高中数学同步导学-(222)推理与证明

2.1合情推理与演绎推理

（一）基础知识梳理：

1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推

理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具

有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）。

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，

再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理。

4.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，称为演绎推理。

简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。“三段论”是演绎推理的一般形式。

（二）例题分析：

例1.根据下列已知条件，分别归纳出数列的通项公式：

（1）数列｛%｝中，/=1,an=2a+1,（«>2）；

（2）数列｛%｝中,a,=1,。,用=广一

2+。“

例2.在AABC中，不等式上+1+^2?成立；在四边形ABCD中，不等式,+工+工+工2工

ABC7TABCD2兀

成立；在五边形ABCDE中，不等式工+工+工+工+工2生成立.据此可以猜想，在n边形

ABCDE37r

A4…中，不等式成立。

例3.（2007广东文、理）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A、B、C、I）四个

维修点某种配件各50件.在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这批

配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行.那

么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维

修点的调动件次为2为（）

A.18B.17C.16D.15

例4.（2004广东）由图（1）有面积关系:

S.BPAPB

则由图（2）有体积关系：上"

（三）基础训练:

1、（2012江西理）观察下列各式：。+〃=1,。2+〃2=3,。3+〃3=4,/+〃4=7,。5+〃5=11,

则屋+RO=()

A.28B.76C.123D.199

2.(2010广东文)在集合｛mb,c,由上定义两种运算㊉和③如下:

®abed@abedABCDE

aabedaaaaaA05456

bbbbbbabedB50762

ccbebcaccaC47098.6

ddbbddadadD56905

那么d（8）（。㊉c）=（）E628.650

A.aB.bC.cD.d

3.(2009广东文)广州2010年亚运会火炬传递在A,B,C,D,E五个城市之间进行，各城市之间的距离(单

位：百公里)见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短

路线距离是()

A.20.6B.21C.22D.23

4.(2008陕西文、理)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据

组成传输信息.设定原信息为-后｛01｝(目=0，1，2),传输信息为％1a24，其中

㊉q,%=")①a?,㊉运算规则为：0㊉0=0,0㊉1=1,1㊉0=1,1㊉1=0,例如原

信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列

接收信息一定有误的是()

A.11010B.01100C.10111D.00011

5、(2006广东)对于任意的两个实数对(”,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d)当且仅当a=c,b=d;运算“③”

为：(a,b)0(c,d)=(ac—hd,hc+ad),运算"㊉”为：(a,b)㊉(c,d)-(a+c,b+d),设p,qeR,

若(1,2)®(p,q)=(5,0)则(1,2)㊉(p,q)=()

A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-4)

6.(2016全国H文、理)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张

卡片，甲看了乙的卡片后说：''我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说：“我与丙

的卡片上相同的数字不是1"，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”.则甲的卡片上的数字是.

7.(2016北京文).某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出

13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该

网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种.

8.（2010陕西理）观察下列等式：13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,

根据上述规律，号五个等或为»

9.(2007广东理)如果一个凸多面体〃棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有条.

这些直线中共有/(〃)对异面直线，则/(4)=;/(〃)=.(答案用数字或〃的

解析式表示)

10.(2006湖北文)半径为r的圆的面积S(r)=〃d,周长C(r)=2〃r,若将r看作(0,十8)上的

变量，贝I(%一)'=2?rr①，

①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

对于半径为R的球，若将R看作(0,+8)上的变量，请你写出类似于①的式子：

___________________________________________②

②式可以用语言叙述为：。

历届高考中的“合悟■推理与演绛推理”试题选编

1.（2006陕西文、理）为确保信息安全，信息需加密传输,发送方由明文一密文（加密），接收方由

密文一明文（解密），已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如，明文1,2,3,4

对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（）

A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7

2.（2005全国III文、理）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字。〜9和字母A〜

F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

16进制0123456789ABCDEF

10进制0123456789101112131415

例如，用十六进制表示：E+D=1B,则AXB=()

A.6EB.72C.5FD.BO

3.（2012全国大纲卷文）正方形A8CD的边长为1,点E在边A3上，点/在边BC上，

AE=BF=-.动点尸从E出发沿直线向/运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于

3

入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）

（A）8（B）6（C）4（D）3

4.（2014北京理）学生的语文、数学成绩均被评为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.

若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙

成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩

也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）

A.2人B.3人C.4人D.5人

5.（2002春招上海）一个封闭的立方体，它的6个表

面各标出A、B、C、D、E这6个字母中的1个字

母，现放成下面3个不同位置所看见的表面上的字母

已标明，则字母A、B、C对面的字母分别是（）

（A）D、E、F（B）F、D、E

（C）E、F、D（D）E、D、F

6.（2001江西、山西、天津文、理，广东，全国文、理）如图，小

圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标

注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点

A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位

时间内传递的最大信息量为（）

（A）26（B）24（C）20（D）19

7.（2015福建理）一个二元码是由0和1组成的数字串王形士6€%*）,其中/（％=1,2,,n）

称为第2位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变

为1,或者由1变为0）

%㊉七㊉/㊉毛=°，

已知某种二元码玉/工7的码元满足如下校验方程组：㊉工㊉/㊉%7=°，

%㊉£㊉%5㊉=°，

其中运算㊉定义为：0㊉0=0,0㊉1=1,1㊉0=1,1㊉1=0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第％位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验

方程组可判定攵等于

8.（2009江西理）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲

线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次

记为G"2/3，2，则下列关系中正确的为()

A.71>r4>r3B.>r,>r2

C.r4>r2>r3D.r3>r4>r.

9.（2004春招上海）根据下列5个图形及相应点的个.

数的变化规律，试猜测第八个图中有...•：

个占.­♦♦♦•♦♦♦：：♦♦♦

（1）⑵：：（3）：（4）

10.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：1

按照以上排列的规律，第n行（n23）从左向右的第3个数456

为.78910

11.（2007上海文）某工程由AB,C,。四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5,x,4天.四道

工序的先后顺序及相互关系是：A8可以同时开工；A完成后，C可以开工；B,C完成后，。可

以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数元最大是.

12.（2014北京文）顾客请一位工艺师把A、6两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟

完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都

完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：

、\工序

----------粗加工精加工

原料

原料A'915

原料8621

则最短交货期为工作日.

13.（2014福建理）若集合{a,0,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①。=1；②力《1；③c=2；

④d。4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a,Ac,〃）的个数是.

14（2014全国新课标I文、理）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.

15、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干

准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；

第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.

从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层

就放一个乒乓球，以/（〃）表示第n堆的乒乓球总数，则

/（3）=；/（〃）=（答案用n表示）

图4

(l+l)=2xl

16.(2013陕西文)观察下列等式：(2+1)(2+2)=2葭1x3…照此规律，第〃个等式可为

(3+l)(3+2)(3+3)=23x1x3x5

17.(2013陕西理)观察下列等式：尸=1,I2-22=-3,12-22+32=6,I2-22+32-42=-10...

照此规律，第〃个等式可为—l2-22+32----+(-l)n-'n2=7n(n+l)—.

2

2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法

(一)基础知识梳理：

1.综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所

要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法，又叫顺推证法或由因导果法。

2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结

为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。这种证明的方法叫做分析法。

分析法，又叫逆推证法或执果索因法。

3.反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了

原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。反证法的理论依据是：原命题与它的逆否命题同真同假。

4.数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值〃。时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n=k(ZN〃o，攵eN*)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立。只要完

成这两个步骤，就可以断定命题对从％开始的所以正整数n都成立.

这种证明方法叫做数学归纳法。

(~)例题分析：

例1.已知AABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证：B<90°.

例2.(2010上海文)若实数x、y、满足-同<卜一时，则称x比y接近"

(1)若/一1比3接近0,求x的取值范围；

(2)对任意两个不相等的正数4、2，证明：。2/7+4/?2比43+/?3接近2。4儿石；

(3)已知函数/(x)的定义域eZ,xe/?}.任取xe。，f(x)等于1+sinx和l-sinx

中接近0的那个值.写出函数/(x)的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结

论不要求证明).

例3.证明：l-22+2-32+---n(n+l)2=(3n2+lln+10).对一切自然数n都成立。

(据1989全国理科改编)

（三）基础训练：

1.（2008全国I卷理）设函数/（x）=x-xlnx.数列｛4｝满足0<q<1,an+l=f（an）.

（I）证明：函数/（x）在区间（0,1）是增函数；（H）证明：a„<an+i<1；

2.（2009陕西理）已知数列｛七｝满足，xn+=^—,neN\

。）猜想数列｛々”｝的单调性，并证明你的结论；（H）证明：1%+「西」<\（|）"T。

3、（2010安徽理）设数列q,4,,a„,中的每一项都不为0。

证明：｛4｝为等差数列的充分必要条件是：对任何〃eN,都有「一+」-++」一=」一

。2a3a“*a,an+l

4.(2006湖南理)已知函数/(x)=x-sinx,数列｛%｝满足：0<q<1,a“+i=/(%),〃=1,2,3,

证明：(I).0<a<a<l;(II).

ll+lno

（2004辽宁）已知函数/•。）=奴一3/的最大值不大于L又当时

5.

26428

（1）求a的值；⑵设0<q=/（a“）,〃eN+.证明a“<」一.

2n+l

6.（2007湖北理）已知如〃为正整数.（I）用数学归纳法证明：当x>T时，（1+—

n

(1Y1m]Y"

(II)对于〃26,已知1------<—.求证1一一—<nr\,1,2…,〃；

I〃+3)2I"+3J%

“合情推理与演绛推理”补充练习

V2

1.(2002全国理，天津理，广东、江苏、河南卷)已知函数/(x)=」■下，那么

1+x

/(D+/(2)+/(1)+/(3)+/(1)+/(4)+公)=。

2.(2003天津文科)在平面几何里，有勾股定理：“设4ABC的两边AB,AC互相垂直，则

AB?+AC2=BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间

的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互

垂直，则_______________________________________________

3.(2013湖北文)在平面直角坐标系中，若点尸(x,y)的坐标x,y均

为整数，则称点尸为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多

边形为格点多边形.格点多边形的面积记为5,其内部的格点数记为

N,边界上的格点数记为L例如图中△ABC是格点三角形，对应的

S=1,N=0,L=4.

(I)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是；

(II)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+〃+c,其中mb,c

为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则5=,X

(用数值作答).

4.(2005广东)设平面内有〃条直线(〃23),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同

一点.若用/(«)表示这n条直线交点的个数，则/(4)=—；当”>4时/(n)=(用n表示).

o_i_h

5.(2001春招上海)若记号“*”表示求两个实数a与6的算术平均数的运算，即a*b=——，则

2

两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选。、b、c都能成立的一个等式可以是.

6.(2010福建文)对于平面上的点集Q,如果连接。中任意两点的线段

必定包含于。，则称。为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下

(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是

(写出所有凸集相应图形的序号)。

7.(2012湖南文)对于“GN*,将〃表示为

kA

〃=qx2+akAX2-'++qx2i+/x2°,当i=左时q=1,当0WiW攵一1时生为0或1,定义6“

如下：在”的上述表示中，当4，4，痣，…，像中等于1的个数为奇数时，儿=1；否则瓦尸。

(1)岳+伍+匕6+氏=;

(2)记Cm为数列己“｝中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则Cm的最大值是—.

8.(2012福建文)某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，

点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城

市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路

的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线

图如图1,则最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10.

A

现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,则铺设道路的最小总费用为

第01讲合情推理与演绛推理（参考答案）

（二）例题分析：

…111”2

例1.⑴4=2"-1；(2)a=--例2.1----1-…H-----N--------；

n几+1

AA2A,,（n-2）兀

gg抬尸A•PB-PC

例3.C.例4.答：--------------

PAPB・PC

(三)基础训练：

1.解：由上表可知：(a©c)=c，故d(j)(ac)c)=d©c=a,选A

2.解:用树状图，列出以A为起点,E为终点的所有路线，共6条,各条路线及其距离分别为:A-B-C-D-E

(5+7+9+5=26),A-B-D-C-E(5+6+9+8.6=28.6),A-C-B-D-E(4+7+6+5=22),A-C-D-B-E

(4+9+6+2=21),A-D-B-C-E(5+6+7+8.6=26.6),A-D-C-B-E(5+9+7+2=23),比较可知，答案为B.

3.C

[??=1

4、解,：由(1,2)便)(2/=(5,0)得1p"-2q”=5,

\2p+q=0\q=—2

所以(1,2)©(p,q)=(1,2)㊉(1,-2)=(2,0)，故选B.

5.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+(i+1)的平方

所以第五个等式为广+23+33+43+5^+63=2『。

n(n4-1)n(n-2)(〃一1)

6.2条.y(4)=12；f{ri)-?.

7.答：b[b[…b“="与…b[7_"(nYYl,nGN)

4A4

8.解：嗅=一乃又（一万R3）'=4万/?2故②式可填（一7R）=4%R2,用语言叙述为“球的体

333

积函数的导数等于球的表面积函数J

历届高考中的“合情推理与演绛推理”试题选编

1.解：当接收方收到密文14,9,23,28时,

。+2。=14a=6

2b+c=9。=4

则《,解得《,解密得到的明文为C.

2c+3d=23c=1

4d=28d=~l

2.【解】£+£>=14+13=27=1x16+11=1/?,

•.,A=10,B=ll,Ax8=10xll=110=6xl6+14=6E..•.在16进制中AXB=6E,选A

3.C4.D

5.答案：C【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离，所以

7=2近、、r3=3,第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边

之间的距离之比，所以q=2g,则74>72>73>4,选C

6..D.

7.答：3当n为偶数时，；当n为奇数时，

..,小，/、"("+1)(〃+2)

11、M解：/(3)=1A0,./(”)=-----------------

O

12.解：先证明/(〃)+/(；!=1,答：|

13.答:S2AABC+S2AACD+S'、ADB=S2ABeD

14.解：由图B可得可⑷=5,

由/(3)=2,/(4)=5,/(5)=9,/⑹=14,可推得

每增加1,则交点增加(〃一1)个，

,/1、(2+〃一1)(〃-2)1_,、/.,

・・f(n)=2+3+4H-----=--------------------------------=—(z〃+l)(n-2).

22

15•答:0+S*c）=（a+b）*（a+c）,4-c=（«论）+（8论），

以*+c）=（以+8）论=（3+c）〜=（以+c）朋，（“照）+c=俗〜）+c,等

16.【答案】②③

17.答案不唯一,如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等.

第02讲直接证明与间接证明数学归纳法

（参考答案）

（―）例题分析：

例1.证明：（反证法）假若8290°,则NB所对的边b是最大边，即a〈b,c〈b,

于是!所以4+工〉2,这与已知三边的倒数成等差数列（即2+』=2）相矛盾

abcbachacb

所以，假若8A90°是错误的，故B<90"成立.

例2.解：(1)由|(尤2-1)一0]<|3-[,得一2</<4,解得xe(-2,2)；

⑵对任意两个不相等的正数〃、b,Wa2b+ab~>2ab\[ab,cc'+b}>2ab4ab,

因为|a2b+ab2-2abjab|-|a3+Z?3-2ab>Jab|=-(a+b)(a-b)2<0,

所以|a2b+ah2-2ab\[ab|<|a3+b'-2ab\[ah\,即crb+ab1比cr'+by接近2ab\[ab；

1+sinx,xw（2Z乃一肛2女乃）

(3)/(x)==l一|sinx|,xw4万、keZ,

1-sinx,（2攵肛2攵乃+4）

/U）是偶函数，KO是周期函数，最小正周期仁乃，函数yu）的最小值为o,

函数©在区间制单调递增，在区间—自单调递减，图.

例3.解:记Sn=1々2+2々2+…n(n+l)2.可以证明n=l时,命题成立

设n=k时等式成立，即Sk=k(：；，(3k2+llk+10),

那么Sk+i=Sk+(k+l)(k+2)2=k(^1)(3k2+1Ik+10)+(k+l)(k+2)2

=k,；D(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2

=(k+l)0<+2)(3k2+5k+12k+24)

=(k+*+2)[3(k+y+1映+1)+10]

也就是说，等式对n=k+l也成立.

综上所述，当a=3,b=ll,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立.

(三)基础训练：

1.(1)证明：f\x)=l-(lnx+x--)=—Inx,

x

当0〈x<1时，Inx<0,f'(x)>0,

所以，函数/(x)在区间(0,1)上是增函数。

(11)(L)当n=l时，0<a><l,ailnaXO,a2=/(q)=q—qInq>q

由函数f(x)在区间(0,1)是增函数，且函数f(x)在％=1处连续，则/(%)在区间(0,1]是增函数,

所以/(q)</(1)=1,故弓<。2<1成立；

(ii)假设当为=设伏eN*)时，ak<ak+]<1成立,即0coiWak<ak+l<1

那么当〃=4+1时，由/")在区间(0,1]是增函数，0<444<4+1<1得

/(6)</(a,+l)</(I).而an+l=f(an)，则ak+l=/(%),ak+2=f(ak+l),

4+i<a&+2<1，也就是说当〃=攵+1时，a”<a"+[<1也成立;

根据(i)、(ii)可得对任意的正整数〃，a“<1恒成立.

2.（1）证：（i）当n=l时，由已知团=1-2a。，等式成立;

(ii)假设当n=k(k2l)等式成立，则①=赘+(-1产2*]-(一1)"24,

?

k-1kAk+

那么az=3"-2a,=3*~-[3+(-I)*2]-(-1)2'aa

t+l+l

=g[3+(-1)，2*+i]+(-l)*2"T4.

也就是说，当产卜+1时，等式也成立.根据(i)和(ii),可知等式对任何nCN,成立.

3.本小题主要考察等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力。

2?

3.解：(I)由题意可知，i—匕|=§(1一项令&=1一片，贝u%+2=丁；

332

又0=1-雨=：,则数列｛%｝是首项为G=j公比为|■的等比数列，即

(II)用反证法证明：

假设数列｛a｝存在三项。，久也(r<s<。按某种顺序成等差数列，由于数列｛勿｝是首项为1,

2

公比为I的等比数列，于是有久>上>2,则只有可能有2"=久成立

即2・蛆J_<2

4l3

两边同乘以3'T•22-r,化简得3"'=•3~+2-1

由于r<s</,所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上上式不可能成立，导致矛盾。

故数列他J中任意三项不可能成等差数列。

.,2n/Fl-1±A/5-1+>/5c-1->/5

4.解：⑴由x2+x-l=0得》=-------a--------,B--------

222

(2)(数学归纳法)①当〃=1时，q=1>屿二I命题成立；

2

②假设当n=k(kNl,kwN*)时命题成立,即ak>避二!■,

15

T七十方+」Rr一1产.卡ITW1又等号成立时%J5-1，

^+2

J5_1

ak>---时，％+i>P，〃=k+1时命题成立；由①②知对任意均有a“>。.

a；+%-1_+1

⑶/'(x)=2x+l•••“=4

2a“+12an+1

!_B=a：+1_g=(4,一夕:一(32+-T)=(凡一/)2

M+l

2a„+lP-2a,+1-2an+l

=(。)2...in=2In3

同理

4+i-a«„-«——a—a

..cz//,i%—B.3+V51+6

­•2+i=22又4=ln^---=ln-_7==41n——

q-a3—v52

.•・数列｛",｝是一个首项为4In巨资，公比为2的等比数列；

4(2"—l)ln[L

5.证（1）由％=一尤“+|=-----,〃eN”

211+当

,0235813

得％2=§，"3=1，*4=&，*5=值，/=五，

由%>%/猜想：数列｛尤2"｝是递减数列

下面用数学归纳法证明：

（1）当n=l时，已证”2>匕命题成立（2）假设当n=k时命题成立，即/1t>々*+2

易知X%〉0,那么々《+2一%2*+4=―：-----------：—=——结一"一

1+积+11+0+3（1+如用）（1+0+3）

W&-%+2

(1+)0+*2*+1)(1+工2*+2)Q+工2«+3)

即々*+1）>W供+1）+2

也就是说，当n=k+l时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立

（2）当n=l时，氏+]-%|=卜2-力=一，结论成立

6

当〃22时，易知0<X“T<1,.*.1+x0_]<2,xn=------>—

1+X,T2

1512

•••(I+X")(1+)=(1+-----)(1+)=2+,从而T-----y-----rwE①

1+k2(l+xA.+1Xl+^)5

即氏+1—x&|WW②

假设当n=k时命题成立,

那么，当n=k+1时，卜+2-一1---------=(民③

11

1+加1+4(l+x,+,Xl+xJ

12

综上，得对一切正整数n,式子|X用-X1W—（一丫1成立。

65

6.本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前〃项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等

式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.

(I)解：由题设有q+g-4q=0,4=1,解得出=3-

由题设又有4a2?=4伉，乙=4,解得么=9.

(II)解法-：由题设〃S“+]-(〃+3)5〃=0,4=1,々=4,及%=3,/?2=9,

进一步可得%=6，々=16,a4=10»仇=25,

猜想二一(；~1),2=(〃+])2,neN*.

用数学归纳法证明，先证4=，¥).，neN*.

当〃=1时，lx(l+D,等式成立.当〃之2时用数学归纳法证明如下:

2

(1)当〃=2时，%=2.(；+1),等式成立.

(2)假设〃=%时等式成立，即必=气；1),k>2.

由题设，kSM=(k+3)Sk①

(I电=(%+2)Si②

①的两边分别减去②的两边，整理得加*+1=(&+2)%,从而

k+2k+2k(k+Y)(%+l)[(Z+l)+l]

。“丁4」二"2-

这就是说，当n=左+1时等式也成立.

根据(1)和(2)可知，等式,=妁詈对任何的〃22成立.

综上所述，等式q,=对任何的nGN*都成立a„=网,)

2

再用数学归纳法证明bn=(〃+1),neN*.

(1)当〃=1时，4=(1+1)2，等式成立.

(2)假设当〃=上时等式成立，即4=伏+1)2,那么

4%+：(Z+l)2(%+2)2

=[伏+1)+碟.

4■+1)2

这就是说，当〃=左+1时等式也成立.

根据(1)和(2)可知，等式2=5+1)2对任何的〃WN*都成立.

第03讲推理与证明典型考题选讲(参考答案)

1.(2007湖北理)已知必，〃为正整数.(I)用数学归纳法证明：当x>T时，(1+犷21+“

(II)对于〃26,已知(1——J—]<-,求证(1—-"一]，犷1,1,2…，n；

(n+3)2In+3)⑶

1.本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能

力和推理能力.

解法1：(I)证：用数学归纳法证明：

(i)当犷1时，原不等式成立；当心2时，左边=1+2广f，右边=l+2x,因为feo,

所以左边Z右边，原不等式成立；

(ii)假设当/ZFA时，不等式成立，即(1+x)1+kx,则当片A+1时，

•.•x>—l,；.l+x>0,于是在不等式d+x»Nl+kx两边同乘以1+x得

(1+x)k-(1+x)>(1+Zx)(l+x)=1+(左+l)x+k£N1+(%+l)x,

所以(l+x)"i21+/+1)乂即当加=后+1时，不等式也成立.

综合(i)(ii)知，对一切正整数加，不等式都成立.

(H)证：当〃26,mW〃时，由(I)得(1一——>n,>1一一—>0,

〃+3〃+3

于是a--^-r<(1一一i-rz,=[(1--