2024年全国甲卷高考数学（文数）真题试题（原卷版+含解析）

2024年高考全国甲卷数学（文）一、单选题1．集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．-1 D．23．若实数SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<05．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<07．曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的大致图像为（

）A． B．C． D．9．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．设SKIPIF1<0是两个平面，SKIPIF1<0是两条直线，且SKIPIF1<0.下列四个命题：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

④若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角相等，则SKIPIF1<0其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④11．在SKIPIF1<0中内角SKIPIF1<0所对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空题12．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是．13．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．14．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的交点，则SKIPIF1<0的取值范围为．三、解答题15．已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式.16．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离.17．已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0时，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．18．设椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0轴．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0轴．19．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，以坐标原点SKIPIF1<0为极点，SKIPIF1<0轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线SKIPIF1<0的极坐标方程为SKIPIF1<0.(1)写出SKIPIF1<0的直角坐标方程；(2)设直线l：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数），若SKIPIF1<0与l相交于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.20．实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0．2024年高考全国甲卷数学（文）一、单选题1．集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】根据题意得，对于集合SKIPIF1<0中的元素SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能的取值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故选A2．设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．-1 D．2【答案】D【解析】根据题意得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选D3．若实数SKIPIF1<0满足约束条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，作出可行域如图：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的几何意义为SKIPIF1<0的截距的SKIPIF1<0，则该直线截距取最大值时，SKIPIF1<0有最小值，此时直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选D.4．等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成SKIPIF1<0和SKIPIF1<0来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【解析】方法1：利用等差数列的基本量由SKIPIF1<0，根据等差数列的求和公式，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.故选D方法2：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，根据等差数列的求和公式，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选D方法3：特殊值法不妨取等差数列公差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选D5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有SKIPIF1<0种排法，丁就SKIPIF1<0种，共SKIPIF1<0种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有SKIPIF1<0种排法，丁就SKIPIF1<0种，共SKIPIF1<0种；于是甲排在排尾共SKIPIF1<0种方法，同理乙排在排尾共SKIPIF1<0种方法，于是共SKIPIF1<0种排法符合题意；基本事件总数显然是SKIPIF1<0，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为SKIPIF1<0.故选B6．已知双曲线SKIPIF1<0的上、下焦点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（

）A．4 B．3 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由焦点坐标可得焦距SKIPIF1<0，结合双曲线定义计算可得SKIPIF1<0，即可得离心率.【解析】根据题意，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选C.7．曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线与坐标轴围成的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故切线方程为SKIPIF1<0，故切线的横截距为SKIPIF1<0，纵截距为SKIPIF1<0，故切线与坐标轴围成的面积为SKIPIF1<0故选A.8．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的大致图像为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可排除D.【解析】SKIPIF1<0，又函数定义域为SKIPIF1<0，故该函数为偶函数，AC错误，又SKIPIF1<0，D错误.故选B.9．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先将SKIPIF1<0弦化切求得SKIPIF1<0，再根据两角和的正切公式即可求解.【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选B.10．设SKIPIF1<0是两个平面，SKIPIF1<0是两条直线，且SKIPIF1<0.下列四个命题：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0

②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0③若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

④若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角相等，则SKIPIF1<0其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0既不在SKIPIF1<0也不在SKIPIF1<0内，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，①正确；②，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不一定垂直，②错误；③，过直线SKIPIF1<0分别作两平面与SKIPIF1<0分别相交于直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，过直线SKIPIF1<0的平面与平面SKIPIF1<0的交线为直线SKIPIF1<0，则根据线面平行的性质定理知SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，③正确；④，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角相等，如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，④错误；①③正确，故选A.11．在SKIPIF1<0中内角SKIPIF1<0所对边分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用正弦定理得SKIPIF1<0，再利用余弦定理有SKIPIF1<0，再利用正弦定理得到SKIPIF1<0的值，最后代入计算即可.【解析】因为SKIPIF1<0，则由正弦定理得SKIPIF1<0.根据余弦定理可得:SKIPIF1<0，即:SKIPIF1<0，根据正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为三角形内角，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选C.二、填空题12．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【解析】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.答案为：213．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】64【分析】将SKIPIF1<0利用换底公式转化成SKIPIF1<0来表示即可求解.【解析】由题SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0答案为：64.14．曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的交点，则SKIPIF1<0的取值范围为．【答案】SKIPIF1<0【分析】将函数转化为方程，令SKIPIF1<0，分离参数SKIPIF1<0，构造新函数SKIPIF1<0结合导数求得SKIPIF1<0单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，因为曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的交点，所以等价于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点，所以SKIPIF1<0.答案为：SKIPIF1<0三、解答题15．已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故等比数列的公比为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）根据等比数列求和公式得SKIPIF1<0.16．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离.【答案】(1)见详解；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）结合已知易证四边形SKIPIF1<0为平行四边形，可证SKIPIF1<0，进而得证；（2）作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易证SKIPIF1<0三垂直，结合等体积法SKIPIF1<0即可求解.【解析】（1）因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）如图所示，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，结合（1）SKIPIF1<0为平行四边形，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，又因为四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰三角形，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0底边上中点SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0互相垂直，等体积法可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.17．已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)若SKIPIF1<0时，证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即可.【解析】（1）SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减.综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减.（2）SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，下证SKIPIF1<0即可.SKIPIF1<0，再令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，问题得证18．设椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0轴．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0轴．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)见解析【分析】（1）设SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0的坐标及SKIPIF1<0SKIPIF1<0轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线方程和椭圆方程，用SKIPIF1<0的坐标表示SKIPIF1<0，结合韦达定理化简前者可得SKIPIF1<0，故可证SKIPIF1<0轴.【解析】（1）设SKIPIF1<0，由题设有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）直线SKIPIF1<0的斜率必定存在，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0轴.19．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，以坐标原点SKIPIF1<0为极点，SKIPIF1<0