2025版新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末复习课导学案新人教A版必修第一册

第一章章末复习课知识网考点聚考点一集合的基本概念1．与集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合中元素具有的属性，即是数集还是点集．(2)看元素是否具有相应的限制条件．(3)依据限制条件确定参数的值或元素的个数时，留意对元素互异性的检验．2．通过对集合基本概念的理解和应用，提升学生的数学抽象、数学运算素养．例1(1)已知集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}，则M中元素的个数为()A．1B．2C．3D．0(2)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，|x－y|∈A}，则B中所含元素的个数为()A．6B．12C．16D．20跟踪训练1(1)集合{x||x|＝2或x2－5x＋6＝0}中元素的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)已知集合M＝{a，2a－1，2a2－1}，若1∈M，则M中全部元素之和为()A．3B．1C．－3D．－1考点二集合间的关系1．集合与集合间的关系是包含(真包含)和相等关系，推断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并留意代表元素；应用两集合间的关系时留意对细微环节的把握，不要忽视掉特别状况，如已知A⊆B的状况下，不要忽视掉A＝∅的状况．2．通过对集合间的关系的应用，提升学生的逻辑推理、直观想象素养．例2(1)已知集合A满意{1}⊆A{1，2，3，4}，这样的集合A有()个．A．5B．6C．7D．8(2)已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．跟踪训练2设集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．a≥4B．－1≤a≤4C．a<－1D．a≤－1考点三集合的运算1．集合的运算有交(∩)、并(∪)、补(∁U2．通过对集合运算的驾驭，提升直观想象、数学运算素养．例3已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<1}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)若m＝12，求B∩(∁UA(2)若A∪B＝B，求实数m跟踪训练3(1)设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪A．{0，2}B．{0，5}C．{0，2，2，5}D．{0，2，5}(2)已知集合A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠∅A．{a|a<2}B．{a|a≤2}C．{a|a>－3}D．{a|a≤－3}考点四充分条件与必要条件1．充要条件是数学中较为重要的一个概念，在高考中常常有所考查，以数学的其他学问为载体，考查充分条件、必要条件、充要条件的推断或寻求充要条件的成立性．2．通过对充分条件与必要条件的驾驭，提升逻辑推理、数学运算素养．例4已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1，a∈R}，Q＝{x|－2≤x≤5}．(1)若a＝3，求(∁RP)∩Q(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．跟踪训练4设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x<5}，非空集合B＝{x|2≤x≤1＋2a}，其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．考点五全称量词命题与存在量词命题1．解题策略：(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必需对限定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明．要判定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可．(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个x＝x0，使p(x0)成马上可．否则，这一存在量词命题为假．(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查．解决此类问题，肯定要辨清参数，合理选取主元，确定解题思路，利用函数、方程、不等式等学问求解参数的取值范围．解题过程中要留意相关条件的限制．2．通过对全称量词命题与存在量词命题的驾驭，提升学生的逻辑推理、数学运算素养．例5(1)命题“∀x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是()A．∃x≤2，x2＋2x－8≤0B．∀x>2，x2＋2x－8>0C．∃x≤2，x2＋2x－8>0D．∃x>2，x2＋2x－8>0(2)命题“∃x∈R，x<1或x>2”的否定是________________．跟踪训练5(1)命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是______________________．(2)已知命题p：∀x∈R，|x＋3|>0，则¬p是________命题．(填“真”或“假”)章末复习课考点聚焦·分类突破例1解析：(1)集合M＝{(x，y)|x，y∈N*，x＋y≤2}＝{(1，1)}，M中只有1个元素．故选A.(2)B中元素：x＝1，y＝2，3，4，5，即：(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)x＝2，y＝1，3，4，5，即：(2，1)、(2，3)、(2，4)、(2，5)x＝3，y＝1，2，4，5，即：(3，1)、(3，2)、(3，4)、(3，5)x＝4，y＝1，2，3，5，即：(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，5)x＝5，y＝1，2，3，4，即：(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)所以B中元素共有20个．故选D.答案：(1)A(2)D跟踪训练1解析：(1)|x|＝2，解得x＝±2，x2－5x＋6＝0，解得x＝2或x＝3.所以由集合元素的互异性可知集合为{－2，2，3}，元素个数为3.故选C.(2)若a＝1，则2a－1＝1，冲突；若2a－1＝1，则a＝1，冲突，故2a2－1＝1，解得a＝1(舍)或a＝－1，故M＝{－1，－3，1}，元素之和为－3，故选C.答案：(1)C(2)C例2解析：(1)由题得集合A＝{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}．故选C.(2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示，或要使B⊆A，只需a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.所以实数a的取值范围为{a|a<－8或a≥3}．答案：(1)C(2){a|a<－8或a≥3}跟踪训练2解析：因为集合A＝{x|－1≤x≤4}，集合B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－1.故选D.答案：D例3解析：(1)若m＝12，则B＝{x|－12<因为U＝R，A＝{x|0<x<1}，所以∁UA＝{x|x≤0，或x≥1}．所以B∩(∁UA)＝{x|－12<x≤0或1≤x(2)若A∪B＝B，则A⊆B需满意2m+1>m-1m-1≤02m+1跟踪训练3解析：(1)A∩▒B＝{2}，则2∈A，2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，于是有A(2)由集合A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x≤a}，又∵A∩B≠∅，∴a>－3，∴实数a答案：(1)D(2)C例4解析：(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，Q＝{x|－2≤x≤5}，则∁RP＝{x|x<4，或x>7}，(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x(2)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，a＋1>2a＋1，解得a<0；当P是非空集合时，则a≥0a+1≥-解得0≤a≤2，故a的取值范围是{a|a≤2}．跟踪训练4解析：若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A，又集合B为非空集合，故有1+2a≥2，1+2a<5所以a的取值范围{a12例5解析：(1)命题“∀x≤2，x2＋2x－8>0”的否定是：∃x≤2，x2＋2x－8≤0.故选A.(2)“∃x∈R，x<1或x>2”的否定是“∀x∈R，1≤x≤2”．答案：(1)A(