新课标2025版高考数学一轮总复习课时质量评价61离散型随机变量的分布列及数字特征

PAGEPAGE1课时质量评价(六十一)A组全考点巩固练1．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事务的是()A．ξ＝4 B．ξ＝5C．ξ＝6 D．ξ≤5C解析：“放回5个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6．2．(2024·西城区校级期中)若随机变量X的分布列如表，则P(X≥3)＝()X1234P3x6x2xxA．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,12)A解：由随机变量X的分布列性质知：3x＋6x＋2x＋x＝12x＝1，解得x＝eq\f(1,12)，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝2x＋x＝3x＝3×eq\f(1,12)＝eq\f(1,4)．3．(2024·东阳模拟)已知随机变量X，Y满意：X～B(2，p)，Y＝2X＋1，且P(X≥1)＝eq\f(5,9)，则D(Y)＝()A．eq\f(4,9) B．eq\f(7,3)C．eq\f(16,9) D．eq\f(17,9)C解析：随机变量X满意：X～B(2，p)，且P(X≥1)＝eq\f(5,9)，所以P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝Ceq\o\al(0,2)(1－p)2＝eq\f(4,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,3)))，所以D(X)＝2×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,9)．因为Y＝2X＋1，D(Y)＝22D(X)＝eq\f(16,9)．故选C．4．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X．已知E(X)＝3，则D(X)＝()A．eq\f(8,5) B．eq\f(6,5)C．eq\f(4,5) D．eq\f(2,5)B解析：由题意可得，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,m＋3)))．又E(X)＝eq\f(5×3,m＋3)＝3，所以m＝2，则X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,5)))，故D(X)＝5×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(6,5)．5．已知0<a<1，随机变量X的分布列如下：X－101P(1－a)22a(1－a)a2若E(X)＝D(X)，则实数a的值为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(2),2)D解析：方法一：由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式可知，E(X)＝－(1－a)2＋a2＝2a－1，D(X)＝(－1－2a＋1)2(1－a)2＋(－2a＋1)2×2a(1－a)＋(1－2a＋1)2a2＝2a(1－a)．因为E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝eq\f(\r(2),2)．故选D．方法二：令Y＝X＋1，则X＝Y－1，随机变量Y的分布列为Y012P(1－a)22a(1－a)a2由二项分布的有关学问可知，Y～B(2，a)，所以E(Y)＝2a，D(Y)＝2a(1－a)，所以E(X)＝E(Y－1)＝E(Y)－1＝2a－1，D(X)＝D(Y－1)＝D(Y)＝2a(1－a)．又E(X)＝D(X)，所以2a－1＝2a(1－a)，得a＝eq\f(\r(2),2)．故选D．6．签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中随意取3支．设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6B解析：由题意可知，X可以为3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)．由数学期望的定义可求得E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25．7．某群体中的每位成员运用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中运用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝________．0.6解析：由题意，运用移动支付的人数X听从二项分布，则D(X)＝10p(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或p＝0.6，又P(X＝4)＜P(X＝6)，即Ceq\o\al(4,10)p4(1－p)6＜Ceq\o\al(6,10)p6(1－p)4，化简得(1－p)2＜p2，解得p＞eq\f(1,2)，所以p＝0.6．8．(2024·浙江模拟)某同学在上学路上要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为eq\f(1,2)．若他在第一个十字路口遇到红灯，则在其次个十字路口遇到红灯的概率为eq\f(1,3)；若他在第一个十字路口遇到绿灯，则在其次个十字路口遇到红灯的概率为eq\f(2,3)．记他在上学路上遇到红灯的次数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，ξ的数学期望为________．eq\f(1,6)1解析：由题意可知，P(ξ＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．ξ的可能取值为0,1,2，所以P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,6)＝1．9．某中学有4位学生申请A，B，C三所高校的自主招生．若每位学生只能申请其中一所高校，且申请其中任何一所高校是等可能的．(1)求恰有2人申请A高校的概率；(2)求被申请高校的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．解：(1)全部可能的方式有34种，恰有2人申请A高校的状况有Ceq\o\al(2,4)×22种，从而恰有2人申请A高校的概率为eq\f(C\o\al(2,4)×22,34)＝eq\f(8,27)．(2)由题意可知，随机变量的可能取值为1,2,3，则P(X＝1)＝eq\f(3,34)＝eq\f(1,27)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,4)·A\o\al(2,3)＋\f(C\o\al(2,4)A\o\al(2,3),2),34)＝eq\f(14,27)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)A\o\al(3,3),34)＝eq\f(4,9)．所以随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,27)eq\f(14,27)eq\f(4,9)E(X)＝1×eq\f(1,27)＋2×eq\f(14,27)＋3×eq\f(4,9)＝eq\f(65,27)．10．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)．(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X的全部可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24)．所以随机变量X的分布列为X0123Peq\f(1,4)eq\f(11,24)eq\f(1,4)eq\f(1,24)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12)．(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示其次辆车遇到红灯的个数，则所求事务的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(11,24)＋eq\f(11,24)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,48)．所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为eq\f(11,48)．B组新高考培优练11．(2024·重庆模拟)某企业安排加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的运用年限状况进行了抽样调查：A品牌的运用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的运用年限2345概率0.10.30.40.2更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析()A．不更换设备B．更换为A设备C．更换为B设备D．更换为A或B设备均可C解析：设更换为A品牌设备运用年限为X，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3年，更换为A品牌设备年均收益为3×100－60＝240万元；设更换为B品牌设备运用年限为Y，则E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7年，更换为B品牌设备年均收益为3.7×100－90＝280万元．所以更换为B品牌设备．12．一盒中有10个羽毛球，其中8个新的，2个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()A．eq\f(7,15) B．eq\f(8,15)C．eq\f(7,30) D．eq\f(8,30)A解析：因为从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X＝4，即旧球的个数增加了2个，所以取出的3个球中必有2个新球，即取出的3个球必为1个旧球2个新球，所以P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)．13．(2024·宁波二模)设0＜a＜1，随机变量X的分布列是：X01－a1＋a2Peq\f(1,4)bceq\f(1,4)则当b在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内增大时，()A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先减小再增大D．D(X)先增大再减小D解：0＜a＜1，由随机变量X的分布列，知：eq\f(1,4)＋b＋c＋eq\f(1,4)＝1，所以b＋c＝eq\f(1,2)，E(X)＝0×eq\f(1,4)＋(1－a)·b＋(1＋a)·c＋2×eq\f(1,4)＝b－ab＋(1＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－b))＋eq\f(1,2)＝1－2ab＋eq\f(a,2)，E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋(1－a)2·b＋(1＋a)2·c＋4×eq\f(1,4)＝(1－a)2·b＋(1＋a)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－b))＋1＝1＋eq\f(1,2)(1＋a)2－4ab，所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝－4a2b2＋2a2b＋eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,2)＝－a2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2b－\f(1,2)))eq\s\UP12(2)＋eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)，所以当b在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内增大时，D(X)先增大再减小．14．某商场实行抽奖活动，只要顾客一次性购物满180元就有一次抽奖机会．抽奖方法如下：一个抽奖箱中装有6个形态、大小完全相同的小球(4个红球和2个黄球)．顾客从中随机抽取2个，若2个都是黄球则嘉奖10元；若只有1个黄球则嘉奖3元，其余状况都无嘉奖．则每次抽奖所得嘉奖的数学期望是________元．eq\f(34,15)解析：设一次抽奖所得嘉奖是X元，随机变量X的可能取值为0,3,10，则P(X＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,6))＝eq\f(1,15)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)，P(X＝10)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(6,15)，所以E(X)＝0×eq\f(1,15)＋3×eq\f(8,15)＋10×eq\f(6,15)＝eq\f(84,15)．15．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是________(用数字作答)，记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)，则E(2ξ＋1)＝．eq\f(10,21)eq\f(7,3)解析：(1)记“这3个数恰有一个是偶数”为事务A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21)．(2)随机变量ξ的取值为0,1,2，ξ＝2的状况：123、234、345、456、567、678、789，共7种可能，ξ＝1的状况：12(4～9)，89(1～6)，有6×2＝12种；23(5～9)，34(1,6～9)，…，78(1～5)，有5×6＝30种；总共42种，ξ＝0的状况：Ceq\o\al(3,9)－7－42＝35种，故P(ξ＝0)＝eq\f(35,C\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(42,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(7,C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，所以ξ的分布列为ξ012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)所以ξ的数学期望为E(ξ)＝0×eq\f(5,12)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,12)＝eq\f(2,3)．所以E(2ξ＋1)＝2×eq\f(2,3)＋1＝eq\f(7,3)．16．甲、乙两个袋子中，各放有大小和形态相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概率是eq\f(1,10)．(1)求n的值；(2)从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，求另一个标号也是1的概率；(3)从两个袋子中各取一个小球，用ξ表示这两个小球的标号之和，求ξ的分布列和E(ξ)．解：(1)eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,n＋3))＝eq\f(n(n－1),(n＋3)(n＋2))＝eq\f(1,10)，解得n＝2或n＝－eq\f(1,3)(舍去)．(2)记“一个标号是1”为事务A，“另一个标号也是1”为事务B，所以P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5)－C\o\al(2,3))＝eq\f(1,7)．(3)ξ＝0,1,2,3,4，P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(4,25)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(8,25)，P(ξ＝4)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)，所以随机变量ξ的分布列为ξ01234Peq\f(1,25)eq\f(4,25)eq\f(8,25)eq\f(8,25)eq\f(4,25)E(ξ)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(4,25)＋2×eq\f(8,25)＋3×eq\f(8,25)＋4×eq\f(4,25)＝2.4．17．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保修理实惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费修理2次，超过2次每次收取修理费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费修理4次，超过4次每次收取修理费1000元．某医院打算一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内修理的次数，得下表：修理次数0123台数5102015以这50台机器修理次数的频率代替1台机器修理次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需修理的次数．(1)求X的分布列；(2)以所需延保金及修理费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算