新教材人教A版高中数学 选择性必修第二册 同步试题 521基本初等函数的导数（分层作业）（夯实基础+能力提升）

521基本初等函数的导数（分层作业）（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022•广东•石门高级中学高二阶段练习）下列求导结果正确的是（）

A.（2、）=x-2x~'B.（cos］）=-^-siny

C.=InxD.卜in"）=2sinx

【答案】B

【分析】依据导数的运算法则逐一计算验证选项即可.

【详解】A选项：（2'）'=272,故A选项错误；

B选项：（cos—=--sin—»故B选项正确；

（3J33

C选项：故C选项错误；

yxjx

D选项：（sin。）=2sinxcosx>故D选项错误；

故选：B

2.（2022•福建莆田•高二期末）函数y=的导函数是（）

A./=-%-'B.y'=-x'2C.y'=x'2D./=x-1

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.

【详解】由（/）'=-/I=-X-2得y，=_%-2

故选：B.

3.（2022•吉林白山•高二期末）已知函数/（x）=2sinx+3犷'（0）,贝1」/'（0）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】先求析（力,再求析（0）的值.

【详解】解：因为/'（x）=2cosx+3/'（0）,

所以:（0）=2+3尸（0）,解得/'（0）=7.

故选：A.

4.（2022・湖南•株洲市深口区第三中学高二期中）已知函数P=log2X+l,则y'L=（）

A.-——B.---C.In2D.—In2

In2In2

【答案】A

【分析】根据对数函数的导数求解即可

【详解】因为夕=bg2X+l,故>/=；,故/J尸丁!

xln2In2

故选：A

5.（2022•新疆和静高级中学高二阶段练习）已知函数/（同=；1-/'（2）/+、-3,则〃3）=（）

7

A.-1B.0C.-D.1

3

【答案】B

【分析】先求导函数，然后赋值求出/（2）,进而求出/（3）的值.

【详解】/（X）=X2-2/,（2）X+1,.-./（2）=22-2/'（2）X2+1,.-./（2）=1,

/（3）=1X35-1X32+3-3=0.

故选：B

6.（2022•上海市杨浦高级中学高二期末）函数特性P：“函数的图像上存在两点，使得函数的图像在这两

点处的切线互相垂直”，则下列函数中满足特性P的函数为（）

A.y=x3B.y=sinxC.y=e,D.y=\nx

【答案】B

【分析】若满足特性P,即在两点处切线斜率乘积为-1,利用导数的几何意义即可判断选项.

【详解】设函数y=/（x）的图像上存在两点（“无），（为外），若％=则图像在这

两点处的切线互相垂直，

对A,=3x2>0,则%•左2=3%」.342W-1,故A不正确；

对B,y=cosx,则占•左2=COSX|,COSX2，因为COSX£[-1,1],所以存在斗，才2满足COSX|,COSX2=-1,故B

正确;

对C,y'=e、>0,则尢・右=e』©"-l,故C不正确;

f

对D,y=—>0,则匕，左2,故D不正确，

xX|x2

【答案】D

【分析】求导函数代入可求得答案.

【详解】解:因为函数/(x)=3x+xsinx+cosx,所以/'(x)=3+xcosr,

又cos'=0,所以=

故选：D.

8.(2022•北京师大附中高二期中)若函数/(x)=sinx+cosx,则/'(?)=()

A.-V2B.y/2C.1D.0

【答案】D

【分析】求导后代入X=f求解即可

4

【详解】由题意，/"(x)=cosx-sinx,故/"用=cos卜sin}0

故选：D

二、多选题

9.(2022・全国•高二课时练习)下列函数求导运算正确的是()

A.(3'y=3'logje(bg2X)'=*

【答案】BCD

【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.

【详解】A：(3')'=3xln3,错误;

B：(Iog2x/=—,正确;

xIn2

正确;

D：田子正确，

故选：BCD

三、填空题

10.(2022•浙江•镇海中学高二期中)已知函数/(x)=2*,则/、'(2)=.

【答案】41n2

【分析】利用基本初等函数导数公式求导，代入即得解.

【详解】由题意，/'(x)=2Un2,故/'(2)=4ln2.

故答案为：4In2

11.(2022•山东枣庄•高二期末)已知函数,f(x)=则曲线N=/(x)在点(1,1)处的切线的方程为

【答案】y=3x-2

【分析】求导，根据导数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：f'(x)=3x2,

则/'(1)=3,

所以曲线y=/(x)在点(1,1)处的切线的方程为y-i=3(x-i),

即y=3x-2.

故答案为：y=3x-2.

12.(2022•江苏连云港•高二期末)设方为实数，若直线y=-x+b为函数，=1图象的切线，则6的值是

X

【答案】2或-2

【分析】设切点为(X。,4),求导得到y'=-」，得到-」r=T,解得切点，代入得到答案.

Xxo

【详解】设切点坐标为(%,%)),由函数y=1的导数为y'=--V，

XX

由直线y=-x+b得到斜率为,得到-±=-i,解得七=±1,

把X。=-1代入尸:中解得义=-1,把%=1代入%/中解得%=1,

所以切点坐标是(-1,-1)或(1,1),

当切点坐标是(T，T),代入直线的方程y=-x+b,得:b=-2；

当切点坐标是。,1),代入直线的方程y=-x+b,得：b=2.

综上所述：6=2或-2.

故答案为：2或-2

13.(2022•福建三明•高二期末)已知曲线/(x)=Inx+x在点(1,1)处的切线为/,则直线/的方程为

【答案】y=2x-i

【分析】先求导，则左=/'(1)=2,再由点斜式求解即可

【详解】因为/(x)=lnx+x,

所以=：+A;=.r(l)=j+1=2,

所以切线方程为：y-l=2(x-l),即夕=2x-l,

故答案为：y=2x-l

四、解答题

14.(2022•湖南•株洲市溪口区第三中学高二期中)求下列函数的导数.

d)y=x'2；

⑵，=X1；

(3)…；

(4)^=lnx；

O)y=cosx.

【答案】⑴八⑵“

4

(2)”-乒

(3)y=3'ln3

(4)y=-

X

(5)j/=-sinx

【分析】根据函数求导公式即可得出答案.

【详解】(I)y=(x,2y=i2xn

⑵”仪)=(y)'=T

(3)y=(3x)'=3xln3

(4)/=(lnx/=-

(5)y=(cosx)=-sinx

15.(2022•全国•高二课时练习)求下列函数的导数:

(Df(x)=^；

(2)/(x)=lgx；

(3"(x)=5、：

(4)/(x)=-2sin|^H-2cos2;

4J.

【答案】(l)r(x)=(x5

1

(2)/'(x)=

xlnlO

(3)/'(x)=51n5

(4)/'(x)=cosx

【分析】(1)根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案;

(2)根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案；

(3)根据基本初等函数的求导公式，即可求得答案；

(4)先利用三角函数二倍角公式化简，再求导，可得答案.

(1)

,_44—

由〃幻=病=/，可得/'(x)=1x4；

(2)

由/(x)=lgx，可得/'(x)=-^;

xlnlO

(3)

由/(x)=5，，可得尸(x)=51n5；

(4)

由/(x)=-2sinyfl-2cos2今卜2sin|-^2cos2l^j=2sin|-eos^-=sinx,

可得/'(x)=cosx.

【能力提升】

一、单选题

1.(2022•全国•高二课时练习)设4(x)=Sinx,£(x)=/'(x),人(x)"'(x).....工+G)=£⑺，»eN,

则人022(x)=()

A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx

【答案】B

【分析】根据正余弦函数的求导公式，依次求出工(x)=4'(x),f2(x)=f；(x),./；(x)-f；(x),,f4(x)-f；(x),

即发现£(x)的值的周期性，由此可求得答案.

【详解】由题意得Z)(x)=sinx,4(x)=>(x)=(sinx)'=cosX,=(cosx)'=-sinx,

•4(x)=人'(x)=(-sinx)=-cosx，/4(x)=^(x)=(-cosx)=sinx>%(x)=£'(x)=(sinx)=cosx>....>

又因为2022=5x404+2,

故篇2(x)=力(x)=-sinx,

故选：B.

2.(2022•云南昭通•高二期末)定义满足方程/”(x)+/(x)=l的实数解%叫做/(力函数的“自足点”，则下

列函数存在“自足点'’的是()

A.f(x)=x2+3B./(x)=ev+l

C./(x)=InxD./(x)=eJ-sinx+3

【答案】C

[分析】根据/''(X)+/(X)=1逐个答案进行分析求解即可.

【详解】对于A选项，/(x)=，+3,则以x)=2x,由〃x)+W+2x+3=l,

BPx2+2x+2=0>A=4-8<0,因此，/(x)=x2-3x不存在“自足点”，故A不满足易于题意；

对于B选项，/(x)=e'+l,则/(x)=e，，由〃x)+r(x)=e、+l+e*=1,

得2e"=0,又e、>0,所以2e、=0无解，所以/(x)=e'+1不存在“自足点”，故B不满足题意；

对于C选项，/(x)=lnx,则r(x)=—其中x>0,所以/(x)+/(x)=lnx+E=l,

又/'(1)+/。)=1，故函数/(x)=lnx存在“自足点”，C选项满足题意；

对于D选项，/(x)=e、-sinx+3,则，(x)=e、-cosx,

由+=2er-sinx-cosx+3=1,得2e*-sinx-cosx+2=0，

所以sinx+cosx=2(e'+1),即&sin(x+?)=2(e'+1),

因为亚sin(x+?)e[_5/I,VT],2(ex+l)>2,

所以亚sin(x+7)=2(e'+l)无解，D选项不满足题意.

故选：C.

3.(2022•广西•高二阶段练习(理)〉/'(X)是/(x)的导函数，若对VxeR都有/V(x)-3*)=4,则函数

〃(x)=/'(x)-9零点所在区间是()

x

A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)D.(0,1)

【答案】C

【分析】根据题设得"x)=3'+C,对其求导可得例x)=3'ln3-°,根据指数、塞函数的单调性判断〃(x)在

X

(0,+8)上的单调性，结合零点存在性定理求零点所在区间.

【详解】对VxeR都有/(/*)-3、)=4,

若/(x)为常数函数，即对VxeR有〃x)=4,则/'(x)=0,故〃(x)=)在(0,+«>)上无零点；

X

若/(X)在XeR上不单调(不为常数函数)，即meeR使/(C)=4,

对VxwR有/(x)—3*=C,则/(x)=3、+C为单调函数，不合假设;

若/(X)在xeR上单调，即mCeR使/(C)=4,

对VxeRWf(x)-y=C,则/(x)=y+C为单调函数，满足假设；

综上，/(x)=3'+C.

所以f'(x)=3'ln3,故例x)=3*In3-9在(0,+8)上递增且连续,

x

而力⑵=91n3-3>0,Ml)=3(ln3-2)<0,

所以零点所在区间是(1,2).

故选：C

4.(2022•山东荷泽・高二期中)定义：如果函数y=/(x)在区间［。向上存在王,々(。<演<》2<6),满足

八匹)="2/'(%)=〃2二/⑺,则称函数N=/(x)是在区间上的一个双中值函数.已知

b一-a/"b-a

Q

函数/(X)=x3-1x2是区间［0,切上的双中值函数，则实数机的取值范围是()

【答案】B

3_821Z

【分析】由/(m)一/(0)"加川28机,r(x)=3x2-yx,

zw-0m5

Q

g(-)<0

即3/-3-/+幼=0在［0,〃力有两解，解不等式，即可得解.

55g(〃?)>0

8

m>一

15

【详解】求导可得八刈=3--*,

3_82

由/(加)-/(0)"一丁38

--------------=------------=m-m

m—0m5

所以加2一1加=3/一华工有两解，

即3x2--y-X-W2+|•加=0在［0,〃?］有两解，

令g(x)=3x2--x-nr+—m

Q

g(-)<0

g(0)>0

所以

g(w)>0

8

m>——

15

48

解得：

故选：B

二、多选题

5.(2022•全国•高二课时练习)已知函数=竺+lnx.,若/(x)的图象存在两条相互垂直的切线.

则。的值可以是()

A.-6B.-5C.-4D.-3

【答案】AB

【分析】由题可得7''(x)=x+W+：,利用基本不等式可知/'@)=》+1+：2]+2,由条件可知

/'(阳)/'8)=-1,即可判断.

【详解】•••函数/(x)=m?+lnx,定义域为(0,+8),

f'(x}=%+—+—，

\)2X

：.f'(x)=x+^+->^+2,当且仅当x」时，取等号,

v72x2x

要使/(x)的图象存在两条相互垂直的切线，则叫，迎门。,”)，/'(不)/'伉)=-1,

所以/'(x)=x+g+g的值必有一正一负，

当°=-3时，r(x)=x+-+->-,不合题意，

''2x2

当々=-4口寸，/,(x)=x+y+—>0,不合题意，

当"一5时，/'(x)=x+J—|,则力,工2£(。，+°°)，/'(%)/'(工2)=-1，例如明，X2£(0，+°°)，

/'(x)=X+----=-1，f\工2)=工2-~~~=4,故Q的值可以是一5,

X]，।入2Z

当“=一6时，/，(X)=X+}-3,贝1」%,与€(0,+00),/(%).，(々)=-1,例如也户2€(0,+8),

/"(X|)=芭+,-3工2)=々」-3=4,故。的值可以是-6.

x,4x2

所以。的值可以是-5或-6.

故选：AB.

6.(2022•河北•英才国际学校高二期中)已知曲线〃x)=J则过点(T3),且与曲线y=/(x)相切的直

线方程可能为()

A.y=-x+2B.y=-9x-6C.y=-Sx-5D.y=-7x-4

【答案】AB

(1、

【分析】设出切点坐标X。,一，求出函数/(X)的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.

kxo>

【详解】设过点(T3)的直线与曲线y=/(x)相切的切点为(%,'),由〃x)=，求导得/口)=-二，

/XX

1112cl21

于是得切线方程为夕---="T(zx-Xo),即夕=—r、+—,则3=7+1，解得%=1或X。=-：,

因此得切线方程为y=-x+2或y=-9x-6,

所以所求切线的方程是y=-x+2或y=-9x-6.

故选：AB

三、填空题

7.(2022・全国•高二专题练习)对半径为1的气球以恒定的速度充气，可视为球体在不断膨胀，当半径增

加至2时，其体积相对于半径的瞬时变化率为.

【答案】16万

【分析】球的体积公式为修=34万对其求导并代入尺=2计算即可

4

【详解】解：由球的体积公式可得M=］乃川,得仁=4万斤，

所以R=2时，体积关于半径的瞬时变化率为『=4"x22=16万，

故答案为：16万

8.(2022•全国•高二课时练习)设曲线/(x)=x"+'(neN,«>1)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x”,

则玉•天•七•几…“x2021=.

1

【答案】

2022

【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率和方程，进而求出/=/；，再由累乘法可得答案.

77+1

【详解】解：由/(x)=x”"eN,〃21)得/(x)'=(〃+l)/，所以切线的斜率为〃+1,

所以在点(1,1)处的切线方程为y-1=(〃+i)(x-l),

令y=0,解得x=』7,即\,

H+1n+1

一12320211

XX

所以演•X2•.%4............X202l=234Xx_____—_____

2022—2022

1

故答案为:

2022

9.(2022•全国♦高二专题练习)若函数/'(X)是函数/(制的导函数，且满足/(0)=l,3/G)=/'(x)-3,则不

等式”(x)>f(x)的解集为.

【答案】(；ln2,+8)

【分析】由题意可设/(x)=a/+c,由/(0)=l,3/(x)=/'(x)—3,可得6=3,c=-l,“=2,由此求出/⑶的

解析式，不等式可解.

【详解】•••3/(x)=f\x)-3,；.f\x)=3/洋)+3

可设f(x)=a/+c

由/(0)=1,得a+c=l

又3/(x)=((X)-3,即3aehx+3c=abehx-3

[3a=ab

i，解得6=3,c=-l,a=2

3c=-3

f{x)-2*-LX€火

又"(x)>r(x)

.•.8e3*-4>6e3*即e3*>2

解得x>；ln2

故答案为：(|ln2,+co)

【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼3/(x)=/'(x)-3可知，原函数和导函数形式

相同，由此可联想构造，型函数，属于难题.

10.(2022・全国,高二专题练习)已知/(x)=tanx,数列｛““｝满足：对任意“eN*,且

/(。向)="'(6)’贝!1使得sin%应叫…sin%成立的最小正整数后为

【答案】298

【分析】先求出/'(x)=S”确定但/%｝是以3为首项，1为公差的等差数列，求出tan%=J标从而

sin%=，sinq•sin的…sina1t最后解不等式得出％的最小值.

［详解】尸(加£由/(a,+J=J/'(%)知:

1_sin2%4-COS2^

tanW=1+tan2atan2<71=3.

cos?42n

cosatl

.•.｛tan?%｝是以3为首项，1为公差的等差数列，，tan2a“=3+(〃-l)=w+2,

又AeN*,

故k的最小值为298.

【点睛】本题考查了三角函数的求导，等差数列的定义，同角三角关系式，以及根式不等式的求解.

四、解答题

11.(2022♦广东•高二期末)已知函数/(x)=sinx-x+ax2,aeR.

(1)若曲线歹=/(*)在》=兀处的切线过原点，求”的值；

⑵当X45时，/(x)>0,求。的取值范围.

【答案】⑴-丁

3兀

1

(2)a>-

71

【分析】(1)利用导数几何意义列出关于。的方程，解之即可。的值；

(2)先构造函数g(x)=sinx-x+L2,再利用导数证明g(x"0,进而求得“的取值范围.

71

(1)

/(x)=sinx-x+6rx2,则/'(X)=cosx-l+2ax

则k=/'(兀户COSTT-1-2aTt=-2-2a兀

又曲线夕=/(》)在》=兀处的切线过原点，

则/(兀)0=k,即_1+。兀=一2-2。兀，解之得。=---

71-03n

(2)

①当4=0时，/(x)=sinx-x,x<5

/r(x)=cosx-l<0,则/(x)在(-00,5］上单调递减

又/(0)=sin0=0,则x40时，/(x)>0；工>0时，/(x)<0

故。=0时，不满足当xK5时/(x)NO,不符合题意；

②由/(兀)=sin兀一兀+〃冗220,可得

贝！J/(x)=sinx-x+ax2>sinx-x+—^

g(x)=sinx-x+—x2,(x<5)

要证/(力之0,只需证g(x)N0

㈠当工£(-8,0］时，g(x)=sinx-x+—JC>sinx-A:

由①知，g(x)>sinx-x>0

2

㈡当X€(0㈤时,g〈X)=COSX-14-—X

令/7(X)=COSX-1+—X,XG(0,7l)

贝”(x)=-sinx+jXG(0,7i),P'(x)在(o,。单调递减，在(,兀］单调递增

/9f(0)=—>0,P|—|=--1<0,pr(7t)=—>0

n\2Jitn

贝1］叫©(。4)，x2,使得p'(xj=p，(x2)=0

则当X£(0,X1)或XW(X2,兀)时p'(x)>o,当X€(X"X2)时p'(x)<o

则0("在(0,西)和(工2，兀)单调递增,在(西,々)单调递减

又由2⑼==P⑺=0,

可得当X€(O,5)时,p(x)>0；当xe(',兀)时，p(x)<0

则g(x)在(0卷)上单调递增；在生)上单调递减

又由g(o)=g(兀)=0,