新七年级数学（人教版）第12讲 解一元一次方程-合并同类项与移项（人教版）（解析版）

第12讲解一元一次方程——合并同类项与移项【人教版】·模块一化系数为1·模块二解一元一次方程——移项·模块三课后作业模块一模块一化系数为1【考点1化系数为1】【例1.1】方程2x=7的系数化为1，正确的是（

）A．x=7+2 B．x=72 C．x=2【答案】B【分析】方程两边同除以2即可得．【详解】解：方程两边同除以2，得x=7故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．【例1.2】把x的系数化为1，正确的是（

）A．15x=3得x=35 B．3x=1得x=3 C．0.2x=3得x=3【答案】D【分析】根据每个选项的未知数的项除以系数即可得到结论．【详解】解：A，方程两边同除以15可得x=15，故选项AB.方程两边同除以3可得x=13，故选项C.方程两边同除以0.2可得x=15，故选项C错误，不符合题意；D.方程两边同除以43可得x=3，故选项D故选：D【点睛】解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1；此题是形式简单的一元一次方程．同时考查了等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的非零的数或式子，两边依然相等．【例1.3】解方程：﹣5x＝4，得（）A．x＝54 B．x＝45 C．x＝﹣45 【答案】C【分析】方程两边除以﹣5即可求出解【详解】方程﹣5x＝4，解得：x＝﹣45故选C【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键【变式1.1】方程12A．x=−8 B．x=−18 C．x=−1【答案】A【分析】按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答．【详解】解：12解得：x=−8，故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式1.2】解方程：7【答案】x=【分析】方程两边同时乘37【详解】解：7337x=23【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握等式的基本性质是解答本题的关键．【考点2合并同类项】【例2.1】对于方程－x＋6x－2x＝10，下列合并同类项正确的是(

)A．5x＝10B．4x＝10C．3x＝10D．2x＝10【答案】C【详解】方程左侧合并同类项，得(-1+6-2)x，即3x；方程右侧为10.因此，方程合并同类项后应为：3x=10.【变式2.1】下列各方程合并同类项中，不正确的是(

)A．由4x−2x=4，得2x=4 B．由2x−3x=3，得−x=3C．由5x−2x+3x=12，得x=12 D．由−7x+2x=5，得−5x=5【答案】C【分析】根据合并同类项，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.由4x−2x=4，得2x=4，故该选项正确，不符合题意；B.由2x−3x=3，得−x=3，故该选项正确，不符合题意；C.由5x−2x+3x=12，得6x=12，故该选项不正确，符合题意；D.由−7x+2x=5，得−5x=5，故该选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次方差，熟练掌握合并同类项是解题的关键．【考点3解一元一次方程——合并同类项】【例3.1】解方程：(1)x−7x=−6(2)4x−1.5x=−0.5x−9．【答案】(1)x=1(2)x=−3【分析】（1）直接合并同类项，再把系数化为1，即可求解；（2）先移项，再合并同类项，然后把系数化为1，即可求解．【详解】（1）解：x−7x=−6合并同类项得：−6x=−6解得：x=1（2）解：4x−1.5x=−0.5x−9移项得：4x−1.5x+0.5x=−9，合并同类项得：3x=−9解得：x=−3【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，里面各项都变号是解题的关键．【例3.2】请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；剩下十五围着我，鸭有多少请算清．根据诗的内容，设共有x只鸭子，可列方程：________________，得合并同类项，得________，两边乘________，得x=________．【答案】x−12x−【分析】根据题意列出一元一次方程进行求解即可；【详解】本题相等关系为“鸭子的总数-一半的鸭子数-一半的一半的鸭子数=15"．根据题意，列方程为x−1合并同类项，得14两边乘4，得x=60．故答案为：x−12x−【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键．【例3.3】三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数是（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】设出一个奇数，表示出另外两个数，列出方程解出这三个数，再计算它们的积．【详解】解：设中间的奇数为m，则m−2+m+解得m=5．则三个奇数分别为3，5，7，∴最大的奇数为7，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．找到三个连续奇数间的数量关系是解题的关键．【变式3.1】解方程：3x－x＝8【答案】x=4【分析】合并同类项，系数化为1即可求解.【详解】解：合并同类项得：2x＝8，系数化为1得：x=4.【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题关键.【变式3.2】一件服装以120元的价格销售，亏损20%，则这件服装的进价是________元．【答案】150【分析】设进价为x元，列方程解答即可得到x的值．【详解】解：设进价为x元，根据题意，得（1-20%）x=120，解这个方程，得x=150，故答案为：150．【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解进价、售价、利润率间的关系．模块二模块二解一元一次方程——移项移项:把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.【考点1移项】【例1.1】方程x−3=3A．x+32x=1−3 B．x−32x=1+3【答案】B【分析】根据等式的性质，把方程x−3=32x+1【详解】解：把方程x−3=32x+1故选：B．【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．【例1.2】在下面的移项中，正确的是（

）A．若x−4=8，则x=8−4B．若3s=2s+5，则−3s−2s=5C．若5w−2=4w+1，则5w−4w=1+2D．若8+x=2x，则8−2x=2x−x【答案】C【分析】移项是把方程的一项改变符号后，从一边移到另一边．由此注意判断选项．【详解】解：A.若x−4=8，则x=8+4，故选项A错误在移项不变符号，不合题意；B.若3s=2s+5，则3s−2s=5，故选项B错误在不移项变符号，不合题意；C.若5w−2=4w+1，则5w−4w=1+2，故选项C正确，符合题意；D.若8+x=2x，则8=2x−x，故选项D错误，不合题意；故选：C．【点睛】本题考查了等式的基本性质和移项，掌握正确移项的方法是解此题的关键．【变式1.1】下列方程移项、系数化为1正确的是（

）A．由3+x＝5，得x＝5+3B．由2x+3＝x+7，得2x+x＝7+3C．由7x＝﹣4，得x＝﹣7D．由12y＝2，得y【答案】D【分析】根据等式的性质逐项分析即可．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．【详解】解：A.由3+x＝5，得x＝5-3B.由2x+3＝x+7，得2x-x＝7-3C.由7x＝﹣4，得x＝﹣47D.由12y＝2，得y故选D【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握等式的性质是解题的关键．【变式1.2】如图表示解方程3x＋3＝x－5的流程，其中“移项”这一步骤的依据是_______________．【答案】等式两边同时加(或减)同一个数(或整式)，所得等式仍然成立【分析】移项的依据是等式的基本性质1.【详解】解：“移项”这一步骤的依据是等式两边同时加(或减)同一个数(或整式)，所得等式仍然成立.故答案为等式两边同时加(或减)同一个数(或整式)，所得等式仍然成立.【点睛】本题考查了一元一次方程的解法步骤.【变式1.3】解方程2x－1＝x＋3，移项，得2x________＝3________.【答案】－x，＋1【分析】根据解一元一次方程中的“移项”即可解答．【详解】解：移项，得2x－x＝3＋1，故答案为－x，＋1.【点睛】本题考查解一元一次方程中的“移项”，注意移项要变号．熟知解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．【考点2解一元一次方程——移项】【例2.1】若代数式2m与3−m的值相同，则m等于（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可.【详解】解：∵代数式2m与3−m的值相同，.∴.2m=3−m，移项得2m+m=3，合并同类项得，3m=3系数化成1得：m=1故选：C【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键【例2.2】当x=2时，ax+3的值是5，当x=−2时，代数式ax+3的值是（

）A．−5 B．1 C．−1 D．2【答案】B【分析】根据当x=2时，ax+3的值是5，先求出a的值，再把a的值和x=−2代入ax+3即可得到答案．【详解】解：当x=2时，ax+3的值是5，即2a+3=5，解得a=1，当x=−2时，ax+3=x+3=−2+3=1，故选：B【点睛】此题考查了代数式的值和解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．【例2.3】解方程：(1)3x+10=4x+15(2)3x−4=4x+1【答案】(1)x=−5(2)x=−5【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后未知数系数化为1，即可得；（2）先移项，再系数化为1，即可得．【详解】（1）3x+10=4x+15移项，得3x−4x=+15−10合并同类项，得−x=5系数化为1，得x=−5所以，方程的解为x=−5；（2）3x−4=4x+1移项，得−x=5系数化为1，得x=−5所以，方程的解为x=−5．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤．【变式2.1】已知方程3x+1=2x−1和方程2x+a=3a+2的解互为倒数，那么a的值是_________．【答案】−【分析】求出第一个方程的解，确定出其倒数，代入第二个方程计算即可求出a的值．【详解】解：解方程3x+1=2x−1得：x=−2，∴两个方程的解互为倒数，∴把x=−12代入2x+a=3a+2，得解得：a=−3故答案为：−3【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式2.2】方程7x=4x−3的解是x=________．【答案】−1【分析】根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次方程，即可求解．【详解】解：7x=4x−3移项得，7x−4x=−3合并同类项得，3x=−3化系数为1得，x=−1故答案为：−1【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．【变式2.3】解方程：(1)3x=x−2(2)8−x=3x+2．【答案】(1)x=−(2)x=1.5【分析】根据解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1，逐个求解即可．【详解】（1）解：3x=x−2移项得：3x−x=−2，合并同类项得：2x=−2，系数化为1得：x=−1（2）解：8−x=3x+2移项：得−x−3x=2−8，合并同类项得：−4x=−6，系数化1得：x=1.5．【点睛】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解法．【考点3列方程解决实际问题】【例3.1】《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数，羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（）A．5x+45=7x+3 B．5x+45=7x−3C．5x−45=7x+3 D．5x−45=7x−3【答案】A【分析】设买羊人数为x人，根据题意列出方程即可【详解】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为5x+45=7x+3．故选：A．【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．【例3.2】如图，天平两边盘中标有相同字母的物体的质量相同，若A物体的质量为20克，当天平处于平衡状态时，B物体的质量为（

）A．10克 B．15克 C．20克 D．30克【答案】A【分析】设B物体的质量为x克，由图可列方程2×20+x=20+3x，解方程即可．【详解】解：设B物体的质量为x克，由图可得2×20+x=20+3x，解得，x=10．所以B的质量为10克，故选：A．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是由天平得到方程．【例3.3】一根长24米的铁丝围成一个长是宽的2倍的长方形，求这个长方形的宽．【答案】长方形的宽为4米【分析】根据长方形的性质，设宽为x，则长为2x，由周长24米即可求解．【详解】解：设宽为x，则长为2x，∴2x+2×2x=24，解方程得，x=4，∴长方形的宽为4米．【点睛】本题主要考查长方形的性质，与一元一次方程的综合运用，掌握题目的数量关系列方程是解题的关键．【变式3.1】某筐内有苹果、雪梨、香蕉三种水果共450个，它们的数量比为1：3：5，则苹果有______个．【答案】50【分析】设苹果有x个，则雪梨有3x个，香蕉有5x个，根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】设苹果有x个，则雪梨有3x个，香蕉有5x个，∴x+3x+5x=450，∴解得x=50．∴苹果有50个．故答案为：50．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意设出未知数求解．【变式3.2】某商场将一种商品以每件60元的价格售出，盈利20%，那么该商品的进货价是多少？【答案】50元【分析】设该商品的进货价是x元，根据利润=售价−进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设该商品的进货价是x元，依题意，得：60−x=20%解得：x=50．答：该商品的进货价是50元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．模块三模块三课后作业1．下列变形正确的是（）A．由3+x=5，得x=5+3 B．由7x=−4，得x=−C．由3=x−2，得x=3+2 D．由12y=0【答案】C【分析】分别对所给的四个方程利用等式性质进行变形，可以找出正确答案．【详解】解：A、由3+x=5，得x=5−3，因为移项时没有变号，所以原变形错误，故此选项不符合题意；B、由7x=−4，得x=−4C、由3=x−2，得x=3+2，原变形正确，故此选项符合题意；D、由12y=0，得故选：C．【点睛】本题考查等式的性质．解题的关键是明确方程的变形一般是根据等式的性质．移项时注意变号．2．已知方程ax−2=x的解是x=2，则关于x的方程ax−2=4a的解为（A．x=2 B．x=4 C．x=6 D．x=8【答案】C【分析】把x=2代入ax−2=x求出a的值，再把a的值代入ax−2【详解】解：把x=2代入ax−2=x，得2a−2=2，∴a=2，把a=2代入ax−22x−2∴x−2=4∴x=6．故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程解得定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为250元，若按标价的8折出售，仍可获利50元，设这款羽绒服进价为x元，根据题意可列方程为（

）A．250×0.8−x=50 B．250−0.8x=50C．250×0.2−x=50 D．250−0.2x=50【答案】A【分析】设这款服装的进价是每件x元，根据利润=售价−进价建立方程，从而可得答案．【详解】解：设这款服装的进价是每件x元，由题意，得250×0.8−x=50．故选：A．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据利润=售价−进价建立方程是关键．4．把数轴上的点A向右移动8个单位长度得到点B，若A点表示的数与B点表示的数互为相反数，则A点表示的数是（

）A．8 B．4 C．−4 D．−【答案】C【分析】根据题意表示出B点对应的数，再利用互为相反数的性质分析得出答案．【详解】解：设数轴上的点A对应的点为a，由题意可得：B点对应的数是：a+8，∵点A和点B表示的数恰好互为相反数，∴a+a+8=0，解得：a=−4．故选：C．【点睛】此题主要考查了数轴、相反数以及解一元一次方程，正确表示出B点对应的数是解题关键．5．如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和可能是①57②63③70④105⑤140，其中正确的可能有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x−8，x−6，x−1，x+1，x+6，x+8，得出这7个数之和为：x−8+x−6+x−1+x+1+x+x+6+x+8=7x，再分别求出这7个数，即可得出答案．【详解】解：设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x−8，x−6，x−1，x+1，x+6，x+8，这7个数之和为：x−8+x−6+x−1+x+1+x+x+6+x+8=7x，由题意得：①7x=57，解得：x=57②7x=63，解得：x=9，能求得这7个数；③7x=70，解得：x=10，能求得这7个数；④7x=105，解得：x=15，能求得这7个数；⑤7x=140，解得：x=20，不能求得这7个数；故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．6．比−a的3倍大5的数等于a的2倍，依题意列出的方程是______．【答案】−3a+5=2a【分析】−a的3倍，即为−3a，则比−a的3倍大5的数为−3a+5，a的2倍即为2a，由此建立方程即可．【详解】解：由题意得−3a+5=2a，故答案为：−3a+5=2a．【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确表示出−a的3倍大5的数和a的2倍的数是解题的关键．7．若代数式a+3的值为2，则a等于________．【答案】−1【分析】根据题意，可得：a+3=2，据此求出a的值是多少即可．【详解】解：根据题意，可得：a+3=2，解得a=−1．故答案为：−1．【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．8．若3a−5=2，则a=________；若4x=−12y，则x=________；若x%=2.5，则【答案】73−3y【分析】实质都是已知一个未知数的值求另一个未知数的值．直接求解即可．【详解】解：若3a−5=2，则a=7若4x=−12y，则x=−3y，若x%=2.5，则故答案为：73；−3y；250【点睛】本题考查解一元一次方程的能力．掌握等式的性质是解题的关键．9．若n+1与n−5互为相反数，则n的值为___________．【答案】2【分析】由题意知，n+1+n−5=0，计算求解即可．【详解】解：由题意知，n+1+n−5=0，解得n=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了相反数，解一元一次方程．解题的关键在于熟练掌握：互为相反数的两个数的和为零．10．方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是______．【答案】6【分析】设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2x+a=5x得出4+a=10，再求出方程的解即可．【详解】解：设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2x+a=5x，得4+a=10，解得：a=6，即▲处的常数是6．故答案为：6．【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．11．如图①，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即18+8=26．如图②，当y=303时，b的值为______．【答案】123【分析】根据图形，可以用x的代数式表示出a、b，由a+b=303求出x的值，进而求出b的值．【详解】解：由题意得：a=x+2x=3x