第2章 圆锥曲线（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试沪教版2020选

第2章圆锥曲线（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练

【基础】

一、单选题

1.（2023秋・上海长宁•高二上海市延安中学校考期末）已知点（1,1）在圆/+丫2+办+。=（）外，则实数a的取

值范围为（）

A.（-1,+8）B.（-1,0）

C.（-l,0）u（4,+oo）D.（^»,0）u（4,+oo）

【答案】C

【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得.

【详解】因为点（U）在圆x2+y2+ax+a=0外，

《一0

所以丁一“,，解得：ae（-l,0）u（4,^）,

F+F+axl+a>0

故选：C

2.（2021春・上海•高二专题练习）关于以下两个命题的真假判断，正确的是（）.

命题①双曲线绕其中心逆时针旋转90。后，所得曲线即为原双曲线的共貌双曲线；

命题②经过双曲线中心的直线不可能与双曲线相切.

A.命题①为真命题，命题②为真命题；B.命题①为真命题，命题②为假命题；

C.命题①为假命题，命题②为真命题；D.命题①为假命题，命题②为假命题.

【答案】C

【分析】利用共貌双曲线的定义判断命题①；利用双曲线的性质判断命题②.

【详解】任取双曲线，不妨取双曲线£-4=1,

对于命题①：双曲线q-卫=1绕其中心逆时针旋转90。后得到的双曲线为亡-《=1,而4-?=1的共钝

434343

“2

双曲线为X-三=1,所以①是假命题；

34

对于命题②设过原点的直线/,当/的斜率不存在时，/与双曲线没有公共点；

片—£=1

当/的斜率存在时，可设/：y=履，与双曲线方程联立得：//一，

）=日

消去y得：（从—片〃）/=/。2,

当左=±2》时，/为渐近线，与双曲线不相切；

a

当七±，x时，判别式△=0-4伊-八2）（-4%2）*0,所以/与双曲线不可能相切.

所以②正确.

故选：C.

3.（2022秋•上海浦东新•高二上海市进才中学校考期末）已知方程Y+y2-2x+碎y+/n=0表示圆，则实数〃，

的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（r°,2）

C.[2,^o）D.（o,2）|J（2,叱）

【答案】D

【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解.

【详解】方程表示圆，.,.（-2）2+质!一4,〃>0,B|J（m-2）2>0,解得：m手2,

，实数机的取值范围是（—,2）（2,2）.

故选：D.

二、填空题

4.（2021秋•上海杨浦•高二上海市控江中学校考期末）设方程工-丁=1表示双曲线，则实数加的取值范围

m

是.

【答案】（0,+8）

【分析】根据双曲线的方程与系数的关系可求得实数〃，的取值范围.

【详解】因为方程f-尸=1表示双曲线，则加>0.

m

故答案为：（0,+8）.

5.（2021秋•上海杨浦・高二复旦附中校考阶段练习）已知点是圆0:/+》2=/（厂>0）外一点，则

直线V+%丫=/与圆O的位置关系为

【答案】相交

【分析】先由点与圆的位置关系得+产，再利用圆心到直线的距离与圆的半径比较即可.

【详解】因为点/（不，%）是圆O：f+），2=>0）外一点,

所以x：+y：>r2,

2

又圆心。到直线直线xox+=r的距离

所以直线x°x+=/与圆。相交.

故答案为：相交.

6.（2022秋•上海长宁•高二上海市延安中学校考期末）抛物线r=8y的焦点到准线的距离是.

【答案】4

【详解】试题分析：抛物线W=8y的焦点是（0,2），准线方程是产-2,所以焦点到准线的距离是4.

考点：抛物线性质.

7.（2022秋.上海浦东新•高二上海市建平中学校考期中）双曲线犬-1=1的实轴长为.

【答案】2

【分析】根据双曲线方程可得。，由此可得实轴长.

【详解】由双曲线方程得：4=1,.•・双曲线的实轴长为为=2.

故答案为：2.

8.（2022秋.上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习）抛物线y=4/的焦点坐标是.

【答案】RA）

【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.

【详解】由y=4V得f=Jy,所以抛物线的焦点在，'轴上，且2。=：，4=」，所以抛物线的焦点坐标为

44216

故答案为:

【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.

9.（2022春•上海徐汇・高二上海市南洋模范中学校考期中）圆/+9=5的过点M（l,2）的切线方程为

【答案】x+2y-5=0

【分析】因为点心在圆上，所以过〃点的切线和0(圆心)M垂直，求出斜率，用点斜式求出方程.

【详解】根据题意，圆/+丁=5的圆心为。(0,0),半径「=百，点M(l,2)在圆上，则自“=2,则切线的斜率

则切线的方程为—=_*_1),变形可得2y+x-5=0；

故答案为：x+2y-5=0

10.(2022秋•上海奉贤•高二校考阶段练习)已知圆心C(-l,l)且经过点A(l,3)圆的标准方程为.

【答案】(x+iy+(y-l)2=8

【分析】求得圆的半径，从而求得圆的标准方程.

【详解】圆的半径r=|AC|=V?寿=2a,

所以圆的标准方程为(x+l)2+(y-l『=8.

故答案为：(x+iy+(y-l)2=8

II.(2021秋.上海青浦.高二校考阶段练习)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小

值为.

【答案】4

【分析】依题意可得该动圆圆心在以(3,4)点为圆心，以1为半径的圆上，再根据圆外一点到圆上一点的最近

距离为该点到圆心的距离减去半径，即可得解.

【详解】根据题意圆心到定点⑶4)的距离为1,

所以圆心在以(3,4)点为圆心，以1为半径的圆C上，

易知原点在圆的圆C外，

由圆外一点到圆上一点的最近距离为该点到圆心的距离减去半径，

所以圆心到原点的距离的最小值为732+42-1=5-1=4，

故答案为：4

22

12.(2021春・上海•高二专题练习)设p是椭圆三+二=1上的动点，则产到该椭圆的两个焦点的距离之和为

53

【答案】275

【解析】由椭圆方程求出。，再根据椭圆的定义可求得结果.

【详解】由二+f=1得/=5,所以a=布,

53

由椭圆的定义可得P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=20.

故答案为：2百

13.（2021秋.上海长宁.高二上海市延安中学校考期末）抛物线）F=x的准线方程为.

【答案】T

4

【详解】抛物线V=x的准线方程为x=-J：故填X=-!.

44

14.（2021春.上海浦东新•高二上海市建平中学校考期末）设机为常数，若点尸（0,5）是双曲线上=1的

m9

一个焦点，则加=

【答案】16

【分析】根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线焦点所在的坐标轴，再根据/=/+〃列方程，求得加的

值.

【详解】双曲线的焦点坐标为尸（0,5）,故焦点在）'轴上，由。2=/+从得25=〃?+9,机=16.

【点睛】本小题主要考查根据双曲线的焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.

三、解答题

15.（2021秋・上海杨浦•高二上海市控江中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，己知圆

〃：/+>2_12尤-14），+60=0及其上一点4（2,4）.

（1）设圆N与x轴相切，与圆例外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的方程；

（2）设平行于Q4的直线/与圆M相交于B、C两点，且18cl=|。4|,求直线/的方程；

（3）设点TQ,0）满足：存在圆”上的两点尸和。，使得PQ=r4,求实数，的取值范围.

【答案】(l)(x-6)2+(y-l)2=l

⑵2x-y+5=0或2x—y—15=0

(3)[2-2同2+2同

【分析】⑴根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径和两圆外切则圆心距等于半径之和求解；(2)利

用直线与圆相交时的弦长公式结合点到直线的距离公式求解；(3)将原问题转化为I窃l=|PQ|W2r=10即可求

解.

【详解】(1)圆M即(X-6)2+()，-7)2=25,圆心M(6,7),半径r=5,

由题意，设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),

且7(6-6)2+(/j-7)2=b+5,

解得。=1,所以圆N的方程为(x-6)2+()，-1)2=1；

(2)因为％=2,所以可设/的方程为y=2x+,〃，即2x-y+,〃=0,

又|BC日OA|=V22+42=2后，

由题意，圆例的圆心M(6,7)到直线/的距离为

d==V25-5=25/5,

即,2送(一行=之。5,解得m=5或机=-15,

所以直线/的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0；

(3)因为P,。为圆M上的两点，所以|PQ142r=10,

由PQ=S,得|SHPQ|410,即"(-2>+4?410,

解得2—2历W2+2历，即实数：的取值范围为［2-2历,2+2后］.

16.(2022.上海.高二专题练习)抛物线的顶点在原点，准线过椭圆三+%=1(。>。>。)的一个焦点，且垂

直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为尸］|,平)，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程.

【答案】抛物线的标准方程为：y2=4x；椭圆的标准方程为：［+［=L

【分析】设出抛物线的标准方程，利用P可求出抛物线方程,利用椭圆与抛物线共一个焦点得到C,

(22

再根据P干一%:可、求出椭圆方程.

【详解】设抛物线的标准方程为：y2=2px,

因为P(|,半)在抛物线上，所以卷=2p1，得p=2,

所以抛物线的标准方程为：y2=4x.

因为抛物线的准线为：尤=-1,所以椭圆的一个焦点为(-1,0),所以c=l,所以〃=02=],

又P(|,2当在椭圆上，424424

所以讲+方6所以万+叩=|解得/=4,

所以椭圆的标准方程为：二+片=1.

43

17.(2022春•上海闵行•高二上海市七宝中学校考开学考试)已知直线/:(2M+1)X+(机+1))，=7机+4,圆

C:(x-l)2+(y-2)2=25

(1)证明直线/与圆C恒相交；

(2)若P(x,y)是圆C上任意一点，求》的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

⑵[3-5夜,3+5&]

【分析】(1)根据题意求直线/过定点，并证明该定点在圆内，即可证明直线/与圆C恒相交;

(2)设x+y=r,根据直线与圆的位置关系分析运算.

【详解】(1)由直线/:(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0得(2x+y-7)，〃+(x+y-4)=0,

令卢+1=。fx=3

,解得,

所以直线/过定点43,1),

圆C:(x-l)2+(y-2)2=25圆心为C(l,2),半径为5,

AC|=7(3-1)2+(1-2)2=>/5<5,即A在圆内,

所以直线/与圆C总相交.

（2）设x+y=f,即x+y-f=O为直线，

♦.•该直线和圆C有公共点，

则圆心到直线的距离4=史竟目45,解得fe［3-5板,3+50］,

所以x+y的取值范围是［3-5&,3+5夜］.

18.（2023秋•上海普陀•高二上海市晋元高级中学校考期末）Q）若直线4过点P（-l,2）,且与直线

3x-4y+5=0垂直，求直线4的方程；

（2）若直线4过点。（L-2）,且与圆产+产二］相切，求直线4的方程.

【答案】（1）4x+3y—2=0；（2）x=l或3x+4y+5=0.

【分析】（1）根据垂直列出直线《的方程，代入网-1,2）,求出直线6的方程；

（2）考虑直线〃的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离公式列出方程，求出直线方程.

【详解】（1）设直线4：4x+3y+C=。，将P（—1,2）代入得：-4+6+C=0,解得：C=-2,

故直线《的方程为4x+3）-2=0；

（2）当直线4的斜率不存在时，x=\,此时与圆V+y2=i相切，满足要求，

当直线/,的斜率存在时，设直线/2：y+2=z（x-i）,则圆心到直线距离母2=1,

解得：k=_g3,

4

故直线4：y+2=-；（x-l）,整理得：3x+4y+5=0,

故直线4的方程为x=l或3x+4y+5=0.

19.（2023秋•上海闵行•高二上海市七宝中学校考期末）已知圆C：（x-2）2+y2=l.

（1）判断直线丁=》与圆的位置关系并说明理由；

⑵过点（3,2）向圆作切线，求切线的方程.

【答案】（1）相离

⑵x=3和3x-4y-l=0

【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可判断直线'与圆的位置关系.

（2）分别讨论切线的斜率存在和不存在的情况，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可.

【详解】（1）圆C：（x-2）2+y2=l,圆心C（2,0）,半径刑=1,

圆心C（2,0）到直线y=x的距离"=差=夜＞1,

所以直线与圆的位置关系为相离.

（2）当切线的斜率不存在时，设切线为x=3,

则圆心C（2,0）到直线x=3的距离4=|2-3|=1=r,符合条件.

当切线的斜率存在时，设切线为：y-2=Mx-3）,即米-y+2-3«=0,

圆心C（2,0）到直线履-y+2-3%=0的距离4=围售㈣=1,

—+1

3

解得％=；即切线为：3x-4y-l=0.

综上切线为：x=3和3x-4y-1=0

20.（2023秋•上海浦东新•高二上海市建平中学校考期末）已知圆G：f+y2-2x-2y-l=0和圆

22

C2:x+y=S.

⑴证明：圆a和相交；

（2）求圆G和G公共弦所在的直线方程.

【答案】（1）证明见解析；

⑵2x+2y-7=0

【分析】（1）利用两圆圆心距与两圆半径之间的关系即可证明圆C1和G相交；

（2）利用两圆方程相减即可求得圆G和C2公共弦所在的直线方程.

【详解】（1）圆G：（x-l）2+（y-l『=3,圆心为（1,1）,半径为石

22

0|C2:x+y=8,圆心为（0,0）,半径为2A历

圆心距|GG|=及"2应-620+@,故圆G和G相交.

（2）由（1）可得圆G和C2相交,

x2+y2-2x-2y-l=0

联立两圆方程，

^+/-8=0

并上下相减可得圆G和C?公共弦所在的直线方程为2x+2>--7=0.

22

21.(2022秋•上海浦东新•高二上海市建平中学校考阶段练习)设f为实数，若关于的方程工+工=1

3Tt-\

表示的是曲线C,求满足下列条件的，的取值范围.

(1)曲线C是椭圆；

(2)曲线c是焦点在y轴上的双曲线.

【答案】⑴(1,2)(2,3)

⑵(3,+8)

【分析】由椭圆及双曲线的定义列不等式求解即可

3T>0

【详解】(1)由题意知"-1>0,解得次(1,2)(2,3)

3-，工，一1

V?X?it—3>0

(2)由题意知上———=1,则,八，解得fe(3,+oo)

t-\r-3r-l>0

【常考】

选择题(共1小题)

1.(2022•迎泽区校级模拟)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率

相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和

短轴一端点8分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于其，则椭圆的离心率为()

8

图1图2

A.3B.5C.近D.近

4844

22YYyy

【分析】过P(xo,")且与椭圆三三二1相切的直线方程N为利n用这一结论分别设出过C

abab

点和。点与椭圆相切的直线方程，

分别代入A,8坐标，求出C,。的坐标，进而表示出直线AC和直线B。的斜率，再代入k°・k»=至求

KACKBD8

出小人的关系式，进而求出离心率.

2222

【解答】解：设内圈椭圆的方程为三三=1,外圈椭圆的方程为一)■(一工^=1，其中相〉1,

a2b2(m?1)(rob)

则4(-ma,0),B(0,mb),设C(xc,yc),D(XD,yo).

过C点且与内圈椭圆相切的直线方程为写］,代入4点坐标，整理得乂「二」"，

Cm

代入且yC<0，解得篙=»爪2-1,所以卜b__1

cALaVm2-1

a2b2mxc+ma

过D点且与内圈椭圆相切的直线方程为号代入B点坐标，整理得丫.上，

yDm

代入三二且解得二’所以」

7=1M>°'kBD=2^-*Vm2-l-

abmXDJ

所以kiknn上二，e=,值乙昌运

KKe1

ACBDa28Ua2V84

故选：D.

【点评】本题考查椭圆的切线方程，几何性质，属于中档题.

二.填空题(共12小题)

2.(2022春•青浦区校级期末)直线/：x+wv-w-1=0被圆。：，+/=3截得的弦长最短，则实数m=1

【分析】求出直线MV过定点A(1,1),进而判断点A在圆内，当OA，/时,IMM取最小值，利用两直线

斜率之积为-1计算即可.

【解答】解：直线MN的方程可化为x-1+m(y-1)=0,

由卜-i二°,w(x=1,

17-1=01y=l

所以直线MN过定点A(1,1),

因为1+1=2V3,即点A在圆/+y2=3内.

当0A，/时，|MN］取最小值，

由koA・ki=-1,得ki=-1,

/.--=-1,即m=\.

m

故答案为：1.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，也考查了转化思想，属于基础题.

3.（2022春•青浦区校级期末）已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点尸到点（0,我）的距离与尸

到y轴的距离之和的最小值为1.

【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义转化列出方程，然后求解最值即可.

【解答】解：抛物线V=4x,抛物线的焦点坐标F（l,0）.

依题要求点P到点A（0,M）的距离与点尸到y轴的距离之和的最小值，

就是|网+|产目-l=1.此时尸、4、尸共线.

可得：V（0-l）2+（V3-0）2-1=1-

故答案为：1.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力，是中档题.

4.（2022春•崇明区校级期中）与双曲线--尸=1有相同的渐近线，且过点（12）的双曲线的标准方程

为ZLJ

-33i-

【分析】可设与双曲线/-/=1有相同渐近线的双曲线的方程为，-）2=入（入#0）,将点a,2）代入，

解方程求得入值，即可得到所求方程.

【解答】解：设与双曲线/-尸=1有相同渐近线的双曲线的方程为：--丫2=入（入#o）,

将点（1,2）代入上式，可得入=1-4=-3,

22

...所求双曲线的方程为f-尸=-3,即为匚_J=i.

33

故答案为：

33

【点评】本题考查有相同渐近线的双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算能力，属于基础

题.

5.（2022春•嘉定区校级月考）已知2/7+（«+1）），2+2x+l=0表示圆，则实数a的值是

【分析】直接利用圆的方程的应用求出结果.

【解答】解：2。2/+（a+1）y^+2x+1=0表示圆，

故2a2=q+l,解得”=1或-工，

2

当。=1时，圆的方程为x2+y2+x,=o，由于l-4X、<0,故不满足圆的方程的条件，故舍去；

当。=-工时，满足圆的方程构成的条件，故〃=-1.

22

故答案为：-1.

2

【点评】本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

2石

6.（2022春•长宁区校级期末）若双曲线Z_-y2=］的一个焦点为/⑵0）,则实数〃尸3.

m

【分析】根据双曲线方程〃计1=4即可得解.

2八

【解答】解：双曲线三__y2二］的一个焦点为尸（2,0）,

m

所以m>0且"z+l=4,

所以m=3.

故答案为：3

【点评】本题主要考查由双曲线方程求参数值的方法，属于基础题.

7.（2022春•闵行区校级期末）已知点P在抛物线），2=4x上，那么点尸到点Q（2,-1）的距离与点P到

抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点尸的坐标为-1）—.

4

【分析】先判断点。与抛物线的位置，即点。在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线

准线距离，根据图象知最小值在S,P,。三点共线时取得，则答案可求.

【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点尸到抛物线准线距离，如图，

PF+PQ^PS+PQ,故最小值在S,P,。三点共线时取得，此时P,。的纵坐标都是-1,

把y=-1代入夕=4X，得X=工.

4

.•.点尸的坐标为（工，-1）.

4

故答案为：（工，-1）.

【点评】本题考查抛物线的定义的应用，考查数学转化思想方法，是中档题.

22

8.（2022春•金山区期中）已知为，尸2是椭圆的两个焦点，过Fl的直线交此椭圆于A,B两点,

93

若团五2|+|8/切=8,则凶81=4.

【分析】根据椭圆的定义,得（|AFI|+|AF2|）+（|BFI|+|BF2|）=4“=12,由此可得|48|=12-（|A尸2|+逐尸2|）

=4,得到本题答案.

22

【解答】解：；椭圆的方程为工工=1,...4=3,b=«,可得c=五.

93

根据椭圆的定义，得|AFi|+|AF2|=|BFi|+|8/2|=2a=6

得(|AFI|+|AF2|)+(|BFI|+|BF2|)=12

22

,：AB是过椭圆1+2^=1左焦点F\的弦，得|AFi|+由Fi|=|A用

93

：.\AB\=\2-（IAF2I+IBF2D=12-8=4

故答案为：4

【点评】本题给出椭圆经过左焦点的弦48,在已知A、8到右焦点的距离和的情况下求弦AB长.着重考查

了椭圆的定义与标准方程等知识，属于基础题.

9.（2022春•宝山区校级期中）已知直线/1：4x-3j+ll=0和直线b：x=-1,抛物线y2^4x上一动点P

到直线1\和直线11的距离之和的最小值是3.

【分析】如图所示，过点P分别作PMJJi,PNkh,垂足分别为M,M设抛物线的焦点为凡由抛物线

的定义可得|PN|=|PF|,求|PM+|PN|转化为求PM+FQ，当三点M，P,尸共线时，IPM+IPQ取得最小值.利

用点到直线的距离公式即可得出.

【解答】解：如图所示，

过点P分别作PN±l2,垂足分别为M,N.

设抛物线的焦点为FQ,0）,由抛物线的定义可得|PN|=|Pfl，

：.\PM\+\PN\=\PM\+\PF],当三点M,P,尸共线时,1PM+IPR取得最小值.

其最小值为点F到直线/I的距离，...|五例|=4-0+111=3.

3+32

【点评】本题考查了抛物线的定义及其性质、三点共线、点到直线的公式，属于难题.

22

10.（2022春•徐汇区校级期末）已知双曲线¥一今二1（@>0,b>0）的左右焦点分别为八乃，过为

的直线分别交双曲线的两条渐近线于点尸，Q.若点P是线段尸1。的中点，且。22,则此双曲线的离

心率等于2.

【分析】由于。门，。尸2,可得点。在圆/+/=。2.与y」x可得。，再利用中点坐标公式可得P，代入

a

直线y=_^x即可得出.

a

【解答】解：如图所示，

'：QF\LQFi,

.•.点。在圆/+/=c2.

x2+y2=c2

联立「b'C解得（x=a,（]x=-a舍劫.

y—x\y=bly=-b

，。（a,b）.

.•.线段FiQ的中点P（•豆£,电）.

,22’

代入直线y=±X可得且=aX-，

a2a2

化为c—2n>>•e=c=2*

a

故答案为：2.

【点评】本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的性质、中点坐标公式等基础知识，属于中档题.

11.(2022春•奉贤区校级期末)已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，的延长线交y轴

于点N.若M为FN的中点，则IFNI=6.

【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可.

【解答】解：抛物线C：/=8x的焦点F(2,0),M是C上一点，的延长线交y轴于点M若M为FN

的中点，

可知M的横坐标为：1,则M的纵坐标为：±2\历，

226

\FN\=2\FM\=2^(1-2)+(±2>/2-0)=-

【也可以利用定义：尸N|=2|FM|=2|-1-2|=6求解工

故答案为：6.

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.

12.(2022春•长宁区校级期末)若将方程I/(x-4)2+y2-J(x+4)2+y2|=6化简为《-与=1的形式,

贝ija2-庐=2.

【分析】方程M(x-4)2+y2H(x+4)2+y2|=6,表示点(x,>)到(4,0),(-4,0)两点距离差的

绝对值为6,由此可得双曲线的方程，从而可得结论.

【解答】解：方程M(x-4)2+y2f/(x+4)2+y2|=6,表示点(x,y)到(4,0),(-4,0)两点距离

差的绝对值为6,

...轨迹为以(4,0),(-4,0)为焦点的双曲线，方程为式_X：=i

97

.,.a2-b2—2

故答案为：2

【点评】本题考查双曲线的定义与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

13.(2022春•宝山区校级月考)已知AC、为圆O：/+尸=4的两条相互垂直的弦，垂足为五),

则四边形ABC。的面积的最大值为5.

【分析】设圆心到AC、8。的距离分别为力、＜12,则疗+疗=3,代入面积公式s=LcXB。，使用基本

2

不等式求出四边形48C。的面积的最大值.

【解答】解：如图

连接。A、作OEL4C。尸，8。垂足分别为E、F

'：AC±BD

二四边形OEMF为矩形

己知OA=OC=2OM=y/3,

设圆心O到AC.BD的距离分别为di、d2,

则d\2+dr=OM2=3.

四边形A8CO的面积为：s=4・|AC|(\BM\+\MD\),

2

从而：

s=y|AC|•|BD|=闻(4-冷(4-dQ48-(dj+dQ=5，

当且仅当力2=d22时取等号，

故答案为：5.

【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中

档题.解答关犍是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算.

三.解答题（共5小题）

14.（2022春•闵行区校级期末）已知直线/过点A（-3,1）,且与直线4x-3y+f=0垂直.

（1）求直线/的一般式方程；

（2）若直线/与圆C：x2+y2=z„相交于点p,Q,且|PQ=8,求圆C的方程.

【分析】（1）结合两直线垂直时斜率的关系求出直线/的斜率，进而可以求出结果；

（2）求出圆心到直线的距离，结合勾股定理列出方程即可求出结果.

【解答】解：（1）因为直线/与直线4x-3y+f=0垂直，所以直线/的斜率为上，

4

故直线/的方程为（x+3），即3x+4y+5=0,

因此直线I的一般式方程为3x+4y+5=0.

（2）圆C：/+/=〃?的圆心为（0,0）,半径为6，

圆心（0,0）到直线I的距离为上'?+士义止也1=1，

则半径满足"2=42+12=17,即初=17,所以圆C：x2+y2=17.

【点评】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程的求解等知识，属于基础题.

15.（2022春•黄浦区校级期中）设椭圆£+武=1（心心0）的左焦点为凡左顶点为A,上顶点为B.已

2,2

ab

知我|。4|=2|。用（0为原点）.

（I）求椭圆的离心率：

（II）设经过点尸且斜率为旦的直线/与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线/相切，圆心

4

C在直线x=4上，且OC〃AP.求椭圆的方程.

【分析】（I）由题意可得曰。=2儿再由离心率公式可得所求值；

_22

（II）求得a=2c,b=Mc,可得椭圆方程为-1—+二=1,设直线FP的方程为>=旦（x+c）,联立椭

4c23c2.4

圆方程求得P的坐标，以及直线4P的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c

=2,即可得到所求椭圆方程.

【解答】解：（I）愿|。4|=2|。用，即为百a=2b,

(II)b=^，-a,c=Aa,

22

即a=2c,b=\[^c,

22

可得椭圆方程为鼻+二=1，

4.c23c2

设直线尸产的方程为y=3(x+c),

代入椭圆方程可得7/+6cx-13（?=0,

解得x=c或x=-9£,

7

代入直线PF方程可得了=现或y=-斑（舍去），

214

可得尸（c,也），

2

圆心C在直线x=4上，KOC//AP,可设C（4,力,

3c

可得主=_工_,解得r=2,

4c+2c

即有C（4,2）,可得圆的半径为2,

由直线FP和圆C相切的条件为d=r,

可得[3X4-4X2+3c|_2,解得c=2,

49+16

可得a=4,b=2-\[3,

可得椭圆方程为直+£=1.

1612

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件:

d=r,考查化简运算能力，属于中档题.

16.(2022春•浦东新区校级期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+j2-12x

-14y+60=0及其上一点A(2,4).

(1)设圆N与x轴相切，与圆例外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线/与圆M相交于8、C两点，且8c=。4,求直线/的方程；

(3)设点TG,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得干+亍？=而，求实数f的取值范围.

【分析】(1)设N(6,n),则圆N为：(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,从而得到|7-川=|〃|+5,由此能求

出圆N的标准方程.

(2)由题意得OA=2相，koA=2,设/：y=2x+b,则圆心例到直线/的距离：”=153I,由此能求出

V5

直线/的方程.

(3)法一：TA+TP=TQ-WlTAI=V(t-2)2+42,又I的河1。，得日2-2&T，2+2折］,对于任意日2

-2亚,2+2收］,欲使五=钝，只需要作直线n的平行线，使圆心到直线的距离为丁25上期土，由

此能求出实数/的取值范围.

法二:AT=TP-TQ=QP,从而而可以表示任何长度不超过圆M的直径的向量，进而问题等价于点7(30)

在圆A：(x-2)2+(y-4)2=100的圆内部(包含边界)，由此能求出实数1的取值范围.

【解答】解：(1)在直线x=6上，.•.设N(6,"),

•.•圆N与x轴相切，...圆N为:(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,

又圆N与圆加外切，圆M：?+/-12x-14j-+60=0,即圆M：(x-6)2+(y-7)2=25,

二|7-川=|川+5,解得〃=1,

.•.圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.

(2)由题意得。4=2，*^,koA=2,设/：y—2x+b,

则圆心M到直线1的距离：।l"7+b|

则|BC|=2j52_d2=2{25_(5B)2，BC=2娓,即2425—")2=2&,

解得b=5或b=-15,

・•・直线/的方程为：y=2x+5或y=2x-15.

(3)解法一：设尸(xi,y\),Q(X2,"),

VA(2,4),T(r,0),TA+TP=TO

力=丫1+4

•.•点Q在圆M上，(垃-6)2+(”-7)2=25,②

将①代入②,得(XI-r-4)2+(yi-3)2=25,

，点尸(xi,yi)既在圆〃上，又在圆[x-(f+4)]2+(j-3)2=25上，

从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(什4)『+(y-3)2=25有公共点,

.••5-5・#&+4)-6]2+(3-7)2人+5.

解得2-2亚〈《2+2技，

.•.实数f的取值范围是[2-2屈，2+2V21].

解法二：由题意，AT=TP-TQ=QP，而P，。可以在圆M上任取,

...而可以表示任何长度不超过圆M的直径的向量,

\fM\

01r

...问题等价于点TG,0)在圆A：(x-2)2+(y-4)2=100的圆内部(包含边界)，

即(L2)2+(y-4)2W100,

解得2-2721^^2+2721，

，实数f的取值范围是[2-2&L2+2V21].

【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，

解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用.

17.(2022春•黄浦区校级期中)如图，已知动圆M过定点F(l,0)且与y轴相切，点F关于圆心M的对

称点为户，点F'的轨迹为从

(1)求曲线H的方程；

(2)一条直线AB经过点F,且交曲线，于A、8两点，点C为直线x=l上的动点.

①求证：N4cB不可能是钝角；

②是否存在这样的点C,使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由.

【分析】⑴设P(x,y),则可得M(等，Z),圆M的直径为|犷l=7(x-l)2+y2,利用动圆〃

与)，轴相切，即可求得曲线C的方程；

(2)①设直线AB：工=冲+1,A(xi,y\),B(x2,y2),C(-1,〃)，联立直线与抛物线方程，进而利用

韦达定理结合向量的数量积运算，得到瓦•馥20恒成立，可得结论；

②由①知M(2川+1,2m),根据CM与AB垂直，斜率积为-1,可得〃=2/+4机，再由|CM|=零HB|,

求出m值.

【解答】解：(1)设尸(x,y),因为点”(1,0)在圆M上，且点尸关于圆心M的对称点为F,

则M(等，Z),而叱l=7(x-l)2+y2,

则昂(x_1)2+y2=*|x+1|,

化简得：y2=4x,所以曲线C的方程为)，2=4x…(5分)

(2)①设直线AB：x=niy+\fA(xi,yi)»B(%2,”)，C(1,n)

,x=my+lo

由《，得y2--4=0,

.y2=4x

贝|Jyi+y2=4/n,y\*yi=-4,x\+xi=m(yi+”)+2=4/w2+2,xi*x2=nry\*y2+m(yi+>2)+1=1…(7分)

CA=(xi-1,y\-n),CB=(X2-1,y2-n),

=e2

CA*CBxix2-XI-x2+l+yi*y2-n(yi+”)+n=(2m-n)之》。恒成立'

则/ACB不可能是钝角；…（10分）

②假设存在这样的点C,由①知川（2川+1,2m）

kcM"kAB=，21nn..._L=-1,则"=2,7?+4,〃，则c（-1,Inv'+^m'）,

2m2+2m

则|CM=1（21^+2）2+（2m3+2m）2=2（疡+1）Vm2+r

而1n2+1仪1-”|=4（“f+i）,由右阴=444阴得，，”=士