初升高数学暑假衔接（人教版）第28讲 三角恒等变换（教师版）

第28讲三角恒等变换1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行简单的三角函数的化简求值计算；2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；3．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换。一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦：::2、两角和与差的余弦：::3、两角和与差的正切：:.:.注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②公式的变形：；二、二倍角公式1、二倍角的正弦（）：；变形2、二倍角的余弦（）：.3、二倍角的正切（）：三、升（降）幂缩（扩）角公式利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：，降幂公式：，四、积化和差与和差化积公式1、积化和差2、和差化积五、辅助角公式对于形如的式子，可变形如下：=由于上式中和的平方和为1，故令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．六、三角函数给角求值与给值求值问题“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.1、关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．2、常见的配角技巧：，，，等．七、三角函数给值求角问题实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好.考点一：两角和与差的余弦公式例1．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B.【变式训练1】化简的结果为.【答案】/【解析】.故答案为：【变式训练2】的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C考点二：两角和与差的正弦公式例2．的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三角函数公式化简可得，故选：．【变式训练】.【答案】【解析】解析原式.故答案为：考点三：两角和与差的正切公式例3．若，则等于（）A．1B．C．2D．【答案】C【解析】由，可得，所以，故,故选：C【变式训练1】计算.【答案】【解析】.故答案为：【变式训练2】的值为（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，故，即，所以，同理，，，故，故选：B考点四：二倍角公式例4．（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由二倍角的正弦公式可得：.故选：B.【变式训练1】等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，解得解得或，，.故选：A【变式训练2】计算：．【答案】【解析】根据二倍角公式得故答案为：考点五：和差化积与积化和差公式例5．（）A．0B．C．D．【答案】C【解析】,故选：C【变式训练】若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.考点六：辅助角公式例6．的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B.【变式训练1】函数在的最大值是（）A．2B．0C．1D．【答案】C【解析】由已知可得，.因为，所以.又在上单调递减，所以，当，即时，函数取得最大值.故选：C.【变式训练2】对任意角，化为的形式．【答案】【解析】考点七：给值求值例7．已知，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.故答案为：.【变式训练1】已知，，求的值．【答案】.【解析】因为，，所以，即．又，，解得：，，所以，，所以．【变式训练2】设，都为锐角，且，，则等于（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】∵为锐角，，∴，又∵，都为锐角，∴，∴由可得，或，当时，，（为锐角，，舍去）当时，，∴.故选：B.考点八：给值求角例8．设，均为钝角，且，，则的值为.【答案】【解析】∵，，且，，，∴.∵，∴；故答案为：.【变式训练1】已知，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，，故，，故，又，所以，故选：．【变式训练2】已知且则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，且，所以，因为，所以，所以，，所以因为，所以，故选：D考点九：三角恒等变换综合例9．求.【答案】/0.5【解析】故答案为：.【变式训练】化简：．【答案】【解析】因为，所以，原式＝＝，所以原式.1．的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.2．若，为方程的两根，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据韦达定理可得，所以得.故选：A3．已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以故选：B4．（多选）下列各式中值为的是（）．A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C正确；因为，整理得，，故选项D错误；故选：AC.5．（多选）已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】①因为，所以，又，故有，，解出，故A错误；②，由①知：，所以，所以，故B正确；③由①知：，而，所以，又，所以，解得，所以又因为，，所以，有，故C正确；④由，由③知，，两式联立得：，故D错误．故选：BC6．计算所得的结果为．【答案】【解析】原式.故答案为：.7．函数的最小正周期为．【答案】【解析】.所以的最小正周期为.故答案为：8．已知锐角，且满足.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为为锐角，，所以.因为，是锐角，即，，所以，，又因为，所以..（2）由（1）知，，因为是锐角，，所以，由，，所以，，因为，所以.9．从①，②，③，这三个已知条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.问题：已知角是第四象限角，且满足__________.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）若选①，则由题意得，则，又角是第四象限角，所以，于是.若选②，则由题意得，又角是第四象限角，所以，于是.若选③，则由题意得，且为第四象限角，得，所以，于是.（2）由（1）可知，所以.10．已知函数，.（1）求函数的最大值：（2）若，求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知当，即，时，（2）∵当时，递增，即，时，单增区间为，与的交集为；时，单增区间为，与无交集∴函数的递增区间为1．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为.由可得，.当时，，且；当时，所以，.所以，函数在上的单调递增区间是.故选：A.2．已知，，且，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】且，，.又，，.当时，，，，不合题意，舍去；当，同理可求得，符合题意.综上所述：.故选：.3．已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以，由，解得.故选：B4．下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对A，，故A错误；对B，，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D错误；故选：B.5．（多选）下列各式的值为1的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】错误；对；对，D错误.故选：BC.6．．【答案】【解析】由．故答案为：．7．．【答案】【解析】∵，，∴，∴．∴故答案为：8．已