了三角函数恒等变换与三角函数性质，不等式恒成立问题，属于中档题.

(1)利用三角恒等变换化简f(x),根据正弦函数性质求值域；

(2)根据题意可知，tan(4+B)=-1=:工熬2%然后利用换元与基本不等式解决恒成立问题.

15.答案:解：(1)由题意得f(%)=(sm2x)△(cos2%)

=Vsin22x4-cos22x+sin2x+y/3cos2x=14-sin2x+\/3cos2x

=1+2(^sin2x+号cos2%)=14-2sin(2x+；),

・・.最小周期丁=等=兀.

(2)若函数fQ)在％=出处取得最大值，

，2x4--=2kn+

0u32

即沏=kjr+泉fc6Z,

故斯=nx0=n(kn+治，keZf

则Qi=4--,a=2/CTT+a=3kn+

122634

则f(西)+f4)+f(%)=3+2sin(2ai+g)+2sin(2a2+$+2sin(2a3+§

=3+2,SITI—F2sin—F2sin—=3+2+V3+1=6+V3,

236

解析：(1)根据定义求出函数的解析式，结合三角函数的周期公式进行求解即可

(2)求出即的通项公式，利用代入法进行求解即可.

本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式是解决本题的关键.

2

16.答案：解：(l)f(x)(cosxtanx+cosx)-1

-4cosx-cosx+cosx

2sinxcosx——1si.nx

-4cosx2f

则f(1860。)=-1sinl860°

=-|sin(5x360°+60°)=-|sm60°=-y；

(2)把f2(%)+(1+|a)sinx+2Q=0,

整理得：^sin2%4-(14-|a)smx+2a=0,

即siM%+(4+2a)sinx+8Q=0,

分解因式得:(sinx+4)(sinx+2a)=0,

・•・sinx=-2a或sinx=-4(舍去)，

当Xe小拳时，

要使方程有两根，则丫=sinx与y=-2。有两个交点，

而％W[屋]时丫=sin%单调递增，xwg百时，丫=$加单调递减，

.n1.n.3n41

sin-=sin-=1d,sin一=一，

62242

V2Q1

・'・—W-2QV1»

2

解得：一工<a<-它.

24

解析：此题考查了运用诱导公式化简求值，以及三角函数的最值，熟练掌握诱导公式是解本题的关

键.

(l)f(x)解析式利用诱导公式化简，约分得到最简结果，把x=-I860。代入计算即可求出值；

(2)由确定出的fQ)解析式，代入已知等式，整理求出sinx的值，根据sinx的范围确定出a的范围即

可.

17.答案：解：(I)/(x)=sinx+V5cosx=2sin(x+$.

由2kji—1工尢+g42kli+；(kEZ)

得：2/cii—些Wx£2kn十三(kEZ),故f(x)的单调递增区间是：[2/CTT—旦,2/CTT+，，k6Z.

(H)g(x)=[/(x)]2—2,

=4sin2(x+；)—2,

=4x1[l-cos(2x+y)]-2,

=-2cos(2x+Y)»

=2sin(2x+J

•**2%+*E*,算

.•5(%)=2sin(2x+?)的最大值是1,最小值是一2.

o

解析：（I）利用辅助角公式化简，将已知函数解析式转化为正弦函数，根据正弦函数图象解答;

（H）首项求得g（x）=2s讥（2x+$,利用正弦函数图象解题.

本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数图象.利用三角函数公式将函数进行化简是解决本

题的关键.

18.答案：解：（1）因为四边形ABCO内接于圆，则N4BC+N4DC=兀.

所以cosZTlBC+cos乙ADC=0.

在1中，AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos^ABC

=1+4—2x2xlxcosZ-ABC=5—4cosZ-ABC,

在^ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD•CD-cosZTlDC

=13—12cosz.ADC=13+12cos乙ABC,

由5—4cosz.ABC=13+12cos乙ABC,得coszABC=-p

因为44BCe(0,7T),所以乙4BC=

所以乙4DC=会所以4c2=7,

所以叉48c=-BC-sin^ABC=|xlx2xy=y,

St.-AD-DC-siuAADC=ix2x3x—=辿，

2222

所以s四边形ABCD=SfBC+S〉ADC~2A/3,

、、，CCACV72V2I

由正弦定理得2R=—=W=—

2

所以外接圆面积s=nR2=：兀.

(2)因为乙4czy=。，(0<0<y),由乙40£=耨4a4D'=g-0.

在AAD'C中，由正弦定理知AD'=2Rsin^ACD'=詈sin6»,CD'=2Rsin^CAD'=等sin弓-。),

所以SA4D，C=\AD'-CD'-sin乙40'C=誓sinOs讥宵-0)

7V3V3177V3.

=sind(—cosd4--sin0)=-sinOcosd+—smz0

7V3V317V3

=7"方5.2。-5cos2。)+五

ysin(28-》+等,

因为0<8<耳，所以26—年(一%?),

3666

sin(20-=)e(-i1],

oZ

当2。*=今即。=押，S-D，C的最大值为竽・

此时5幽边掰BCD=S4ABe+SAAD'C=曰+^=竽

答:改造后,当为正三角形时,新的绿地4BC。’的面积最大'为竽平方百米.

解析：本题考查解三角形的实际应用，解决问题的关键是由题意列出三角函数式，由三角函数的知

识解决实际问题.

(1)由题意和余弦定理可得COSNABC=进而可得乙4DC=p由三角形的面积公式和正弦定理可

得.

(2)设乙4CC'=O,(0<0<^),由正弦定理易得SA40，C=越$也(2。一百)+型，由0<9和三

366123

角函数的值域可得答案.

19.答案：解：(1)由正弦定理，sinBeosA=sinA(—cosB)+2sinCcosB,

即sin(A+B)=2sinCcosB.

：•sinC=2sinCcosB.

,:sinCW0,

c1

・••cosB=

2

:.BE

・♦・B=g.

(2)••・B=或

sinC_sin(等-4)_苧cos4+[sin4_遍

asinAsin4sin42tanA+亍

•••c为钝角,

・•.46(0,"

D

tanAG(0,,

・・.高E(遮,+8),

•••；e(2,+oo).

解析：本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，以及三角函数的最值，属于中档题.

(1)由正弦定理边化为角，由两角和差公式变形求解；

(2)由正弦定理以及三角函数的最值得答案.

20.答案：解：(1)函数/'(x)=geosx—sinx.

函数可化为/"(x)=2cos(%+》，

周期为2”，

最大值为2.

(2)将函数/Q)图像上所有的点向左平移］个单位，向上平移1个单位，

得到函数g(x)=—2sinx+1.

解析：本题主要考查函数的周期、最大值，函数解析式，解答本题的关键是掌握相关知识，逐一分

析解答即可.

(1)函数=V3cosx-sinx.函数可化为〃x)=2cos(x+》，求函数f(x)的周期及最大值；

(2)将函数/(x)图像上所有的点向左平移］个单位，向上平移1个单位，得到函数g(x)=-2sinx+1.

21.答案:解:(1)根据题意,a=(yf3cosx,cosx),b=(sinx,cosx)，

则函数f(x)=a-b=yficosxsinx+cos2%=-sin2x+-cos2x+工=sin(2x+-)4--,

22