高中人教A版数学选修1-1课件2.1.1椭圆及其标准方程

2.1.1

椭圆及其标准方程课标阐释思维脉络1.理解并掌握椭圆的定义;2.掌握椭圆的标准方程,了解其推导过程;3.掌握求椭圆标准方程的基本方法.【思考1】给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板,一支铅笔,如何画出一个椭圆?提示:在纸板上固定两个图钉,绳子的两端固定在图钉上,绳长大于两图钉间的距离,笔尖贴近绳子,将绳子拉紧,移动笔尖即可画出椭圆.名师点拨

椭圆的定义中,常数2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则,(1)当2a=|F1F2|时,动点轨迹为线段F1F2;(2)当2a<|F1F2|时,动点轨迹不存在.1.椭圆的定义

椭圆定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹焦点两个定点F1,F2焦距两焦点F1,F2间的距离|F1F2|几何表示|MF1|+|MF2|=2a(常数),且2a>|F1F2|【做一做1】

(1)下列命题是真命题的是

.(将所有真命题的序号都填上)

①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=的点P的轨迹为椭圆;②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.解析:(1)①中,因为F1(-1,0),F2(1,0),可得|F1F2|=2,因为

<2,所以点P的轨迹不存在;②中,因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;③中,到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即x=0.故答案为②.F1(0,-2)与F2(0,2)的距离之和等于10,且|F1F2|=4<10,所以根据椭圆的定义知点P的轨迹是以F1(0,-2)与F2(0,2)为焦点的椭圆.答案:(1)②

(2)椭圆【思考2】若两定点A,B间的距离为6,动点P到两定点的距离之和为10,如何求出点P的轨迹方程?提示:以两定点的中点为坐标原点,以AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则A(3,0),B(-3,0).设P(x,y),依题意得|PA|+|PB|=10,所以2.椭圆的标准方程

名师点拨

1.对椭圆标准方程的三点认识(1)标准方程的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上.(2)标准方程的代数特征:方程右边为1,左边是

的平方和,并且分母为不相等的正值.(3)a,b,c三个量的关系:椭圆的标准方程中,a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半,可借助图形帮助记忆,当点M到两焦点距离相等时,a,b,c(都是正数)恰好构成一个直角三角形的三条边,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2(如图所示).相同点:它们的形状、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同点:两椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.3.给出椭圆方程

=1(m>0,n>0,m≠n),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大;椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.解析:(1)∵椭圆的一个焦点为(0,1),∴焦点在y轴上,∴4-m=1,解得m=3.(2)由于10>6,所以焦点在x轴上,且a2=10,b2=6,从而c2=10-6=4,c=2,故焦点坐标为(2,0)和(-2,0).(3)由已知得b2=a2-c2=21,又焦点在y轴上,于是椭圆的标准方程为探究一探究二探究三思维辨析当堂检测对椭圆定义的理解例1已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法:①当a=2时,点P的轨迹不存在;②当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3;③当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6;④当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆.其中正确的说法是

.(填序号)

分析按照椭圆的定义进行判断.解析:当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,①正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,②错误,③正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,④错误.答案:①③探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟由椭圆定义知,点的集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}(其中|F1F2|=2c)表示的轨迹有以下三种情况:(1)当a>c时,集合P为椭圆;(2)当a=c时,集合P为线段F1F2;(3)当a<c时,集合P为空集.因此在利用椭圆的定义判断有关点的轨迹问题时,一定要注意所给常数与已知两定点之间距离的大小关系.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练1到两定点F1(0,5),F2(0,-5)的距离之和为10的点M的轨迹是(

)A.椭圆 B.线段C.圆 D.以上都不对解析:由于|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,所以点M的轨迹是线段F1F2.答案:B探究一探究二探究三思维辨析当堂检测根据椭圆的标准方程求参数的取值范围(2)若方程x2-3my2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围是

.

分析根据椭圆标准方程的形式进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟根据椭圆方程求参数取值范围的方法

探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究

若本例(2)方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是什么?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求椭圆的标准方程例3根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);分析(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程,再根据条件求出a,b的值,即可求得方程;(3)焦点位置不确定,可以分两种情况分别求解,也可设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)直接进行求解.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟椭圆标准方程的求解方法(1)利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下:①先确定焦点位置;②设出方程;③寻求a,b,c的等量关系;④求a,b的值,代入所设方程.(2)当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).此时焦点位置包括焦点在x轴上(m<n)或焦点在y轴上(m>n)两种情况,可以避免分类讨论,从而简化运算.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练2写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-2,0),(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于6;(2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一探究二探究三思维辨析当堂检测相关点法在求解椭圆方程中的应用典例如图,在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,求线段PD的中点M的轨迹.解:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),又M为PD的中点,所以点M的轨迹是一个焦点在x轴上的椭圆(x≠±2).探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛

代入法求轨迹方程的基本步骤(1)设点:设所求轨迹上动点坐标为P(x,y),已知曲线上动点坐标为Q(x1,y1);(2)求关系式:用点P的坐标表示出点Q的坐标;(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程,并把所得方程化简即可.探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练若本例中“过点P作x轴的垂线段PD”,改为“过点P作y轴的垂线段PD”.那么线段PD的中点M的轨迹又是什么?探究一探究二探究三思维辨析当堂检测答案:A探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.(±5,0) B.(0,±5)C.(0,±12) D.(±12,0)解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以

c=12,又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±1