2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01（解析版）（江苏专用）

2021年秋季高三数学开学摸底考试卷01

试卷满分：150分考试时长：120分钟

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无

效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、单选题

1.设集合4={-1,1,2,3,5},8={2,3,4},C={xeR|l,,x<3},贝!!(AnOU5=

A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【分析】

先求ADC，再求(ACIOUB.

【详解】

因为Anc={1,2},

所以(Ap|C)UB={l,2,3,4}.

故选D.

【点睛】

集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、

坐标系、韦恩图等进行运算.

2.设复数Z1,Z2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z1=3+4i,则z,=()

A.25B.-25C.7—24/D.—7-24/

【答案】A

【分析】

由题意可得Z2=3-4i,根据复数的乘法运算即可求解.

【详解】

复数Z,*2在复平面内的对应点关于实轴对称，Z1=3+4Z,

=

则Z23—4z,所以Z]Z,=（3+4i）（3—4i）=9+16=25.

故选：A

3.已知直三棱柱ABC-44G的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为百，AB=2,AC=1,

ABAC=60°,则该球的表面积为（）

A.4万B.4后兀C.8%D.32%

【答案】C

【分析】

利用三棱柱ABC—的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为6，A3=2，AC=\,ABAC=600,求出

再求出AA8C外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积.

【详解】

团三棱柱ABC-^Q的侧棱垂直于底面，

棱柱的体积为G，AB=2，AC=1,ZMC=60°,

S-^x2xlxsin60°xA4j=V3,0AA]=2

SBC2=AB2+AC2-2ABACCOS600=4+1-2=3,0BC=6

设ZVLBC外接圆的半径为8,则乎不=2R,团/?=1.

sin600

团外接球的半径为JI7T=V2，回球的表面积等于4乃X（虚）2=8万.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题.

4.函数/（;v）=sinxcosx+Gcos2x的图象的一条对称轴为（）

7171717t

A.X=­B.X———C.X———D.X——

12632

【答案】A

【分析】

鸟令"+紧畀"

先化简得/(x)=sin(2x+?)+

ZeZ求出对称轴即可判断.

【详解】

f(x)=sinxcosx+Gcos2x=—sin2x+V3•1+=sin2x+—j+,

22(3J2

rrjrjrkJT

令2x+-=—+攵乃，keZ,解得了二一+——,keZ,

32122

则可得X=5是/(x)的一条对称轴.

故选：A.

r2v2

5.椭圆二+匕=1上一点M到焦点E的距离为2,N是M耳的中点，贝！IIONI等于()

259

A.2B.4C.6D.1.5

【答案】B

【分析】

设椭圆另一焦点为鸟，根据椭圆定义|阿I+W隼|=2。=10,可5|=8,再结合中位线定理即可得答案.

【详解】

设椭圆另一焦点为鸟，根据椭圆定义|叫|+|咋|=2。=1。，故W周=8,

玛中，N是的中点，。是KK的中点，故ON是中位线，

|(9^|=l|M^|=lx8=4.

故选：B.

6.已知2sin2a-cos2a=l,贝！|cosa的值为()

A.-B.—c.—D.-45

5535

【答案】D

【分析】

利用二倍角公式化简得到2sina=cosa,再利用同角的平方关系求解.

【详解】

由题得4sinacosa+l-2cos2a=1,

所以4sinacosa=2cos2a,

因为"卜

所以2sina=cosa,

因为sin2a+cos2a=1,/.—cos2a+cos2a=\,

4

所以cos2a=',:aw(0,叁),cosa=-1A/5.

故选：D

【点睛】

方法点睛：三角函数求值常用的方法有:三看(看角、看名、看式)三变(变角、变名、变式).

7.a\na>b\nb>c\nc=\,贝!I()

/+<lna>e'+"\nh>ea+h\ncB.ec+a]nh>eb+c}na>ea+h\nc

C.ea+b\nc>ec+a\nb>eb+c}naD.ea+h\nc>eh+c\na>ec+a\nh

【答案】C

【分析】

构造函数/(x)=xlnx,利用导数得出a>A>c>l,构造函数g(x)=2f，利用导数证明詈<竽<竽,

从而得出ea+bInoec+',\nb>eb+cIna-

【详解】

令/(x)=xlnx,则/'(x)=1+Inx

当0<x<1时，f'(x)<0,当时，f'(x)>0

ee

即函数f(x)在(0,£)上单调递减，在+8)上单调递增

A./、Inx.---Inx

令g(x)=『则rig，(x)=一

e

由于函数y='-lnx在(0,+8)匕单调递减，lnc='，--lnc=---=O

Xcccc

则一Inx=0在(0,”o)上有唯一解c,故g'(x)=0在(0,+8)上有唯一解c

X

即当X>CH寸，g'(x)<0,则函数g(x)在(c,+oo)上单调递减

.八、,.„„Ina\nbInc

BPg(ci)<g(b)<g(c),BP—<—<—

eee

eblna<eaInb,ecInb<ebInc

eb+c\na<e"Inb,ea+c\nb</'Incneh+c\na<ea+c\nh<eh+cInc

故选：C

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小关系.

8.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要

的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术

记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才."北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下

两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、

十位、百位.....上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下珠）是1,即五粒下珠的大小等

于同组一粒上珠的大小.现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位

至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）

梁7一上珠

档T4必5

框(下珠

3521

B.一C.-D.—

8892

【答案】D

【分析】

从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，利用列举法列出整数共有32个，其中能够被3整除

的整数有16个，进而根据古典概型的概率计算公式可解.

【详解】

解：从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠，得到的整数共有32个，分别为:

11,15,51,55,101,105,501,505,110,150,510,550,

1001,1005,5001,5005,1010,1050,5010,5050,1100,1500,5100,5500,

2,20,200,2000,6,60,600,6000,

其中算盘表示的整数能够被3整除的整数有16个，分别为:

15,51,105,501,150,510,1005,5001,1050,5010,1500,5100,6,60,600,6000,

则算盘表示的整数能够被3整除的概率为P=

故选：

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键点是利用列举法把从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠所得

到的整数列举出来.

二、多选题

9.已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110,81),其中90分为及格线，则下列结论中正

确的有(附：随机变量J服从正态分布则夕(4一26<4<4+2<7)=0.9545)()

A.该校学生成绩的期望为110B.该校学生成绩的标准差为9

C.该校学生成绩的标准差为81D.该校学生成绩及格率超过95%

【答案】ABD

【分析】

根据正态分布的数字特征可判断ABC选项的正误，计算出290）>0.97725,可判断D选项的正误.

【详解】

因为该校学生的成绩服从正态分布N。10,81）,则〃=110,方差为〃=81，标准差为b=9,

•.•//-2cr=110-2x9=92）P（短90Ap（绊92）=P（绊〃—2cr）=g+gp（〃—2cr<J<〃+2cr）

=-+-x0.9545=0.97725>0.95.

22

所以，该校学生成绩的期望为110,该校学生成绩的标准差为9,该校学生成绩及格率超过95%.

所以，ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

10.△A8C中，。为边AC上的一点，且满足4万=:觉，若P为边3。上的一点，且满足

AP=mAB+nAC（m>0,n>O'）,则下列结论正确的是（）

A.m+2n=lB.%〃的最大值为L

12

4ii

c.—I—的最小值为6+4A^D.加*+9〃2的最小值为工

mn2

【答案】BD

【分析】

根据平面向量共线定理可知A错误；

根据加〃=；〃〃（3〃），利用基本不等式可求得最大值，知IB正确：

41（41、

由一+—=—+—（根+3〃），利用基本不等式可求得最小值，知C错误；

mn\mn）

利用基本不等式可得加2+9/22W+3”），知D正确.

2

【详解】

对十A,AP=mAB+nAC=mAB+3nAD，

・・・瓦尸,£>三点共线，・・・m+3〃=l,A错误；

11（+1

对于B,・.・m+3〃=1,=—根----—=一（当且仅当〃2=3〃时取等号），B正确;

3v73I2）12

「41（41Vc、r12〃〃2r八112"mr/仄八1,口mMn

对J'C,—I—=—I—（m+3T?）=7H----1—N7+2J----—=7+4J3（当且仅当—，HIJ

mn\mn）mn\mnmn

m—2月〃时取等号）,C错误;

对于D,疝+9〃22（，然+3〃）」（当且仅当加=3”时取等号），D正确.

22

故选：BD.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等.

（1）"一正"就是各项必须为正数；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积

的因式的和转化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点4B的距离

之比为定值入（入wl）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿

PA1

氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（-2,0）,B（4,0）,点P满足a=%.设点P的轨迹为C,下列

\PB\2

结论正确的是，（）

A.C的方程为（x+4）2+/=9

\PD\1

B.在X轴上存在异于A,B的两定点。，E,使得匕4=彳

附2

C.当A,B,P三点不共线时，射线P。是MPB的平分线

D.在C上存在点M,使得|MO|=2|/WA|

【答案】BC

【分析】

设P（x,y）,运用两点的距离公式，化简可得P的轨迹方程，可判断A；

\PD\1

假设在x轴上存在异于A,B的两定点。，E,使得第设出D,E的坐标，求得轨迹方程，对照P

\PE\2

的轨迹方程可得D,E,可判断8；

\0A\1PA

当A,B,P三点不共线时，由舄=；=舄，由角平分线定理的逆定理，可判断G

On\2

若在C匕存在点M,使得|M0|=2|/WA|,可设M(x,y),运用两点的距离公式，可得M的轨迹方程，联

立P的轨迹方程，即可判断D.

【详解】

\PA\1

在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),8(4,0),点P满足局=5,

设P(x,y),则-I^==~

J(x-4)+/2

化简可得(x+4)2+/=16,故A错误;

假设在x轴上存在异于A,8的两定点D,E,

可设。(m,0),E(n,0),可得而H?=2而二^，

化简可得3x?+3y2-(8n?-2n)x+4m2-n2=0,

由P的轨迹方程为x2+p+8x=0,可得8m-2n=-24,4m2-n2=0,

解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4(舍去)，即存在D(-6,0),E(-12,0),故B正确；

\OA\1|PA|

当A,8,P三点不共线时，由身=彳=舄，可得射线P。是MP8的平分线，故C正确；

(JD\2rB\

若在C上存在点M,使得|M0|=2|M*，可设/W(x,y),即有正了7=2而万不了，

化简可得x2+y2+3x+3=0,联立/+/+8乂=0,可得方程组无解，故不存在M,故。错误.

33

故选：BC.

【点睛】

本题考查轨迹方程的求法，考查圆方程的求法和运用，以及两点距离公式的运用，考查化简运算能力，属

于中档题.

12.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'。中，M为BC边的中点，下列结论正确的有()

A.AM与。'3'所成角的余弦值为巫

10

9

B.过三点A、M、的正方体ABCD-AB'C。'的截面面积为一

2

TT

C.四面体AC'30的内切球的表面积为不

D.正方体ABCD—A'B'C'。'中，点尸在底面A'3'C'。'(所在的平面)上运动并且使NM4C'=ZR4C,

那么点P的轨迹是椭圆

【答案】AB

【分析】

——.---.AMD'B'

构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos<AM,D'B'>=_.—■-为AM与OP所成角

|AM||D'B'\

的余弦值判断A的正误；同样设P(x,y,0)结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得

6y+2V15

/,；~尸=一b，进而判断P的轨迹知D的正误；由立方体的截面为梯形，分别求

7%+/+4x735

MN,AD',AM,D'N,进而得到梯形的高即可求面积，判断B的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧

面面积的关系求内切球半径r，进而求内切球表面积，判断C的正误.

【详解】

A：构建如下图所示的空间宜角坐标系：

z

则有：A(0,0,2),M(1,2,2),BXO,2,0),D'(2,0,0),

SIAM'=(1,2,0),D'B'=(-2,2,0),

2懵故正确.

cos<AM,DlT>=

|AM||W|出x瓜

B：若N为CC的中点，连接则有MN//AO',如下图示,

团梯形AMND为过三点A、M、M的正方体ABC。一ABC'。'的截面,

而MN=五,AD'=26,AM=D'N=后,可得梯形的高为主区，

2

回梯形的面积为S=！x3&x逑=2,故正确.

222

C：如下图知：四面体A'C'BO的体积为1E方体体积减去四个直棱锥的体积,

由M=8—4xgx；x8=|,而四面体的棱长都为2&，有表面积为S=4x；x20x2拒xsing=8G，

团若其内切圆半径为r，则有1X86"=»，即r="，所以内切球的表面积为4万产=”.故错误.

3333

D：正方体ABC。一AB'C'。'中，点P在底面A'3'CT)'(所在的平面)上运动且NM4C'="4C，即尸

的轨迹为面AB'C'D'截以AM、AP为母线，AU为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK,

构建如下空间直角坐标系，A(0,0,2),M,2),C\0,2V2,0)，若P(x,y,0),则

22

加(-冬孚。),记=(。,26-2),丽=(“-2)，

z

6_V15

国cos/MAC=

IAM||AC|V5xV12-5

c°s4AC="&=/向+2「0y+2

即/.~F,整理得

lAPIIAC'l7X2+/+4XV3y]x2+y2+4Xyfj

0+100)2—9/=216(y>0),即轨迹为双曲线的一支，故错误.

故选：AB

【点睛】

关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示

求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的

表面积.

三、填空题

13.已知/(X)是定义在R上的周期为3的奇函数，且)(—1)=2/(10)+3,则/(2021)=.

【答案】1

【分析】

利用函数的周期性得八2021)=/(-1),山己知条件可知/(一1)=-2/(-1)+3,即可求值.

【详解】

山题意知：/(2021)=/(3x674-l)=/(-1),而/(-1)=2/(10)+3,

回/(—1)=2/(3x3+1)+3=2/(1)+3=一2/(—1)+3,即3/(-1)=3,

0/（-1）=1,故/（2021）=l.

故答案为：1

14.已知抛物线。：9=2〃；\：（〃＞（））的焦点为尸，过F作斜率为由的直线/交抛物线。与A、3两点,

若线段AB中点的纵坐标为石，则抛物线C的方程是.

【答案】y2=6x

【分析】

本题首先可设A（x，y）、*孙月），则y：=2pX|、W=2p%，然后两式相减，可得

（y-%）（y+%）=2p&-W），再然后根据A、B两点在斜率为由的直线/上得出g（y+必）=2p,

最后根据线段AB中点的纵坐标为百即可求出结果.

【详解】

设A（3,yj,B（Xj,y2）,则靖=2「须,=2px2,

两式相减得城一切？=2师-2Pxi,即（y—%）（凶+%）=2〃（%-%），

因为A、3两点在斜率为6的直线/上，

所以学步=布,（X-％）（乂+%）=2〃（石一9）即后（弘+%）=2p，

因为线段AB中点的纵坐标为百，所以弘+必=26，

则6x26=2〃，p=3,抛物线。的方程是V=6x,

故答案为：/=6x.

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交的相关问题的求解，考查中点坐标的相

关性质，考查直线斜率的应用，考查计算能力，是中档题.

15.已知函数f（x）=x+ln（x-1）,g（x）=xlnx,若/a）=l+21nf,g（x2）=r,则（芭芍一/）"（的

最小值为.

【答案】一二

【分析】

先证明据％-1=111工2,结合*2豚*2=产，求出区X2-X2）lnf=rlnf,令〃（r）=/mf（r>0）,根据函数的单

调性求出代数式的最小值即可.

【详解】

•・•/（%）=%+ln（玉-l）=14-21n/,

即再一1+In（玉-1）=Inr=ln[e"T•（百-1）],

.•.户二小区-0①，/〉。，

nX2

1.•g（》2）=々Inx2=r=e'-Inx2（2）,

又•.•y=x-e*在[0,+«>）上单调递增，

lnA2

故由①②得e*'T（3-l）=e-lnx2=>jq-l=lnx2,

2

故（xtx2-x2）lnr=x2InXj-\nt=tIn/,

令h（t）=t-Int[t>0）,则"（f）=2t\nt+t,

令〃'⑺>0,解得：一，，令〃⑺<0,解得：〜T，

故〃（。在（0,-3）递减，在（e-，田）递增，

故力⑺min=/?（e2）=—J，

2e

故答案为：-----

2e

【点睛】

利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用r（x）>。或r（x）<o求单调区间;第二步:解了'（X）=。：

第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值：第五步：比较区间端点的函数值与极值的大

小.

16.格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点.一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的

“格点距离"（如：尸（-2,1）,则点p到原点的格点距离为2+1=3）.格点距离为定值的点的轨迹称为“格点

圆”,该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径.当格点半径为6时，格点圆的半径有

条（用数字作答）.

【答案】252

【分析】

由题设，易知格点圆上的格点都在1刈+1.丫|=6匕其中每个象限有5个，且相互关于x、y轴或原点对称,

分析可得每个格点半径条数为，进而可求所有格点的半径条数.

【详解】

设格点为(x,y),格点半径为6,则|x|+ly1=6,

团对应格点圆图象如下，每条边上有(不含端点)5个格点，

以第一象限为例,格点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),其中(1,象的半径有6条,(2,4)的半径有15条,

(3,3)的半径有20条，(4,2)的半径有15条,(5,1)的半径有6条，

团共有62条，即对于任意格点，其半径条数有，条，

国由上，四个象限共有4x(C：+C；+C：+C：+C；)=248条半径，另外数轴上有

(6,()),(0,6),(-6,0),(0,-6)四个点，半径共有4C：=4条，

综上，格点半径为6时，格点圆的半径有248+4=252条.

故答案为：252.

【点睛】

关键点点睛：画出格点圆的图象，确定各象限中格点坐标，分析格点半径条数与坐标值之间的关系，应用

对称性求格点圆半径总条数即可.

四、解答题

17.已知等差数列的首项为2,前"项和为5”，正项等比数列｛6｝的首项为1,且满足，前n项和为a3=2b2,

Ss=b2+bi.

(1)求数列｛%｝,｛6｝的通项公式；

Z，

(2)设c“=(-l)log3SH+log3〃,，求数列｛cj的前26项和.

【答案】(1)an=2n,2=3"i；(2)328.

【分析】

(1)根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式.

(2)利用裂项相消法和分组求和可求｛c,,｝的前26项和.

【详解】

q+2d=2如r2+2d=2q

⑴由题意得：<5x4,八八3即s3，

5al+-----d=b1q+b[q[10+\0d=q+q

-2

E^3-9(7=0,团也｝是正项等比数列，回q=3,则d=2,

团a“=2+2(〃-1)=2〃，bn=l・3'i=3"T.

(2)S“=；〃(2+2〃)=+,

则%=(T)"log.?[〃(〃+1)]+log.33"~i=[(-1)"log-,〃+(-1)"log(〃+川+〃一1

回｛%｝的前26项和为:

与6=(-log3l-iog32+0)+(log32+log33+l)+(-log33-log34+2)+…

+(-log325-log326+24)+(log326+log327+25)

6)<

-log3l+log327+、(；+祠=3+325=328.

【点睛】

思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如

果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么

用裂项相消法：如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.

18.潍坊市为切实保障疫情防控期间全市食品质量安全，采取食品安全监督抽检和第三方托管快检室相结

合的方式，全面加强食品安全检验检测据了解，滩坊市市场监管部门组织开展对全市部分生产企业、农贸

市场、大型商超、餐饮服务场所生产经营的小麦粉、大米、食用油、调味品、肉制品、乳制品等与人民群

众日常生活关系密切且消费量大的食品进行监督抽检组织抽检400批次，抽检种类涵盖8大类31个品种全

市各快检室快检60209批次，其中不合格53批次.某快检室在对乳制品进行抽检中，发现某品牌乳制品质

量不合格，现随机抽取其5个批次的乳制品进行质量检测，已知其中有1个批次的乳制品质量不合格下面

有两种检测方案：

方案甲：逐批次进行检测，直到确定质量不合格乳制品的批次；

方案乙：先任取3个批次的乳制品，将他们混合在一起检测.若结果不合格，则表明不合格批次就在这3

个批次中，然后再逐个检测，直到能确定不合格乳制品的批次；若结果合格，则在另外2批次中，再任取I

个批次检测.

（1）方案乙中，任取3个批次检测，求其中含有不合格乳制品批次的概率；

（2）求方案甲检测次数X的分布列；

（3）判断哪一种方案的效率更高，并说明理由.

3

【答案】（1）（2）答案见解析：（3）方案乙的效率更高.理由见解析.

【分析】

（1）由题意即可求解：（2）先求出X的可能取值，然后求出对应的概率，进而可以求解；

（3）设方案乙的检测次数为丫，求出丫的可能取值，然后求出对应的概率，再求出方案甲和乙的数学期望，

比较大小即可求解.

【详解】

C23

解：（1）由方案乙可知含有不合格乳制品批次的概率P=#=1，

（2）依题意知检测次数X的可能取值为1，2,3,4,

A41

?（x=i）=叁4

尸…赍A41

P（X=3）=",

P(X=4)=星亨=|,

AD

故方案中检测次数X的分布列为:

X1234

2_\2

p

5555

(3)设方案乙检测次数为y,则y的可能取值为2,3.

当y=2时的情况为先检测3个批次为不合格，再从中逐一检测时，恰好1次检测出，或先检测3个批次为

合格，再从其他2个批次中取出1个批次检测.

1Cx4一3

贝ijp(y=2)=Ax无+父注

2

所以p(y=3)=1.

故方案乙检测次数Y的分布列为:

Y23

32

P

5

%)=%(=12

5

123814

则E(X)

5555

因为E(y)<E(X),所以方案乙的效率更高.

19.已知△A5C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且〃8sA+acosB=2c、cosA.

(1)求A;

(2)若。=2,AABC的面积为百，求AABC的周长.

71

【答案】(I)A=一；(2)6.

3

【分析】

(1)根据匕cosA+acos5=2ccosA,利用正弦定理，结合两角和的正弦公式得到

sin(A+3)=2sinCcosA,又A+5=;r—C,由sin。=2sinCeosA求解:

（2）根据A=。，AABC的面积为百，由面积公式得到匕c=4,再结合余弦定理求得匕+C即可.

【详解】

（1）因为bcosA+QCOS5=2C、COSA

所以sin3cosA+sinAcosB=2sinCcosA，

所以§抽（4+5）=2$后（?（：0524,

因为A+B=TF-C,

所以sinC=2sinCcosA,

因为sinCwO,

所以cosA=—.

2

因为0<A<%,

7t

所以A=—.

3

（2）因为A=q,445。的面积为6，

所以S^ABC=；历sin^=石,

解得Z?c=4,

由余弦定理a?=b2+c2-2bccosA）

得4=〃+<?-bc=（b+c^-3bc.

所以b+c=4，

所以a+h+c=6.

所以AAbC的周长为6.

【点睛】

方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要

抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如

果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个

定理都有可能用到.（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.

TT

20.如图，四棱锥P—ABC。中，底面ABC。是菱形，ZBAD=-,M是棱心上的点，。是AO中点，

且PO,底面ABC。，OP=>J3OA.

M

(1)求证：BC1.OM；

3

(2)若PM=y,求二面角3—OM—C的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)昱.

4

【分析】

TT

⑴由底面A3CD是菱形，N5AD=y，可得△45。为等边三角形，再加上点。是AD中点可证OBJ.AD,

进而可得0B_L3C,再由尸O_L底面ABC。，可得OPLBC,结合线面垂直的判定定理及性质定理，即

可求证所求证；

⑵由题意及⑴可以，以点。为原点，。4，。^，。2所在的直线分别为乂^H轴，建立空间直角坐标系，再

利用向量法即可求解.

【详解】

又：。为AO的中点,

OBLAD.

AD//BC,

•••OBLBC.

PO_L底面ABC。，5Cu平面ABC。，

OPIBC.

vOPC\OB^O,0P,08u平面「OB，

3C_L平面POB.

M是棱PS上的点，

QWu平面P08.

BC±OM.

(2)解：••・POJ_底面ABC。，OBA.AD,

••.建立如图所示空间直角坐标系。一肛z,设Q4=l,则OP=OB=£.

V0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,疯0),C(-2,V3,0),P(0,0,6),

•1-OC=(-2,月,())•

3

由PM=jPB,

得揄=办+|丽=(0,孚，子)

设7=(x,y,z)是平面OMC的法向量,

OMm=03y+2z=0,

由《，得

方t12x->/3y=0,

OC-m=n0i

令y=2,则％=&z=-3,则蔡=（"2,-3>

又♦.・平面P08的法向量为n=（1,0,0）,

由题知，.面角3-。必一。为锐二面角，

所以二面角B-。M-C的余弦值为立.

4

【点睛】

本题考查线线垂直的证明及空间向量法求二面角，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能

力及方程思想，属于中档题.

21.已知等轴双曲线C：£一卫=］（a>0,b>0）经过点（在，!）.

a2b222

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点8（0,1）.

①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E,F两点，求回EBF最小时k的值；

②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P,Q两点，3户+心0为定值丸，求点4的坐标

及实数4的值.

【答案】（1）/一产=1；（2）①人=0；②4（血」）,4=0或者4（—夜,1）,；1=—血.

【分析】

（1）由题意4=人，代入已知点建立方程，解之可得双曲线C的标准方程.

（2）①由对称性可设E（x,y）,尸（一X,—y）,口/21,运用向量数量积的坐标运算表示

BEBF=-x2-y2+l,又由/=彳？一1可得8后7=2（1—/）«0,由此可得/后防最小时，Z的值.

②设A(牡〃)，过点B的动直线为：y=比+1.设尸(%,%),Q(%,%),与双曲线的方程联立得

(l-r)%2-2tt-2=0,根据根的判别式和根与系数的关系可求得产＜2且/工］,由直线的斜率公式得

txy+1—ntXj+1一〃c

--------+--------=%,再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数X的值.

X1-mx2-m

【详解】

51

解：(1)由题意a=b,II.3__a_］解得a=Z?=l,

靛一记

所以双曲线C的标准方程为V一丁=L

(2)①由对称性可设成x,y),尸(一x,-y),且xNL则BE-BF=(x,y-l)-(-x,-y-\)=-x2-y2+1,

因为E点在双曲线。上，所以』-y2=i,所以,2=%2一1,所以丽.丽=2(1-巧《0,

当国=1时，丽•丽=O,/EA尸为直角,

当W＞1时，B尸＜0,1E8/为钝角.

因此，NEB尸最小时，W=l,%=0.

②设过点3的动直线为：y=fx+l.

22

X7=1得（1_/卜2_2a_2=0,

设尸(4,乂),。(孙必)，联立,

y=tx+\''

1-产*0

△=4产+80—产）>0

所以《-It，由l—f2Ho且△＞(),解得『＜2且『H1，

Xy+X2=-J—

玉”一「

1-J

,,c%一〃1ZX]+l—〃tx^+i-n]

心。+心。=2，即乌——+———=4即」------+一-------二4，