第17讲 概率的进一步认识 单元综合检测（解析版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第17讲概率的进一步认识单元综合检测一、单选题1．某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是（

）A．无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右 B．无数次实验中，该事件平均每次出现次C．每做次实验，该事件就发生次 D．逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近【答案】C【分析】利用概率的意义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，符合概率意义，故A选项不符合题意；B、无数次实验中，该事件平均每4次出现1次，符合概率意义，故B选项不符合题意；C、每做4次试验，该事件可能发生一次，也可能发生两次，也有可能不发生，故错误，符合题意；D、逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近，符合概率意义，不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，熟练掌握概率的意义是解题关键.2．学校组织校外实践活动，安排给九年级两辆车，小明与小慧都可以从两辆车中任选一辆搭乘，则小明和小慧乘同一辆车的概率是(

).A． B． C． D．1【答案】B【分析】画树状图为(用A、B表示两辆车)展示所有4种等可能的结果数，再找出小明和小慧乘同一辆车的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】解：画树状图为：(用A、B表示两辆车)共有4种等可能的结果数，其中小明和小慧乘同一辆车的结果数为2，所以小明和小慧乘同一辆车的概率＝＝．故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．3．一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋子中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在，则摸到绿球的概率约为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据用频率估算概率的方法即可求解．【解析】解：根据题意，设绿球有个，∴，解得，，即有个绿球，∴根据概率的计算公式得，，即试验频率稳定于随件事件的理论概率，故选：．【点睛】本题主要考查用频率估算概率，理解并掌握运用频率估算随件事件的概率的方法是解题的关键．4．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解析】解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为．故选A．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，假设可以随意在菱形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先设阴影部分的面积是，得出整个图形的面积是，再根据几何概率的求法即可得出答案．【解析】解：设阴影部分的面积是，因该图形是菱形，故整个图形的面积是，故这个点取在阴影部分的概率是：，故选：B．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．6．学校新开设了A，B，C，D四个社团，如果甲、乙两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么甲和乙不在同一社团的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与甲和乙不在同一社团的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解析】列表如下：∵共有16种等可能的结果，甲和乙不在同一社团的有12种情况，∴甲和乙不在同一社团的概率是：．故选A．【点睛】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．同时掷两个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和为8的情况占总情况的多少即可．【解析】列表得：∴两个骰子向上的一面的点数和为8的概率为．故选B．【点睛】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，获得如下数据：抛掷总次数杯口朝上杯口朝下横卧1000.210.380.412000.220.380.405000.220.380.40根据频率的稳定性，估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是（

）A．0.21 B．0.22 C．0.38 D．0.40【答案】B【分析】经过大量实验，杯口朝上的频率既是概率．【解析】解：根据表格通过大量实验，杯口朝上的频率为0.22，则估计任意抛掷一只纸杯时杯口朝上的概率约是，故选B．【点睛】本题考查频率估计概率，掌握频率与概率之间的联系是解题的关键．9．正方形ABCD内，有一个内切圆⊙O．电脑可设计程序：在正方形内可随机产生一系列点，当点数很多时，电脑自动统计正方形内的点数a个，⊙O内的点数b个（在正方形边上和圆上的点不在统计中），根据用频率估计概率的原理，可推得π的大小是（）A．π≈ B．π≈ C．π≈ D．π≈【答案】B【分析】根据圆的面积与正方形的面积的比等于落在相应位置的点数的比，列式求解即可．【解析】设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，根据题意得：≈，则π≈.故选B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够了解落在圆内的概率约等于圆与正方形的面积的比，难度不大．10．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据正方形的性质∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，再利用四边形BEOF为正方形易得CF＝OF＝BF＝a，则S正方形BEOF＝a2，设正方形MNGH的边长为x，易得CM＝AN＝MN＝x，即3x＝a，解得x＝x，则S正方形MNGH＝a2，然后根据几何概率的意义，用两个小正方形的面积和除以正方形ABCD的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概率．【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，AC＝a，∵四边形BEOF为正方形，∴CF＝OF＝BF，∴S正方形BEOF＝（a）2＝a2，设正方形MNGH的边长为x，∵△ANG和△CMH都是等腰直角三角形，∴CM＝AN＝MN＝x，∴3x＝a，解得x＝a，∴S正方形MNGH＝＝a2，∴小鸟不落在花圃上的概率＝1﹣＝故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.二、填空题11．在一个不透明的袋中装着4个球，3个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为___．【答案】【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两球恰好是一个黄球和一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解析】画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，两球恰好是一个黄球和一个红球的有6种情况，∴两球恰好是一个黄球和一个红球的为：．故答案为．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．12．从1，2，4这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数，那么组成的两位数是奇数的概率为______．【答案】【分析】利用列举法进行求解即可．【解析】解：从1，2，4这三个数中任取两个数组成没有重复数字的两位数共有：，6种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的有，2种等可能的结果；∴；故答案为：．【点睛】本题考查列举法求概率．准确的列举出所有等可能的结果，是解题的关键．13．如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被二等分，分别标有数字，2；转盘B被三等分，分别标有数字3，0，．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在平面直角坐标系第二象限的概率是______．

【答案】【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解析】解：列表如下：230由表可知，共有6种等可能，其中点落在直角坐标系第二象限的有1种，所以点落在直角坐标系第二象限的概率是，故答案为：．【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．14．从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为______．【答案】【分析】画出树状图求解即可．【解析】解：如图，

一共有6种等可能选法，甲与乙恰好被选中的有2种，∴甲被选中的概率为：故答案为：．【点睛】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数m除以所有等可能发生的情况数n即可，即．15．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同．如果两枚卵全部成功孵化，则两只雏鸟都为雄鸟的概率是___________．【答案】【分析】用树状图法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案．【解析】解：画树状图为：

共有4种等可能的结果，其中两只雏鸟都为雄鸟结果数为1，故两只雏鸟都为雄鸟的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了画树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．16．历史上数学家皮尔逊曾在实验中掷均匀的硬币200次，正面朝上的次数是110次，频率约为，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是_______．【答案】/【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可．【解析】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在左右，∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键．17．某工厂生产电子芯片，质检部门对同一批产品进行随机抽样检测，检测结果统计如表：由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为______．（精确到0.01）．抽查数10002000300040005000合格品数9571926286838444810合格品频率0.9570.9630.9560.9610.962【答案】0.96【分析】根据题意，这是由频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可．【解析】解：根据题意，由此估计，从这批芯片中任取一枚芯片是合格品的概率约为0.96，故答案为：0.96．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解决问题的关键．18．从位男同学和位女同学中任选人参加志愿者活动，所选人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是________．【答案】【分析】根据题意画出树状图，由树状图求得所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解析】解：根据题意画树状图：∵共有20种可能的结果，所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有12种，∴所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：=，故答案为【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握画树状图、灵活运用求概率的公式是解题关键．三、解答题19．小华和小军做摸球游戏，A袋中装有编号为1,2,3的三个小球，B袋中装有编号为4,5,6的三个小球，两袋中的所有小球除编号外都相同，从两个袋子中分别随机摸出一个小球，若B袋摸出的小球的编号与A袋摸出小球的编号之差为偶数，则小华胜，否则小军胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【答案】不公平【分析】根据题意，列表表示所有的可能，然后求出符合条件的可能，再根据概率的意义求解即可.【解析】列表如下B袋A袋456134522343123共有9种等可能结果，其中B袋中数字减去A袋中数字为偶数有4种等可能结果；则小军胜的概率为1-=∵，∴不公平.考点：列表或画树状图求概率20．如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中红色扇形区域的圆心角为，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形的颜色即为转出的颜色，此时，称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．

(1)转动转盘一次，转出黄色的概率是___；(2)转动转盘两次，如果一次转出红色，一次转出蓝色，那么就可以配成紫色．请利用列表或画树状图的方法，求转动转盘两次，可以配成紫色的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先判断出黄色扇形区域的圆心角为，然后根据几何概率的意义得出答案；（2）根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出转动转盘两次，可以配成紫色的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解析】（1）解：∵红色扇形区域的圆心角为，∴黄色扇形区域的圆心角为，∴转动转盘一次，转出黄色的概率是，故答案为：；（2）解：∵红色和黄色扇形区域的圆心角都是，∴两个蓝色扇形区域总的扇形的圆心角也是，根据题意列表如下：红黄蓝红（红，红）（红，黄）（红，蓝）黄（黄，红）（黄，黄）（黄，蓝）蓝（蓝，红）（蓝，黄）（蓝，蓝）由列表可得：共有9种等可能的情况数，其中转动转盘两次可以配成紫色的有（红，蓝）和（蓝，红），共2种情况，∴转动转盘两次，可以配成紫色的概率是．【点睛】本题考查的是几何概率的求法，用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母表示这三个材料），将分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时小勇先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小智从中随机抽取一张卡片，他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛．请用列表或面树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率．【答案】见解析，他俩诵读两个不同材料的概率.【分析】本题既可采用画树状图法，也可采用列表法．画树状图时，先固定小勇抽取的情况，再分别画出所有可能的情况；列表时可用横向表示小勇，纵向表示小智．【解析】解：方法一：列表如下：一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有6种，（他俩诵读两个不同材料）．方法二：画树状图如下：一共有9种等可能的情况，其中符合题意的有6种，（他俩诵读两个不同材料）．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率.22．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“历”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为．（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“历城”的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】解：（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“书”的概率为，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“历城”的结果数为，所以取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．23．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果：投篮次数（n）50100150200250300350投中次数（m）286078104123152177投中频率（n／m）0.560.600.52a0.490.51b(1)求a、b的值（精确到0.01）；(2)这名球员投篮一次，投中的概率约是______（精确到0.1）．【答案】(1)；(2)0.5【分析】（1）用投中的次数除以投篮的次数即可得出答案；（2）计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．【解析】（1）解：根据题意得：；；（2）由题意得：投篮的总次数是(次)，投中的总次数是(次)，则这名球员投篮的次数为1400次，投中的次数为722，故这名球员投篮一次，投中的概率约为：．【点睛】此题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．24．2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗准剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位.小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人．

(1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择2号空座位的概率_____；(2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在相邻位置的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．【解析】（1）解：小明随机从4个空位选择一个空座位坐下，选择2号空座位的概率为，故答案为：；（2）解：列表如下：小明小军12341/2/3/4/由表知，共有12种等可能结果，其中小明和小军坐在相邻位置的结果有4种，∴两人坐在相邻位置的概率为．【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．25．在一个不透明的口袋里装有黑、白两种颜色的球共4个．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回口袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n204840401000012000摸到白球的次数m1061204849796019摸到白球的频率0.5180.50690.49790.5016(1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到）；(2)试估算口袋中白球有多少个？(3)若从中摸出一个球后不放回，再从余下的球中摸出一个，请用列表法或画树状图的方法（只需要选其中一种），求两次摸到的球的颜色相同的概率．【答案】(1)0.5(2)估计口袋中白球的个数为2个(3)(颜色相同)【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；（2）利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.5，然后利用概率公式计算白球的个数；（3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．【解析】（1）解：由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5；故答案为：0.5；（2）∵摸到白球的概率为0.5，∴估计口袋中白球的个数(个)．（3）解：根据题意列表如下：

第二次第一次白1白2黑1黑2白1（白1，白2）（白1，黑1）（白1，黑2）白2（白2，白1）（白2，黑1）（白2，黑2）黑1（黑1，白1）（黑1，白2）（黑1，黑2）黑2（黑2，白1）（黑2，白2）（黑2，黑1）由上表可知，共有12种等可能出现的结果，其中两次摸到的球颜色相同的有4种，分别为：（白1，白2），（白2，白1），（黑2，黑1），（黑1，黑2），∴(颜色相同)．【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，掌握上述内容是解题的关键．26．成语是我国灿烂文化宝库中一颗璀璨的明珠，具有简洁明快、画龙点睛的特点．如：成语“物美价廉”形容东西价钱便宜、质量又好．乐乐无返回依次到甲、乙、丙三地旅游，在途中准备购买一个金边的“冰墩墩”作为纪念．已知甲、乙、丙三地相离较远，都可以买到乐乐心仪的同款金边“冰墩墩”；但市场上这款金边冰墩墩的质量有优、良、合格、不合格，价格有130元、120元、105元、95元、90元、85元等情况，乐乐认为只要买到优良品质、价格不超过100元的金边冰墩墩，就达到“物美价廉”．(1)若乐乐打听到甲地所卖的金边冰墩墩质量为优品，因此乐乐决定在甲地购买．试求出乐乐买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率；(2)乐乐认为：没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择到了丙地再购买，能买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率与（1）中在甲地买到“物美价廉”的金边冰墩墩的概率是一样的，这个想法是否正确？试说明理由，并列举出乐乐没有了解三地所销售金边冰墩墩的相关信息，直接选择在丙地购买到“物美价廉”金边冰墩墩的情况．【答案】(1)(2)这个想法不正确，理由见解析，【分析】（1）甲地均为优品，买到每种价格的冰墩墩是等可能的，根据概率公式解答即可；（2）丙地冰墩墩的相关信息不明，根据列举法求出所有情况，进行计算．【解析】（1）解：∵买到130元、120元、105元、95元、90元、85元的冰墩墩是等可能的，且95元、90元、85元的有三种情况，∴；（2）解