2024-2025学年高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时 组合与组合数公式（教师用书）教案 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式（教师用书）教案新人教A版选修2-3主备人备课成员课程基本信息1.课程名称：高中数学——排列与组合

2.教学年级和班级：高三年级1班

3.授课时间：2024年10月10日

4.教学时数：45分钟

二、教学目标

1.理解组合的定义和性质。

2.掌握组合数的计算公式。

3.能够运用组合知识解决实际问题。

三、教学内容

1.组合的定义和性质。

2.组合数的计算公式。

3.组合数公式的应用。

四、教学过程

1.导入：通过简单的实例引出组合的概念，激发学生的兴趣。

2.新课讲解：讲解组合的定义和性质，重点讲解组合数的计算公式。

3.例题解析：分析并解决几个与组合相关的例题，让学生掌握组合数的计算方法。

4.课堂练习：让学生独立完成几道组合数的计算题目，巩固所学知识。

5.总结：对本节课的内容进行总结，强调组合数的计算公式及应用。

五、作业布置

1.复习组合的定义和性质，掌握组合数的计算公式。

2.完成课后练习第1-5题。

六、课后反思

1.总结本节课的教学效果，分析学生的掌握情况。

2.针对学生的薄弱环节，调整教学方法，提高教学效果。

七、教学资源

1.教材：《高中数学——排列与组合》

2.课件：组合与组合数公式

3.练习题：课后练习及课堂练习题核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数学思维。

1.逻辑推理：通过讲解组合的定义和性质，培养学生运用逻辑推理能力理解组合概念，掌握组合数的计算公式，并能够运用逻辑推理解决组合相关问题。

2.数学建模：通过分析组合实例和解决实际问题，培养学生运用数学建模思想，将组合知识应用于解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。

3.数学思维：通过组合数的计算和应用，培养学生运用数学思维发现、分析和解决问题，提高学生的数学思维品质。

4.直观想象：通过课件展示和课堂练习，培养学生的空间想象能力，让学生能够直观地理解组合的概念和组合数的计算过程。

5.数据分析：通过组合数的计算和应用，培养学生收集、整理、分析数据的能力，提高学生运用数据分析问题的能力。

6.数学运算：通过组合数的计算练习，培养学生熟练运用数学运算解决组合问题的能力，提高学生的数学运算素养。学情分析高三年级的学生在数学学科上已经有一定的基础，他们已经学习了集合、函数、方程等基本概念和运算求解方法。他们对数学知识有一定的认识，但还需要进一步深化对数学概念的理解和应用。在能力方面，大部分学生具备一定的逻辑思维能力和数学运算能力，但部分学生在解决较复杂的数学问题时，可能会遇到逻辑推理不清晰、运算求解不准确的情况。在素质方面，学生们的学习态度、学习习惯和学习方法各有不同，对课程学习有一定的影响。

1.知识方面：在学习排列与组合这一章节时，学生需要理解和掌握组合的定义和性质，以及组合数的计算公式。他们在之前的学习中已经接触过一些相关知识，如集合、函数、方程等，这为他们学习排列与组合打下了一定的基础。然而，部分学生可能对组合概念的理解不够深入，对组合数的计算公式记忆不牢，这可能会影响他们在学习本章节时的理解程度。

2.能力方面：学生在解决排列与组合问题时，需要运用逻辑推理、数学建模和数学思维等能力。大部分学生具备一定的逻辑思维能力和数学运算能力，但部分学生在面对复杂问题时，可能会出现逻辑推理不清晰、运算求解不准确的情况。此外，学生的数学建模能力和数学思维品质还需要进一步培养和提高。

3.素质方面：学生的学习态度、学习习惯和学习方法对课程学习有很大的影响。部分学生可能对数学学科感兴趣，学习态度积极，能够主动参与课堂讨论和练习；而部分学生可能对数学学科兴趣不大，学习态度较为消极，需要教师的引导和鼓励。此外，学生的学习习惯和学习方法也存在差异，如有的学生可能缺乏良好的学习计划和时间管理能力，有的学生可能在学习过程中容易分心等。

针对学生的学情分析，教师在教学过程中需要关注学生的知识基础，通过复习和巩固相关知识，帮助学生建立起扎实的基础。同时，教师需要培养学生的逻辑推理、数学建模和数学思维能力，通过讲解、例题解析和课堂练习等方式，引导学生运用这些能力解决实际问题。此外，教师还需要关注学生的学习态度和学习习惯，通过鼓励、引导和督促，帮助学生形成积极的学习态度和良好的学习习惯。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段1.教学方法：

（1）讲授法：在课堂上，教师通过讲解组合的定义和性质、组合数的计算公式等知识点，系统地向学生传授知识，帮助学生理解和掌握组合概念。

（2）讨论法：教师组织学生进行小组讨论，让学生分享各自的解题方法和思路，培养学生的合作精神和交流能力，提高学生对组合知识的理解深度。

（3）案例分析法：教师呈现一些与组合知识相关的实际问题，引导学生运用组合知识进行分析和解决，提高学生的数学建模能力和问题解决能力。

2.教学手段：

（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，通过图片、动画等形式直观地展示组合概念和组合数的计算过程，帮助学生形象地理解知识，提高课堂的趣味性。

（2）教学软件：教师运用教学软件，进行实时数据分析和可视化展示，让学生直观地感受到组合知识在实际问题中的应用，提高学生的数据分析能力。

（3）网络资源：教师引导学生利用网络资源，查阅相关的组合知识资料，拓宽学生的知识视野，激发学生的学习兴趣。

（4）练习软件：教师运用练习软件，发布组合知识的练习题，让学生在课后进行自主练习，巩固所学知识，并及时得到反馈，提高学生的数学运算能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对“排列与组合”的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道什么是排列与组合吗？它们在日常生活和数学中有什么应用？”

展示一些关于排列与组合的实际例子，如抽奖、排列座位等，让学生初步感受排列与组合的应用。

简短介绍排列与组合的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.排列与组合基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解排列与组合的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解排列与组合的定义，包括其主要组成元素或结构。

详细介绍排列与组合的组成部分或功能，使用图表或示意图帮助学生理解。

3.排列与组合案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解排列与组合的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的排列与组合案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解排列与组合的多样性或复杂性。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用排列与组合解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与排列与组合相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对排列与组合的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调排列与组合的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括排列与组合的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调排列与组合在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用排列与组合。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于排列与组合的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理本节课的主要内容是组合与组合数公式。以下是本节课的知识点梳理：

1.组合的定义和性质

-组合是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的集合。

-组合的表示方法：C(n,m)或∏(n,m)，其中n表示总元素数，m表示选取的元素数。

-组合的性质：组合数满足组合数的计算公式，即C(n,m)=C(n,n-m)。

2.组合数的计算公式

-组合数的计算公式为：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。

-特殊情况：当m=0时，C(n,0)=1；当m=n时，C(n,n)=1。

3.组合数公式的应用

-组合数公式的应用主要包括解决实际问题和进行数学推理。

-实际问题：如排列座位、抽奖、安排比赛等，可以通过组合数公式计算出所有可能的排列或组合方式。

-数学推理：在证明数学定理或推导数学公式时，组合数公式常用于计算不同情况的总数。

4.组合数公式的性质和扩展

-组合数公式可以推广到更一般的情况，如组合数的递推关系、组合数的对称性等。

-组合数公式与其他数学概念的关系：如与排列数的关系、与二项式系数的联系等。

5.组合数公式的实际应用案例

-案例1：n个人排成一排，有多少种不同的排列方式？

解答：由于每个人都有固定的位置，所以这是一个排列问题。根据排列数的计算公式，共有n!种不同的排列方式。

-案例2：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种不同的组合方式？

解答：这是一个组合问题。根据组合数的计算公式，共有C(n,m)种不同的组合方式。课后作业1.计算以下组合数：

（1）C(5,3)

（2）C(7,2)

（3）C(8,4)

（4）C(10,5)

（5）C(12,6)

2.应用组合数公式解决实际问题：

（1）一个班级有20名学生，从中选取5名学生参加比赛，有多少种不同的选取方式？

解答：这是一个组合问题，根据组合数的计算公式，共有C(20,5)种不同的选取方式。

（2）一个图书馆有15本书，需要从中选取8本书进行借阅，有多少种不同的借阅方式？

解答：这是一个组合问题，根据组合数的计算公式，共有C(15,8)种不同的借阅方式。

（3）一个足球队有16名球员，需要从中选取11名球员参加比赛，有多少种不同的选取方式？

解答：这是一个组合问题，根据组合数的计算公式，共有C(16,11)种不同的选取方式。

（4）一个班级有30名学生，需要从中选取10名学生参加夏令营，有多少种不同的选取方式？

解答：这是一个组合问题，根据组合数的计算公式，共有C(30,10)种不同的选取方式。

（5）一个篮球队有14名球员，需要从中选取7名球员参加比赛，有多少种不同的选取方式？

解答：这是一个组合问题，根据组合数的计算公式，共有C(14,7)种不同的选取方式。

3.推导组合数的对称性和递推关系：

（1）推导C(n,m)=C(n,n-m)

（2）推导C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)板书设计-重点知识点：组合是指从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素的所有可能排列的集合。

-关键词：元素、选取、排列、组合

-板书设计：

-组合的定义：从n个不同元素中任取m个元素的所有可能排列的集合

-组合的性质：组合数满足组合数的计算公式，即C(n,m)=C(n,n-m)

2.组合数的计算公式

-重点知识点：组合数的计算公式为C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。

-关键词：组合数、计算公式、阶乘、n!、m!

-板书设计：

-组合数的计算公式：C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)

-组合数公式的推导：n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1

3.组合数公式的应用

-重点知识点：组合数公式的应用主要包括解决实际问题和进行数学推理。

-关键词：实际问题、数学推理、应用

-板书设计：

-组合数公式的应用：解决实际问题、进行数学推理

-实际问题示例：排列座位、抽奖、安排比赛等

-数学推理示例：证明数学定理、推导数学公式等

4.组合数公式的性质和扩展

-重点知识点：组合数公式可以推广到更一般的情况，如组合数的递推关系、组合数的对称性等。

-关键词：递推关系、对称性、推广

-板书设计：

-组合数公式的性质和扩展：递推关系、对称性、推广

-递推关系示例：C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)

-对称性示例：C(n,m)=C(n,n-m)课堂小结，当堂检测课堂小结：

今天，我们学习了组合与组合数公式。通过学习，我们了解了组合的定义和性质，掌握了组合数的计算公式，并学会了如何运用组合知识解决实际问题。组合是数学中一个非常重要的概念，它在我们的生活、工作和学习中都有广泛的应用。例如，在抽奖、排座位、安排比赛等场合，我们都需要用到组合知识。通过学习组合，我们不仅能够提高自己的数学素养，还能够更好地解决实际问题。

当堂检测：

1.计算以下组合数：

（1）C(5,3)

（2）C(7,2)

（3）C(8,4)

（4）C(10,5)

（5）C(12,6)

2.应用组合数公式解决实际问题：

（1）一个班级有20名学生，从中选取5名学生参加比赛，有多少种不同的选取方式？

（2）一个图书馆有15本书，需要从中选取8本书进行借阅，有多少种不同的借阅方式？

（3）一个足球队有16名球员，需要从中选取11名球员参加比赛，有多少种不同的选取方式？

（4）一个班级有