基于数学抽象素养提升的空间角教学课件

基于数学抽象素养

提升的空间角教学一、课程标准分析杭州市高中数学青年教师核心组《课程标准(2017版)》中明确提岀数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。一、课程标准分析杭州市高中数学青年教师核心组

数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.数学抽象主要表现为：

获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，

形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。一、课程标准分析杭州市高中数学青年教师核心组

通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简御繁；运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.数学抽象素养的一般表现杭州市高中数学青年教师核心组概念析取:从情境中获得概念、规则、命题、运算、关系语言表达:用数学语言对概念、规则、推理、论证进行表达方法普适:利用或创造数学方法解决问题并对其进行解释二、空间角教学要素分析杭州市高中数学青年教师核心组

空间角呈现出空间中几何元素（线线、线面、面面相对倾斜程度）位置关系。空间角的相关概念形成过程有着一致的思路：先定义角的存在性:即可以找到一个角来刻画直线与直线、直线与平面或平面与平面之间的位置关系;再是定义角的唯一性:即所定义的角是确定的,对于相同的倾斜程度,度量的角度是固定的。异面直线角直线与平面所成角二面角空间角存在性唯一性得出概念：异面直线所成角直线与平面所成角二面角的平面角精确刻画位置关系1、数学分析2、教材安排分析杭州市高中数学青年教师核心组

教材是实施教学计划和实现课程目标的重要资源。原教材的空间三角内容被安排在必修二第二章“点、直线、平面之间的位置关系”一章.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系——“异面直线所角”2.3.1直线与平面垂直的判定——“直线与平面所成角”2.3.2平面与平面垂直的判定——“二面角”新教材空间三类角内容被安排在第二册第八章第六节,8.6.1直线与直线垂直——“异面直线所角”8.6.2直线与平面垂直——“直线与平面所成角”8.6.3平面与平面垂直——“二面角”研究的整体性认知的连续性3、异面直线所成角杭州市高中数学青年教师核心组在熟悉及关联的情境中提出问题——如何刻画空间中一条直线相对于另一直线倾斜的程度？空间角教学过程中的“大问题”.3、异面直线所成角杭州市高中数学青年教师核心组空间等角定理保证了所度量的异面直线成角的唯一性！从一般到特殊，定义两条异面直线的互相垂直.3、异面直线所成角杭州市高中数学青年教师核心组指明了空间角度量的基本思想方法转化降维空间问题平面问题体现了在空间中观察两条异面直线的相对倾斜程度，由两条异面直线唯一确定，与O点位置无关.4、直线与平面所成角杭州市高中数学青年教师核心组直接给出定义的同时提出问题，重在引导理性思考，理解线面角定义的合理性存在且唯一线面角是斜线与该平面内所有直线所成角中的最小角转化降维空间问题平面问题杭州市高中数学青年教师核心组难点：抽象出研究对象4、直线与平面所成角杭州市高中数学青年教师核心组难点：抽象出研究对象抽象几何模型引导定性观察构造垂直关系寻求函数表达发现斜边相等得到比较关系4、直线与平面所成角确定函数表达难点：寻找比较的策略杭州市高中数学青年教师核心组(1)如何理解直线AB可以表示平面内的任意一条直线？(2)如何定量刻画直线AB与射影AO的相对位置关系？4、直线与平面所成角3、教材分析杭州市高中数学青年教师核心组(1)如何理解直线AB可以表示平面内的任意一条直线？平面α内任意直线与斜线的位置关系？相交与点A两直线异面对于平面α内任意一直线m，总能找到过A的直线AB//直线m.4、直线与平面所成角异面直线所成的角杭州市高中数学青年教师核心组(2)如何定量刻画直线AB与射影AO的相对位置关系？直线AB与射影AO所成角为β，0°≤β≤90°模型中的三个角有怎样的定量关系？再次选择函数表达三余弦关系定性定量4、直线与平面所成角杭州市高中数学青年教师核心组存在且唯一猜想与证明直觉与理性直观感知操作确认度量计算推理论证获得基本研究套路积累基本活动经验提升数学抽象素养4、直线与平面所成角5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组难点：如何度量二面角的大小。5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组根据异面直线所成角的研究经验“平面化”思想用“平面角”定量刻画两个半平面间的相对倾斜程度.已在线面角研究中获得成功度量一个量：存在且唯一根据直线与平面所成角的研究经验基本研究套路：感知与猜想操作与确认推理与证明直觉理性猜想证明定性定量5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组教师教学用书，数学必修第二册线面角线线角二面角平面化5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组线面角线线角二面角平面化在半平面β内任取直线AB构造直线AB与平面α所成的角θ5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组由线面角的研究经验：平面β内绕着A点旋转的直线可以代替平面内的任意直线.动态演示使学生直观感知随B点的运动，也可以让学生操作用折纸减去一角的方法直观呈现，感知直线AB与平面α所成角的唯一性，从而直观猜想B点的位置.5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组抽象几何模型直观定性观察构造垂直关系寻求函数表达距离AC不变得到比较关系由于体现了的唯一性，同时得到二面角的平面角是一个半平面内的任意一条直线与另一个半平面所成的线面角中的最大角.确认位置5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组结合线面角的最小角证明经验：定性比较定量刻画选择合适的函数由二面角棱的确定性得到三正弦关系：其中是半平面内的任意一直线与另一半平面所成的角，是此直线与棱所成的角，是锐二面角的平面角.5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组二面角半平面α半平面β棱定量刻画平面角（存在）直观感知垂直与棱的直线与另一个半平面所成角推理证明最大角（唯一）

学生能在知识发生发展的过程中，经历将“空间角”转化为“平面角”的过程，经历“角的存在性”“角的唯一性”的发现过程与“角的唯一性”的证明过程，从而提升数学抽象素养.共同确认二面角的平面角的作法，并体会与点O的位置无关线面角转化逐级5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组迁移转化类比同化5、二面角的平面角杭州市高中数学青年教师核心组6、关注重点模型杭州市高中数学青年教师核心组鳖臑（biēnào）：在我国三角锥体的古称.现代白话文：四个面均为直角三角形的三棱锥.长方体阳马鳖臑6、关注重点模型杭州市高中数学青年教师核心组7、关注课后习题杭州市高中数学青年教师核心组为空间向量在立体几何中的应用铺垫.