2020-2021学年北师大版数学2学案：21

Io5平面直角坐标系中的距离公式

考纲定住重难突破

重点：根据图形建立坐标

1.掌握两点间的距离公式

余，利用距禽公式斛决几

和点到直线的距离公式.

何问题.

2.能根据平面图形建立运

唯点：利用距离公式斛决

当的平面直角坐标系,

实际问题.

3o会用距离公式和斛折

方法：教形结合思想在距

法解决几何问题。

离问题中的应用。

OJiiHO自主梳理＜®------------------------------------------------------掌握基本知识，注重基础训।练

授课提示：对应学生用书第44页

［自主梳理］

一、两点间的距离公式

一般地，若两点A,B的坐标分别为A(xi,yiJ,B(xi,yi),

则有两点A,8间的距离公式|AB|=错误!.

二、点到直线的距离公式

点P(xo,yo)到直线Ax+3y+C=0(A,B不同时为零)的距离d

=错误I•

「双基力测］

L点(6,8；到原点的距离为(

A、6B、8

C.10D、14

斛折：由两点间的距离公式得d=错误！=10.

答案：C

2、已知△ABC的三个顶点AC-1,0),B(1,0)和。错误!，则

△A3C的形状是()

A、等腰三角形B、等边三角形

C,直角三角形D、斜三角形

解析：|=错误！=2,

\BC\-错误！=1,

IAC\-错误！=错误！,

\AB\2=|BC|2+|AC|2,.•・AABC为直角三角形，

答案：C

3、已知点A(—2,—1J,B(a,3)且IAB\=5,则。的值为

斛折：由两点间距寓公式j,得错误!=5,解得。=1或1a=-5.

答案:1或-5

4、若x轴正半轴上的点M到原点的距离与利点(5,3)的距

离相等，则点〃的生标为、

22

斛折：设MXO),则X2+O2=(X-5)+CO-3J,解得X

=错误!，错误!.

答案：错误！

5,已知点A(—3,4),B(2,错误!人在x轴上找一点P使得I

PA|=\PB\,并求出|B4|的值、

斛折：设P(x,0),则有

\PA|=错误！=错误！；

|PB\=错误！=错误！；

由|F4I=\PB|,可得错误！=错误!；

解得X=-错误!，从而得尸错误!，且|以|=错误!。

02课堂合作探究@-----------------------------------------------------------洞悉学习方向，把脉核心问题

授课提示：对应学生用书第45页

［题型探究］探要点•究所然

探究一两点间距离公式的应用

「典例1］已知点A(5,5),B(l,4J,C(4,1J,AB的中点

M错误!。

(1)试制新△45C的形状；

(2J求A3边上的中线CM的长、

［解析1flJ|A5|二错误！=错误!，

IAC|—错误！—错误!,

|BC|=44-12+1-42=3错误!，

因为IAB\=IAC\^\BC|,所以△45。为等腰三角形.

(2)由题易得A3边上的中线CM的长为

ICM|=错误！=错误！。

I■方法归纳」

L已知两点的生标求两点间的距离时，要注意距禽公式的正

确应用，板开方式是两点横坐标之差与纵坐标之差的平方和，不

能将横、纨生林混用.

2.判断平面图形的形状时，可以利用边长的关系，也可以利

用角的关系，同时要注意合理运用相关图形的一些性质.

学以致用le

L已知直线Q2x+y-6=0和点A(l,-1),过点A作直线

b与直线/i相交于点、B,且|A3|=5,求直线，2的方程.

斛折：二.点3在直线/i上，.,.设J5(xo,6-2沏).

'/\AB\=5,7.错误！=5,

整理，得/，0-6因0+5=0,斛得xo=1或5.

二点3的金标为门,4)或(5,-4/

•••直线，2的方程为x=1或3x+4y+1=0。

探究二用解析法证明几何问题

|典例2］用解析法证明：A3CZ)为矩形，A/是任一点.求证：|

AM\2+|CM|2=|3M|2+|DM|2.

［解析］分别以所在直线为x轴、)轴建立平面直角坐

林条(如图)，设〃(x,y)fB(a,0),C2,b),则DC0,W,

又ACO,0)、

1222

则IAMP+ICM\=x+y+(x-a)+(y-bff

IBM^+\DM\2=(x-a)2+y2+x1+(y-b)2.

\AM\2+\CM\2=\BM\2+|DM］1.

「方法归纳」

L解析法证明几何问题的步骤：

门)建立适.当的生标叙用生标表示几何条件；

(2)进行有关的代数运算；

(3)把代数运算结果"翻军'成几何关系.

2.重点提示:坐标法证明几何问题，如枭题口中没有坐标系,

则需要先建立坐标条，建立坐标系的原则是：尽量利用图形中

的对称关系,

学以致用le

2,已知AO是△ABC边BC的中线、

求证：HBF+IAC|2=2(WF+10cl2)、

证明：以。点为原A,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标

宗，设3(-。,0),C(a,Q)fA(x,y).

由两点间距离公式得

IAB\2=(x+a)2+y2,\AC\~=(x-a)2+y2,

222

/.|AB|+|AC|=2f+2y2+2ao

IAO|2=%2+y2,|OC|2=a2,

IAO|2+|OC|2=x2+y2+a2,

|ABI2+|AC|2=2(WF+IOCf)、

探究三点到直线的距离公式

「典例3］求点尸o(-1,2)到下列直线的距禽，

(1)2x+y-10=0；(2)x=2；(3)y-l=0.

［斛析］(1)由A到直线的距离公式4知d=错误！=错误！=2错误!。

(2)斛法一直线方程化为一般式X—2=0.

由点到直线的距富公式知

d=错误！=3.

斛法二,直线x=2与y轴平行，

/.由图①唉。J=|-1—2|=3o

①②

(3),直线)-1二0与x轴平行.

「•由图②女口d二|2-l|=1.

「方法归纳」

使用点到直线的距离公式时应注意的事项：

门)若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般

式，再利用公式求距离、

(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，此公式仍然适

用.

(3)若该直线是几种特殊直线中的一种，可不套公式而直接

求出，如：

①点、P(Xo,yo)到X轴的距离4=|yol;

②点、P(xo,yo)到y轴的距离d-koi;

③点p(xo,州)利与x轴平行的直线)的距离1=|义)一。|；

@点、P(xo,yoJ到与y轴平行的直线x=b的距离d=\xQ-b\o

学以致用le

3,求点尸C1,2)到下列直线的距离:

(1JZi：y=x-3)(2Jh\y=-1；(3)y轴.

斛折：(1)将直线方程化为一般式为x—y—3=0,

由点到直线的距离公式得d=错误！=2错误!O

(2)斛法一直线方程化为一般式为y+1=0,

由点到直线的距离公式得d=错误!=3.

解法二如图C1),因为y二-1平行于x轴，

所以d二|-1—2|=3.

(3)斛法一

y轴的方程为x=0,

由点到直线的距离公式得d=错误!=1o

斛法二如图(2),d=|1-0|=lo

探究四两平行线间的距离

[典例4]门)求直线/i：24x—10y+5=0与h：nx-5y-4=Q

之间的距离；

(2)求与直线31-4丁-20=0平行且距离为3的直线的方程、

Z■斛析_7(1J直线/i的方程可化为121一5)+错误！=0,因此/i

与，2之间的距离d-错误！=错误！=错误!.

(2)设所求直线方程为3尤-4y+C=020),依题意有错误!

=3,

即|C+20|=15,解得。=一5或。=一35,

故所求直线的方程为3x-4y-5=03x--35=0o

「方法归纳」

L求两条平行直线间距离的两种方法：

(1)转化为点到直线的距离，即在其中一条直线上取一特殊点,

利用点到直线的距离公式求该点到另一条直线的距离.

(2)直接使用两条平行线间的距离公式错误!，但应注意两个直

线方程中x,y的条数分别对应相等(即Ai=Az,Bi=Bi);若不

相等，应化为相等，再使用,其中ZiiA\x+B\y+Ci=0,/2^2%+

B2y+C2=0.

2、一般地，与已知直线/距离为d(6>0)的直线有两条，且都

与/平行、求其方程时，可利用平行直线条方程的设法，设出其

方程，再利用两条平行直线的距离公式求解；与两条平行直线/i,

/2距离相等的直线只有一条，且与/112均平行，求其方程时，也是

利用平行直线条方程的设法设出方程燃后求斛、

学以致用I©

4、直线/i过点A(0,1),直线b过点3(5,0),如果/1//2

/1与，2间的距离为5,求直线（、/2的方程,

解析：当/1,/2的斜率均存在时，

II/2,「.设直线/1,/2的斜率均为几

由斜栽式得/i的方程为》二丘+1,即依-y+l=O,

由点斜式得/2的方程为y二%（工一5）,即点一y—5左=0,

故两平行线Zi与h间的距离d=错误！=5,斛得z=错误!，

「./i的方程为12x-5y+5=0,，2的方程为12x-5y-60=0.

当h,/2的斜率均不存在时,/i的方程为x=012的方程为x=5,

此时，/i与，2间的距离为5,同样满足条件.

综上所述，满足条件的直线方程有以下两组：

1\\121一5y+5=012：12x-5y-60=0；l\：x=0,h：x-5.

［思想方法］委方法•会应用

转化与化归思想在求最值中的应用

［典例］已知△ABC的顶点生标为A（1,1）,B（m,错误!），C

C4,2J,l<m<4o当机为何值时，△ABC的面尔S最大？

［斛折7|AC|=错误！=错误!，

直线AC的方程为错误！=错误!，即x-3y+2=0.

因为点、B（根，错误!）到直线AC的距离d=错误!，所以△ABC的面

积S=错误!|AC|-d=错误！|m-3错误！+2|=错误!错误!.

因为1<m<4,所以1<错误!<2,

所以0<错误!S错误！,0<SS错误!O

所以当“^二错误!，即根二错误!时，△A6C的面积S最大、

［感悟提高］（1J此题要求△ABC面积的最大值，可转化成点

8到AC的距离的最大值.

（2；在解题过程中将所得到的式子进行转化，利用函教的思

想把问题转化成二次的数求得最值.

03谣后巩固提升®------------------------------------------------------检测学习效果，体验成功快乐

「随堂训练］对应学生用书第46页

L若点ACl,3J与点B（m,7）之间的距离等于5,那么卖

数相的值为（）

A、4B、-2

C.一4或2D,4或一2

斛折：由已知得IAB|=错误！=5,因此|1—词=3,

斛得根=4或加=-2o

答案：D

2、点（1,一1）到直线x—y+l=O的距离是（）

A.错误！