第12讲 一元二次方程的根与系数的关系（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第12讲一元二次方程的根与系数的关系掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.一.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.二.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值例1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A． B． C． D．例2．设方程的两个根为，，则的值是（

）A． B． C．2 D．4考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．例4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024例5．若方程的两个实数根为、，则的值为（

）A．7 B．3 C．－5 D．9例6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则=（

）A． B．2 C． D．4例7．设，是一元二次方程的两个根，那么的值等于（

）A． B． C． D．考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数例8．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（

）A．3或 B． C．3 D．2或例9．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（

）A．3 B．1 C． D．例10．是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（

）A． B．或 C． D．或1考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假例11．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C．两个负根D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小例12．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小例13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（

）A． B． C． D．例14．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，考点6：解答证明题例15．已知关于x的方程：．(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值．例16．关于的一元二次方程：(1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围；(2)若、是方程的两根，且．求的值．例17．已知关于的方程(1)求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；(2)若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．例18．阅读下列材料并完成练习题：已知一元一次方程的两个实数根分别为和∵∴对比系数可得：，类比上面的证明方法：(1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．例19．阅读下列材料：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则，．阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程的两根分别为．求的值．解：该一元二次方程的判别式，由韦达定理可得：，，解答下列问题：(1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值；(2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值．一、单选题1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或62．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A．0 B．－10 C．3 D．103．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．4．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．65．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1二、填空题6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．7．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．8．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____．9．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．10．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为_____．三、解答题11．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．12．（2020·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．13．（2019·湖北黄石·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.一、单选题1．（2023春·八年级单元测试）方程的两根为，，下列各式正确的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022秋·九年级课时练习）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．53．（2023春·八年级课时练习）若是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．4 B．3 C． D．4．（2023春·八年级课时练习）已知，是一元二次方程的两根，则的值为（

）A．0 B．2 C．1 D．－15．（2023春·八年级课时练习）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（

）A．2 B． C． D．6．（2023·全国·九年级假期作业）已知方程的两根分别为、，则的值为（

）A．1 B． C．2023 D．7．（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）若关于的一元二次方程（且）与关于的一元一次方程有一个公共解，且方程只有一个解，则（

）A． B． C． D．8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）若方程有两个同号不等的实数根，则m的取值范围（

）A． B． C． D．9．（2023春·全国·八年级专题练习）已知，，若，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023春·安徽亳州·九年级专题练习）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（

）A．0 B． C． D．二、填空题11．（2022春·八年级课时练习）设分别是一元二次方程的根，填空：（1）．___________，___________．（2）．___________，___________．（3）．___________，___________．12．（2023春·八年级课时练习）已知是一元二次方程的两根，则________．13．（2023春·八年级课时练习）若α、β是方程的两个实数根，则_____．14．（2023·湖北黄冈·校考二模）若实数，分别满足，，且，则的值为______．15．（2023·江苏·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．16．（2023·四川成都·模拟预测）若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________．17．（2023·山东日照·统考二模）关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；18．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．三、解答题19．（2020·湖北黄石·统考模拟预测）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0的两个实根．（1）求m的取值范围；（2）若m满足2x1+x2＝m+1，求m的值．20．（2022秋·陕西安康·九年级校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．21．（2020秋·河南许昌·九年级统考期中）已知关于的一元二次方程.（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值22．（2023·江苏·九年级假期作业）已知，是方程的两根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．23．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）已知关于的方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．24．（2023秋·贵州六盘水·九年级统考期末）关于x的一元二次方程：有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若，是方程的两根，且，求m的值．25．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．26．（2023·山西运城·统考一模）阅读下列材料并完成相应任务：对于一元二次方程（），如果方程有两个实数根为，，那么，；一元二次方程的这种根与系数的关系，最早是由法国数学家韦达（）发现的，因此，我们把这个关系称为韦达定理，灵活运用这个定理有时可以使解题更为简单．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．小明给出了一部分解题思路：解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，∴______，∴______，∴请填空并将过程补充完整．(2)类比应用一元二次方程的一个根为，则______，另一个根为______．(3)思维拓展：关于的一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根的平方和是，则______．27．（2021秋·辽宁大连·九年级大连育文中学校考阶段练习）阅读下列材料：材料1：若关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，则，.材料2：已知实数，满足，，且，求的值.解：根据题意可知，实数，是方程的两个不相等的实数根根据材料1，得，∴，.∴根据上述材