高中数学第五章一元函数的导数及其应用培优课函数的单调性与导数关系的应用课后习题新人教A版选择性必修第二册

培优课——函数的单调性与导数关系的应用必备知识基础练1.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则f(x)的单调递增区间是()A.(π,2π) B.(0,π)C.π2,π 2.若f(x)=13x3-ax2的单调递减区间是[0,2],则正数a的值是(A.1 B.2 C.3 D.43.已知函数f(x)=exx,当1<x<3时,下列关系正确的是(A.f(x)<f(x)<f2(x) B.f(x)<f(x)<f2(x)C.f2(x)<f(x)<f(x)D.f2(x)<f(x)<f(x)4.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.[1,+∞) B.a=1C.(-∞,1] D.(0,1)5.已知在R上可导的函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)·f'(x)>0的解集为()A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,2)C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)6.(多选题)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则()A.f(ln2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0)C.f(ln2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0)7.若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是.8.若函数f(x)=(x2+mx)ex的单调递减区间是-32,1,则实数m的值为.

9.已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+2.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a>0,求函数f(x)的单调区间.关键能力提升练10.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)11.若函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是()A.-12,32 B.-1C.1,32 D.1,3212.已知函数f(x)=xlnx+x(x-a)2(a∈R).若存在x∈12,2,使得f(x)>xf'(x)成立,则实数a的取值范围是()A.94,+∞ B.32,+∞ C.(2,+∞) D.(3,+∞)13.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R内的单调函数,则实数m的取值范围为.

14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,若当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则不等式xf(x)>0的解集是.

15.(2021山东烟台期中)已知函数f(x)=exsinx-ax在(-π,0)上单调递增,则实数a的取值范围是.

16.试讨论函数f(x)=kx-lnx的单调区间.学科素养创新练17.已知函数f(x)=lnx,g(x)=12ax2+2x(a≠0)(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,则实数a的取值范围是;

(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,则实数a的取值范围是.

18.已知函数y=ax与y=-bx在(0,+∞)内都是减函数,试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间

参考答案培优课——函数的单调性与导数关系的应用1.C∵f(x)=2cos2x+1=2+cos2x,x∈(0,π),∴f'(x)=-2sin2x.令f'(x)>0,则sin2x<0.又x∈(0,π),∴0<2x<2π.∴π<2x<2π,即π2<x<π2.Af'(x)=x2-2ax,令f'(x)≤0,由于a>0,解得0≤x≤2a,故2a=2,即a=1.3.A由题意得f'(x)=(x-1)exx2,当1<x<3时,f'(x)>0,所以又1<x<x<3,所以f(x)<f(x).由f(x)在(1,3)上单调递增,可知当x∈(1,3)时,f(x)>f(1)=e,所以f2(x)>f(x).综上,f(x)<f(x)<f2(x).4.Af'(x)=3x2-2ax-1.因为f(x)在区间(0,1)内单调递减,所以不等式3x2-2ax-1≤0在区间(0,1)内恒成立.所以f'(0)≤0,f'(1)≤0.所以a≥1.故选A.5.D原不等式⇔f即x解得x<-1或x>3或-1<x<1.6.AB令g(x)=f(x)ex(x∈R),因为f'(x)<f(x),所以g'(x故g(x)在R上单调递减,而ln2>0,2>0,故g(ln2)<g(0),g(2)<g(0),即f(所以f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0).7.(0,+∞)若函数y=-43x3+bx有三个单调区间,则其导数y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>08.-32f'(x)=[x2+(m+2)x+m]ex因为f(x)的单调减区间是-32,1,所以方程f'(x)=0的两个根分别为x1=-32,x2=1,即f'(-39.解(1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2,∴f'(x)=3x2+2x-1,∴f'(1)=4.又f(1)=3,∴切点坐标为(1,3),∴所求切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.(2)f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)·(3x-a),由f'(x)=0得x=-a或x=a3又a>0,由f'(x)<0,得-a<x<a3由f'(x)>0,得x<-a或x>a3故f(x)的单调递减区间为-a,a3,单调递增区间为-∞,-a和a3,+∞.10.D令F(x)=f(x)g(x)(g(x)恒不为0),则F(x)为奇函数,∵当x<0时,F'(x)>0,∴F(x)在(-∞,0)内为增函数.又F(3)=f(3)g(3)=0,∴∴当x<-3时,F(x)<0;当-3<x<0时,F(x)>0.又F(x)为奇函数,∴当0<x<3时,F(x)<0;当x>3时,F(x)>0.而不等式f(x)g(x)<0和f(x)g∴不等式f(x)g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3).11.C由题意,得函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=4x-1x令f'(x)=0,解得x=12或x=-12(舍去当0<x<12时,f'(x)<0,函数f(x)在区间0,12上单调递减;当x>12时,f'(x)>0,函数f(x)在区间12,+∞上单调递增.因为函数f(x)在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<12<k+1,解得-12<k<又k-1≥0,所以1≤k<32.故选C12.C设g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2,存在x∈12,2,使得f(x)>xf'(x)成立等价于存在x∈12∵g(x)=f(x)x=lnx+(∴g'(x)=1x+2(x-a)由g'(x)<0得a>x+12∴a>x+12xmin,x∈12,2,又x+12x≥2x·12x=2,当且仅当x=22∴a>2.故选C.13.13,+∞f'(x)=3x2因为f(x)是R内的单调函数,所以f'(x)≥0恒成立或f'(x)≤0恒成立.因为导函数的二次项系数3>0,所以只能有f'(x)≥0恒成立.所以Δ=4-12m≤0,故m≥13经检验,当m=13时,只有一个点使f'(x)=0,符合题意,故实数m的取值范围是114.(-∞,-2)∪(2,+∞)由题意设g(x)=xf(x),则g'(x)=xf'(x)+f(x).∵当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴g(x)是定义在R上的偶函数.又f(2)=0,则g(2)=2f(2)=0,∴不等式xf(x)>0等价于g(x)>0=g(2),∴|x|>2,解得x<-2或x>2,∴不等式xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(2,+∞).15.(-∞,-e-π2]由题意f'(x)=ex(sinx+cosx)-a≥0在(-π即a≤ex(sinx+cosx)在(-π,0)上恒成立,令g(x)=ex(sinx+cosx),x∈(-π,0),则g'(x)=2excosx,易知x∈-π,-π2时,g'(x)<0;x∈-π2,0时,g'(x)>0,故g(x)在-π,-π2上单调递减,在-π2,0上单调递增,故g(x)min=g-π2=-e-π2,故a≤-e16.解函数f(x)=kx-lnx的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-1x当k≤0时,kx-1<0,∴f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.当k>0时,由f'(x)<0,即kx-1解得0<x<1k由f'(x)>0,即kx-1x>0,解得∴当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.综上所述,当k≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当k>0时,f(x)的单调递减区间为0,1k,单调递增区间为1k,+∞.17.(1)(-1,0)∪(0,+∞)(2)-716,0∪(0,+∞)(1)由题知h(x)=lnx-12ax2-2x,x∈(0,+∞),所以h'(x)=1x-ax-2由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,可得当x∈(0,+∞)时,1x-ax-2<0有解,即a>1x设G(x)=1x2−2x(x>0),所以只要a>G(而G(x)=1x-12-1,所以G(x)min=-1.因为a≠0,所以-1<a<0或a>0.(2)由h(x)在[1,4]上单调递减,得当x∈[1,4]时,h'(x)=1x-ax-2≤0恒成立,即a≥1x设H(x)=1x2−2x,x∈[1,4],所以a≥H(x)max,而H(x)=1x-12-1,