2023-2024学年河北省石家庄市高二（上）期末数学质检试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省石家庄市高二（上）期末数学质检试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=2t3−5t2，则汽车在A.10 B.14 C.4 D.62.将序号分别为1，2，3，4，5的五张参观券全部分给甲，乙，丙，丁四人，每人至少1张，如果分给甲的两张参观券是连号，那么不同分法的种数是(

)A.6 B.24 C.60 D.1203.设离散型随机变量X的分布列为：则q=(

)X12P1−2qqA.12 B.1−22 C.1+4.已知一组观测值(x1,y1)，(x2,y2)，…，A.0 B.0.5 C.0.9 D.15.(xy−yx)A.−4 B.4 C.−6 D.66.李老师教高二甲班和乙班两个班的数学，这两个班的人数相等.某次联考中，这两个班的数学成绩均近似服从正态分布，其正态密度函数f(x)=12πσe(x−μ)22σ2的图像如图所示，其中μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差，且P(|X−μ|≤σ)=0.6827A.甲班的平均分比乙班的平均分高

B.相对于乙班，甲班学生的数学成绩更分散

C.甲班108分以上的人数约占该班总人数的4.55%

D.乙班112分以上的人数与甲班108分以上的人数大致相等7.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有(

)A.51种 B.45种 C.48种 D.42种8.已知函数f(x)=(x−1)ex−kx3+1，若对任意的x1，x2∈(0,+∞)，且A.(0,e3] B.(−∞,e3]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.对于独立性检验，χ2的值越大，说明两事件的相关程度越大

B.以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，若其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3(e为自然对数的底数)

C.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程y=a+b10.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(

)A.C32+C42+C52+⋯+C112=220

B.记第n行的第i个数为ai，则i=1n+13i−1ai11.某大学文学院有A、B两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A的概率为13；他第二天去自习室B的概率为14；如果他第一天去自习室A，则第二天去自习室B的概率为12.A.小王两天都去自习室A的概率为14B.小王两天都去自习室B的概率为112

C.小王两天去不同自习室的概率为34D.如果他第二天去自习室B，则第一天去自习室三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ，则E(ζ)=______．13.在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量X，Y的取值集合均为{0,1,2,3,⋯,n}(n∈N∗)，则X，Y的散度D(X||Y)=i=0nP(X=i)lnP(X=i)P(Y=i).X01P11Y01P1−pp14.若二次函数f(x)=2x2+3的图象与曲线C：g(x)=aex四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设函数f(x)=x3−3x2−9x+8．

(1)求f(x)在x=1处的切线方程；

(2)求16.(本小题15分)

已知f(x)=(2x−3)n展开式的二项式系数和为512，且(2x−3)n=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+⋯+an(x−1)n．17.(本小题15分)

在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯.某研究小组为研究转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校中随机抽取100名学生进行调查，其中有上课转笔习惯的有55人.经调查，得到这100名学生近期考试的分数的频率分布直方图.记分数在600分以上的为优秀，其余为合格．

(Ⅰ)请完成下列2×2列联表.并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析成绩优秀与上课转笔之间是否有关联；(结果均保留到小数点后三位)上课转笔上课不转笔合计优秀合格20合计55100(Ⅱ)现采取分层抽样的方法，从这100人中抽取10人，再从这10人中随机抽取5人进行进一步调查，记抽到5人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(Ⅲ)若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中上课转笔的人数为k的概率为P(k)，当P(k)取最大值时，求k的值．

附：χ2=n(ad−bc)P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(本小题17分)

一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选100名学生进行记忆测试，通过讲解100个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间t(分钟)和答对人数y的统计表格如下：时间t(分钟)102030405060708090100答对人数y987052363020151155lgy1.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7时间t与答对人数y和lgy的散点图如图：

附：i=110ti2=38500,i=110yi=342,i=110lgyi=13.52,i=110tiyi=10960,i=110tilgyi=621.7，对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，⋯，(un,vn)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线方程v19.(本小题17分)

对于正实数a，b(a>b)，我们熟知基本不等式：G(a,b)<A(a,b)，其中G(a,b)=ab为a，b的几何平均数，A(a,b)=a+b2为a，b的算术平均数．现定义a，b的对数平均数：L(a,b)=a−blna−lnb．

(1)设x>1，求证：2lnx<x−1x，并证明G(a,b)<L(a,b)；

(2)若不等式G(a,b)+A(a,b)>m⋅L(a,b)对任意正实数参考答案1.C

2.B

3.B

4.D

5.D

6.D

7.A

8.B

9.ABC

10.BD

11.BC

12.1

13.[0,+∞)

14.(0,8e15.解：(1)函数f(x)=x3−3x2−9x+8，函数的导数为f′(x)=3x2−6x−9．

f′(1)=−12，f(1)=−3，

f(x)在x=1处的切线方程：y+3=−12(x−1)，

即12x+y−9=0．

(2)令f′(x)=0，3x2−6x−9=0，解得x1=3，x2=−1．

当−1<x<3时，可得f′(x)<0，

即f(x)的单调递减区间(−1,3)，

x<−1或x>3，可得f′(x)>0，

∴函数单调递增区间(−∞,−1)，(3,+∞)．

∴f(x)的极大值点x=−1，16.解：(Ⅰ)∵2n=512，

∴n=9．

又(2x−3)9=[2(x−1)−1]9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+...+a9(x−1)9，①

∴a2=C9222(−1)7=−144；17.解：(Ⅰ)2×2列联表如下：上课转笔上课不转笔合计合格254570优秀201030合计4555100零假设H0：成绩是否优秀与上课是否转笔无关，

χ2=100(25×10−45×20)270×30×45×55=169002079≈8.129>6.635，

根据小概率值k=0.01的独立性检验，推断H0不成立，

所以有99%的把握认为成绩是否优秀与上课是否转笔有关．

(Ⅱ)根据频率分布直方图大于600分的频率为(0.0125+0.0025)×20=0.3，

小于600分的频率为1−0.3=0.7，

故由分层抽样知，抽取的10人中合格有10×0.7=7人，优秀的为10×0.3=3人，

则从这10人中随机抽取5人，合格人数X服从超几何分布，

由题意X的可能值为2，3，4，5，

故P(X=2)=C72X2345P1551E(X)=2×112+3×512+4×512+5×112=72．

(Ⅲ)由题意随机抽取1人则其上课转笔的概率为45100=0.45，

故根据题意k～B(20,0.45)，则P(k)=C20k×0.45k×(1−0.45)18.解：(Ⅰ)根据散点图判断，lgy=ct+d更适作为线性回归类型；

(Ⅱ)根据(1)的判断结果，计算t−=110i=110ti=55，lgyi−=110i=110(lgyi)=1.35，

所以c=i=110tilgyi−10×t−lgyi−i=110ti2−10t−2=620.9−10×55×1.3538500−10×5519.证明：(1)令f(x)=lnx−12(x−1x)，有

f′(x)=1x−12−12x2=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2，

所以f′(x)≤0，得f(x)在1，+∞)上单调递减，

又f(1)=0，故当x>1时，f(x)<0，

因此，当x>1时，l