河南省十市2025届高三数学下学期开学考试理试卷

Page17河南省十市2024届高三数学下学期开学考试（理）试卷考生留意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本试卷主要命题范围：高考范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则M∩N＝（）A. B. C. D.2.已知复数是纯虚数，则m＝（）A.3 B.1 C．－1 D.－33.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台．今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为，则水库深度（棱台的高）为（）A.10m B.20m C.30m D.40m4.已知抛物线C：，过焦点F的直线与C在第四象限交于M点，则|MF|＝（）A.3 B.4 C.5 D.65.记为等差数列的前n项和，已知，，则（）A.3 B. C.2 D.6.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A.14 B.15 C.16 D.177.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23，若利用回来直线方程来拟合预料，且7月相应于点（7，35）的残差为－0.6，则（）A.1.0 B.2.0 C.3.0 D．4.08.已知的绽开式中的系数为－40，则实数m＝（）A.4 B．2 C.－2 D.－49.记函数的最小正周期为T，若，且函数f（x）的图象关于点（，－3）对称，则当取最小值时，（）A.2 B.1 C．－1 D.－210.已知曲线在点A处的切线，与x轴交于点B，曲线在点C处的切线与x轴交于点D，若，则的最小值为（）A. B. C.2 D.311.已知F是双曲线E的右焦点，O为坐标原点，A是E的右支上一点，若，则E的离心率为（）A. B. C. D.212.已知函数f（x），g（x）的定义域为R，且，若g（x）为偶函数，，则（）A.24 B.26 C.28 D.30二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，若，则实数a＝___．14.写出与圆和都相切的一条直线的方程___．15.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为___．16.现取长度为2的线段MN的中点，以为直径作半圆，该半圆的面积为（图1），再取线段的中点，以为直径作半圆，全部半圆的面积之和为（图2），再取线段的中点，以为直径作半圆，全部半圆的面积之和为，以此类推，则___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，．（1）证明：为定值；（2）若，求△ABC的周长．18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某探讨机构为了解学生对预防近视学问的驾驭程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发觉其得分（满分：100分）都在区间[50，100]中，并将数据分组，制成如下频率分布表：分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频率0.150.25m0.300.10（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深化调查，设X为抽取的4人中得分在[70，100]的人数，求X的分布列与数学期望．19.（12分）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，．（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；（2）若，求二面角的余弦值．20.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过A（－1，0），B（，－1）两点．（1）求E的方程；（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满意，当M，O，N三点不共线时，求△MON的面积的最大值．21.（12分）已知函数．（1）探讨f（x）的单调性；（2）若是f（x）的两个极值点，证明．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22.[选修：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的一般方程；（2）若l与C有两个不同公共点，求m的取值范围．23.[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数，若对随意，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．

高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D 因为，所以．2.B ，由题意可知，解得．3.A 设水库深度为hkm，由题意，，解得，即．4.C 由题意可知，F的坐标为（1，0），则＝1，所以，则抛物线C的方程为，设，由，解得，所以．5.D 设等差数列的公差为d，由，得，解得，则，，所以．6.B 由题知，时，，起先出现，故输出的k的值为157.B ，所以．因为相应于点（7，35）的残差为－0.6，则点（7，35.6）在回来直线，即，解得，则．8.A法一：的绽开式中的项只有和，因此的系数为，由题意可知，解得．法二：因为，若，则k＝3，r＝3或k＝4，r＝5，所以的系数为，解得．9.D 由题意可知，，由，得，所以，因为，所以，又函数f（x）的图象关于点（，－3）对称，所以，所以，当时，取得最小值4，则，故．10.C 法一：设，则．所以直线AB的方程为，令，得x＝，则，所以，设，则，同理|CD|＝，由得，，所以，则，所以，令，则，则，令，解得，令，解得，所以h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则，所以的最小值为．法二，当且仅当，即时两个“＝”同时成立，所以|AB|＋1CD|的最小值为．11.A 法一：若点A是E的右顶点，则，又，得，这是不行能的．不妨设点在第一象限，由题意可知，，则，所以，在△OAF中，则，则，将点（，）代入E的方程得，整理得，即，所以，则，所以E的离心率为．法二：设点在第一象限，由题意可知，|OF|＝c，则，所以，有中，，则，由双曲线的其次定义可知，即，解得，所以，因此E的离心率为．12.B 因为g（x）为偶函数，所以，由，得，所以f（3－x）＝），则f（x）的图象关于直线对称．由，得，将其代入g（x）＋，得，则，所以，则，所以，则g（x）的一个周期为8，由，得，由，，由，得，由，得，，，2，则，13. ，由，得，解得．14.或或（答案不唯一，3个中任填一个即可） 易知圆和外切，明显与这两圆都相切．设直线与圆和都相切，则且，所以，令，则，解得或t＝－3，当时，解得，此时，直线方程为；当时，，解得，当时，b＝；当时，，所以直线方程为或．15. 四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形ABCD的外接圆半径为r，AC与BD的夹角为，则四边形ABCD的面积，当且仅当四边形ABCD是正方形时，四边形ABCD的面积取到最大值）要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心O，该四棱锥为正四棱锥，设底面的边长为a，四棱锥的高为h，底面外接圆的半径为，由题意可知，，即，所以，则，四棱锥的体积为，令，则，由，得，由，得，由x∈（，4），得，所以在上单调递增，在上单调递减，则当时，f（x）取得极大值，也就是最大值，此时．16. 易知，在第n个图中，从第2个半圆起，每个半圆的面积为前一个半圆面积的，则，，设，①，②由①－②得，，所以，故．17.（1）证明：由题知所以，则，由正弦定理得，，…………3分由余弦定理得，整理得，，，故为定值，得证．………………6分（2）解：由及余弦定理可知，，又，所以，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又，所以，故△ABC的周长为．…………12分18.解：（1）由频率分布表可知．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分这200份问卷得分的平均值估计为．．．．．．．4分（2）从该校学生中随机抽取1人，此人得分在[70，100]的概率为，由题意可知，，X的全部可能取值为0，1，2，3，4，．．．．．．．．．5分所以X的分布列为X01234P………………10分所以，（或E）．………………12分19.（1）证明：连结BD，因为PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为，所以，又，所以，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又，PD平面PCD，CD平面PCD，所以BC⊥平面PCD，………………3分以BC平面PBC，故平面PCD⊥平面PBC．…………4分（2）解：延长AD与过C且平行于AB的直线交于点E，设，则，过C作CF⊥AB，则，所以，联立解得（舍去），或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分以D为坐标原点，以DA，DP所在直线分别为x轴，z轴，以过D点且平行于AB的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，0，0），B，4，0），P（0，0，4），C，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设平面PAB的一个法向量为，由，得，取，则．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面PBC的一个法向量为，由，得取，则．．．．10分于是，故二面角P－AB－C的余弦值为．………………12分20.解：（1）设E的方程为，由题意可知，，解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故E的方程为．………………3分（2）由椭圆的对称性，不妨设F为下焦点，则F（0，－1），所，因为，所以直线MN的斜率为1，设直线MN的方程为，………………4分由，消去y并整理得，则，所以且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分原点O到直线MN的距离为，………………9分则△MON的面积为，当且仅当，即，△MON的面积大．．．．．．11分明显满意且，所以△MON的面积的最大值为．………………12分21.解：（1）易知f（x）的定义域为．．．．．．．．．．1分当时，由，得，由，解得（舍去）．时，时，，所以f（x）在上单调递增，在）上单调递减．．．．．．．．．．．2分当时，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当时，，所以f（x）在上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，由，得，时，时，，所以f（x）在（0，）上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．…………5分（2）由（1）可知．是方程的两根，则．．．．．．．．．6分将代入上式可得．．．．．．．．．．．．．．7分要证明，需证，即证，………………8分因为，所以，只需证明，设，则，只需证明，即证．．．．．．．．．．．．10分令，则，所以g（t）在（1，＋∞）上单词递减，可得，所以．故………………12分22.解：（1）因为，且．．．．．．．．．2分所以，