第1课时平方根与立方根-2022-2023学年七年级数学下册同步考点知识清单＋例题讲解＋课后练习(人教版)(原卷版+解析)

第1课时——平方根与立方根知识点一：算数平方根：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为。所以就表示的算术平方根。其中叫做根号，叫做被开方数。规定0的算术平方根是。算术平方根的性质：①算术平方根的双重非负性：只有才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个。所以算术平方根本身，算术平方根的被开方数。即0，0。非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即若，则。②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即。③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。即。求算术平方根：求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找。【类型一：求一个数的算术平方根】1．实数2的算术平方根是（）A．± B．±4 C．4 D．2．4的算术平方根是（）A．16 B．±2 C．±16 D．23．（﹣9）2的算术平方根是（）A．±9 B．3 C．9 D．﹣94．的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．55．的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±26．的算术平方根是（）A．±6 B．6 C．± D．【类型二：算术平方根的非负性应用】7．若，则3x+2y的值等于（）A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣138．若a，b为实数，且满足，则ab的值为﹣8．9．若，则mn的值是．10．已知，则（a+c）b等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4【类型三：算术平方根性质】11．计算的结果是（）A．2022 B．﹣2022 C．20222 D．﹣2022212．下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（）A． B．（﹣）2 C．﹣ D．13．下列各式成立的是（）A．＝﹣2 B．＝5 C．＝x D．＝±614．化简：＝．知识点二：平方根：平方根的定义：如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的，也叫做的二次方根。表示为。平方根的性质①正数的平方根有个，分别是与，他们互为。②规定0的平方根是。所以0的平方根只有一个，就是它本身。③负数没有平方根。求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。即，则。可表示为，。【类型一：求平方根】15．4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．1616．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C． D．±317．的平方根为（）A．± B． C． D．±【类型二：利用一个数的两个平方根的关系求值】18．若x+1是16的一个平方根，则x的值为．19．一个正数的两个平方根为a+3和a﹣8，则这个数为．20．某正数的平方根分别是2a+1和a+5，则a＝．21．已知：2m+1和m﹣3是正数a的两个平方根，则a﹣m的值是．22．已知一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，则a＝（）A．49 B．7 C．-49 D．﹣7【类型三：利用平方根解方程】23．解方程：（2x﹣1）2＝4．24．求式中的x的值：（x+3）2＝16．25．已知2（x+1）2﹣8＝0，求x的值．知识点三：立方根：立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的或。这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作。其中叫做三次根号。根指数3不能省略。求立方根：求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。立方根的性质：由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有一个立方根。正数的立方根是；0的立方根是；负数的立方根是。【类型一：求立方根】26．8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣427．（﹣8）2的立方根是．28．计算的结果是（）A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣229．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．＝﹣3 D．﹣6没有平方根30．﹣27的立方根与9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣631．已知27的立方根为a+3，则a+4的算术平方根是（）A．0 B．3 C．2 D．432．一个整数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣833．一个正数b的平方根为a+1和2a﹣7，则9a+b的立方根是（）A．2 B．3 C．9 D．±3【类型二：利用立方根解方程】34．求下列各式中x的值：（1）（x﹣1）2﹣9＝0；（2）（2x﹣1）3﹣27＝0．35．求下列各式中的x的值：（1）x3+8＝0；（2）2x2﹣18＝0．36．求下列各式中x的值：（1）（x﹣3）2﹣1＝15；（2）．第1课时——平方根与立方根（答案卷）知识点一：算数平方根：算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为。所以就表示的算术平方根。其中叫做根号，叫做被开方数。规定0的算术平方根是0。算术平方根的性质：①算术平方根的双重非负性：只有非负数才有算术平方根，且它的算术平方根也是一个非负数。所以算术平方根本身大于等于0，算术平方根的被开方数也大于等于0。即≥0，≥0。非负性的应用：几个非负数的和等于0，则这几个非负数分别等于0。即若，则0。②一个正数的算术平方根的平方等于这个数本身。即。③一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。再根据这个数的正负去绝对值符号。即。求算术平方根：求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找。【类型一：求一个数的算术平方根】1．实数2的算术平方根是（）A．± B．±4 C．4 D．分析：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案．【解答】解：2的算术平方根是．故选：D．2．4的算术平方根是（）A．16 B．±2 C．±16 D．2分析：依据算术平方根的定义求解即可．【解答】解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：D．3．（﹣9）2的算术平方根是（）A．±9 B．3 C．9 D．﹣9分析：根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：∵（﹣9）2＝81，∴81的算术平方根是9．故选：C．4．的值等于（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．5分析：根据算术平方根定义解答．【解答】解：∵32＝9，∴，故选：A．5．的算术平方根是（）A．4 B．2 C．±4 D．±2分析：利用算术平方根的意义解答即可．【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，∴的算术平方根是2，故选：B．6．的算术平方根是（）A．±6 B．6 C．± D．分析：先求出36的算术平方根＝6，然后再求6的算术平方根即可．【解答】解：∵＝6，∴6的算术平方根为．故选：D．【类型二：算术平方根的非负性应用】7．若，则3x+2y的值等于（）A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13分析：根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入3x+2y求解即可．【解答】解：∵+＝0，∴x+3＝0，x＝﹣3；y﹣2＝0，y＝2；则3x+2y＝3×（﹣3）+2×2＝﹣9+4＝﹣5．故选：A．8．若a，b为实数，且满足，则ab的值为﹣8．分析：根据绝对值和算术平方根的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵a，b为实数，且满足|a+4|+＝0，|a+4|≥0，≥0，∴a+4＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣4，b＝2，∴ab＝﹣4×2＝﹣8．故答案为：﹣8．9．若，则mn的值是．分析：根据算术平方根、偶次方的非负性求出m、n的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+（n﹣3）2＝0，，≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+2＝0，n﹣3＝0，解得m＝﹣2，n＝3，∴mn＝（﹣2）3＝﹣8，故答案为：﹣8．10．已知，则（a+c）b等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4分析：根据绝对值，算术平方根以及偶次方的非负性，求出a、b、c的值，再代入计算即可．【解答】解：∵，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，∴（a+c）b＝（1﹣3）2＝4，故选：D．【类型三：算术平方根性质】11．计算的结果是（）A．2022 B．﹣2022 C．20222 D．﹣20222分析：利用二次根式的化简的法则进行求解即可．【解答】解：＝2022．故选：A．12．下列二次根式中，化简结果为﹣5的是（）A． B．（﹣）2 C．﹣ D．分析：利用二次根式的性质进行求解．【解答】解：A的答案是5，B的结果是5，C的结果是﹣5，D的结果是5，故选：C．13．下列各式成立的是（）A．＝﹣2 B．＝5 C．＝x D．＝±6分析：根据二次根式的性质＝|a|，进行计算即可解答．【解答】解：A、＝2，故A不符合题意；B、＝5，故B符合题意；C、＝|x|，故C不符合题意；D、＝6，故D不符合题意；故选：B．14．化简：＝．分析：二次根式的性质：＝a（a≥0），根据性质可以对上式化简．【解答】解：＝＝π﹣3．故答案是：π﹣3．知识点二：平方根：平方根的定义：如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根。表示为。平方根的性质①正数的平方根有2个，分别是与，他们互为相反数。②规定0的平方根是0。所以0的平方根只有一个，就是它本身。③负数没有平方根。求一个数的平方根：求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方预算互为逆运算。即，则。可表示为，。【类型一：求平方根】15．4的平方根是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．16分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2＝a，则x就是a的一个平方根．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2，故选：A．16．9的平方根是（）A．3 B．﹣3 C． D．±3分析：根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．【解答】解：9的平方根是：±＝±3．故选：D．17．的平方根为（）A．± B． C． D．±分析：直接根据平方根的意义进行解答．【解答】解：∵（±）2＝．∴的平方根为±．故选：A．【类型二：利用一个数的两个平方根的关系求值】18．若x+1是16的一个平方根，则x的值为．分析：根据平方根的定义即可求解．【解答】解：∵（±4）2＝16，∴16的平方根是±4，∴①当x+1＝4时，解得x＝3，②当x+1＝﹣4时，解得x＝﹣5，故答案为：3或﹣5．19．一个正数的两个平方根为a+3和a﹣8，则这个数为．分析：根据一个正数有两个平方根且它们互为相反数直接计算求出a的值，然后再根据平方根的的定义求出这个数．【解答】解：由题意得，a+3+a﹣8＝0，解得a＝，∴a+3＝，a﹣8＝﹣，∵（±）2＝，∴这个数为．故答案为：．20．某正数的平方根分别是2a+1和a+5，则a＝．分析：应用平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数，进行计算即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，2a+1+a+5＝0，解得：a＝﹣2．故答案为：﹣2．21．已知：2m+1和m﹣3是正数a的两个平方根，则a﹣m的值是．分析：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，由此即可计算．【解答】解：∵2m+1和m﹣3是正数a的两个平方根，∴2m+1+m﹣3＝0，∴m＝，∴2m+1＝2×+1＝，∴a＝＝，∴a﹣m＝﹣＝．故答案为：．22．已知一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，则a＝（）A．49 B．7 C．-49 D．﹣7分析：根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0即可求解．【解答】解：∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15，∴x+5+4x﹣15＝0，∴x＝2，∴a＝（x+5）2＝（2+7）2＝49，故选：A．【类型三：利用平方根解方程】23．解方程：（2x﹣1）2＝4．分析：根据平方根的定义先求出2x﹣1＝±2，再分别求出x的值即可．【解答】解：∵（2x﹣1）2＝4，∴2x﹣1＝±2，∴2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2，∴x1＝，x2＝﹣．24．求式中的x的值：（x+3）2＝16．分析：根据平方根的定义计算即可．【解答】解：（x+3）2＝16，x+3＝﹣4或x+3＝4，解得x1＝﹣7，x2＝1．25．已知2（x+1）2﹣8＝0，求x的值．分析：根据等式的性质和平方根的意义，将一元二次方程转化为一元一次方程，进而求出答案．【解答】解：2（x+1）2﹣8＝0，移项得，2（x+1）2＝8，两边都除以2得，（x+1）2＝4，直接开方得，x+1＝±2，即x+1＝2或x+1＝﹣2，解得x＝1或x＝﹣3，所以x的值为1或﹣3．知识点三：立方根：立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作。其中叫做三次根号。根指数3不能省略。求立方根：求一个数的立方根叫做开立方，与立方运算互为逆运算。立方根的性质：由立方运算可知，任何数都有立方根，且都只有一个立方根。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。【类型一：求立方根】26．8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4分析：利用立方根的意义解答即可．【解答】解：8的立方根为2，故选：A．27．（﹣8）2的立方根是．分析：先求出（﹣8）2，再利用立方根定义即可求解．【解答】解：∵（﹣8）2＝64，64的立方根是4，∴（﹣8）2的立方根是4．故答案4．28．计算的结果是（）A．﹣4 B．2 C．±2 D．﹣2分析：利用立方根的定义计算判断即可．【解答】解：＝﹣2，故选：D．29．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．＝﹣3 D．﹣6没有平方根分析：根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意；C.＝3，因此选项C不符合题意；D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意；故选：D．30．﹣27的立方根与9的平方根之和是（）A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6分析：依据平方根和立方根的定义求得这两个数，然后利用加法法则计算即可．【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3，﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6．故选：D．31．已知27的立方根为a+3，则a+4的算术平方根是（）A．0 B．3 C．2 D．4分析：根据立方根的定义求出a的值，再代入求出a+4的值，最后由算术平方根的定义进行计算即可．【解答】解：∵27的立方根为a+3，∴a+3＝3，解得a＝0，∴a+4＝0+4＝4，∴a+4的算术平方根为＝2，故选：C．32．一个整数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为（）A．2 B．8 C．﹣2 D．﹣8分析：先根据平方根的性质求出a，b的值，再根据立方根的定义即可求解．【解答】解：∵一个整数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，∴2b﹣1+b+4＝0，解得b＝﹣1，∴a＝（b+4）2＝（﹣1+