高中数学数列知识点

数列

一、数列定义：

根据肯定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数

列的项。

数列的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应数列中的一

个数，所以

数列的一般形式可以写成，・•・〃〃，•一

简记为｛aj

留意：｛，八｝与〃〃是不同的概念，｛"〃｝表示数列%，〃2，…，

而表示的是数列的第〃项；

数列的特性：(1)有序性；(2)可重复性

二、数列的分类：

项数有限的数列为“有穷数列”，项数无限的数列为“无穷数列”

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；

(4+1)如：1,2,3,4,5,6,7；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；

("〃+1N)如：8,7,6,5,4,3,2,1；

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫

做摇摆数列;

各项相等的数列叫做常数列(“〃+1~an).如：2,2,2,2,2,

2,2

三、数列是特别的函数

数列是定义在正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,•••,〃｝

)上的函

数了(〃)，当自变量从1起先由小到大依次取正整数时，相对应的一列函

数值为/⑴"⑵,…；通常用〃〃代替了(〃)，于是数列的一

般形式常记为，“2，或简记为｛〃〃｝.

四、数列的通项公式

数列的第n项4与项的序数n之间的关系可以用一个公式a.=f(n)来表

示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.如：

an~JI)+1(注：①数列的通项公式不唯一

②可以由通项公式求出数列中的随意一项)

相关练习：P153

递推公式：假如数列｛a,J的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个

式子来表示，则这个公式叫做这个数列的递推公式，如

%=1,an=2an_1+l,(n>1)

(1)Sn=%+“2+...+an-l+an

[S](〃=l)

<2)一场和3〃之间的关系:"〃=[s〃一S〃i(〃22)

练：已知数列｛aj的前n项和S„=n2-48n,

（1）求数列的通项公式；

（2）求出的最大或最小值.

二、等差数列、等比数列：

等差数列等比数列

假如一个数列从第2项起，每一假如一个数列从第2项起，每一项

定义项与它的前一项的差等于同一个与它的前一项的比等于同一个常

常数，这个数列就叫等差数列数，这个数列就叫做等比数列

wN*,〃22)

式子表示au—an_x=闻(〃eN*,〃22)

an-Q]+(〃-l)d

通项公式

。〃=+(〃-m)dan-amlqn~m

S，1-4・夕_可(1-1")

SR-("1+。〃)

An1-

求和公式\-qq

n(n-l)

S„=na+a&WO,q羊1)

n1]2

等差（比）若a,b,c三个数成等差数列,若a,G.b成等比数列,则G叫做a,b

中项则b叫a,c的等差中项，a,b,的等比中项（

c满意b-a=c-b£_2

a~G,即G?=岫，

a,b,c成等差数列的充分必要

ab>0)

条件是b=(a+c)/2.

等差数列等比数列

若m+n=p+q,若m+n=p+q

aa

则Q机+Qq；则M氏=Pq;

在等差数列中，每隔相同的项抽在等比数列中，每隔相同的项抽出

出来的项根据原来依次排列，构来的项根据原来的依次排列，构成

成的新数列仍旧是等差数列的新数列仍旧是等比数列

⑴若数列｛%｝与仅｝均

等差(比)

数列的性为等差数列，则⑴若数列｛%｝与仍“｝均为等比

质数列，则｛加％仇｝仍为等比数列

｛man+kbn｝仍为等差数

｛叫

列1

b,仍为等比数列

(2)设等差数列｛〃"｝的前项的

(2)设等比数列｛〃"｝的前项的和

和为

S,meN*,则

S〃,meN*,则n

CCC…为Sm，^2m-m，^3m-2m，

“根，02m-m903m-2m，

仍是等比数列

仍是等差数列

(1)等差数列的判定方法：

①定义法：“〃+i=d或。〃一〃〃T=d｛n22)(d为常数)

O｛。〃｝是等差数列

②中项公式法：2a〃+i=+a*?<=>｛"〃｝是等差数列

③通项公式法：an=P"4（P，4为常数）O｛"“｝是等差数列

④前n项和公式法：S“=A〃2+3〃（A,8为常数）=｛〃〃｝是

等差数列

（2）等比数列的判定方法：

%+L=q_d（n>2）a

①定义法：a或〃<J4是不为零的常数）

=｛〃〃｝是等比数列

②中项公式法：

为+1=a〃，册+2（。/+4+2W0）O｛凡｝是等比

数列

③通项公式法：an=cq〃（C,4是不为零常数）=｛，〃｝是等比

数列

④前〃项和公式法：S"—kq—k（”=消■是常数）

o｛〃〃｝是等比数列

练习:

i.设为等差数列｛%｝的前〃项和，若S3=3,S6=24,则

lim(l+1+11)=

…3323〃

%_5Sg_

3.设S〃是等差数列｛为｝的前n项和，若〃39，则S$().0

A.2B.2C.-1D.1

5、在数列｛。〃｝中，”i=3,且对随意大于i的正整数〃，点

(向，苑；)在直线北一,一,3二°上，则

lim册二

s(n+1)-3

6、已知数列｛“〃｝是首项"1>1,公比9的等比数列，设

2=log2氏(〃£N*)

且4+2+a=64/3/5=。

⑴求数列｛“〃｝的通项公式；

(2)设｛2｝的前n项和为，当；+：+…+7；最大时，求n的

值.

详解：

(1)据题设q=a-',又a=log?。”=log?。©"'=log?4+("-1)唾2<7

\也｝为等差数列，b、=log,a,>0(4>1)

由4+4+々=6?3b36?b,2由〃鬟2=0?b50\a=4

置=4版…|，=16?卜=:』6等一'2-

黑=2妙4+2隰髓〃=一1.产；航

(2)b“=log2an=logz2""=5-n

S=〃(♦+")="(4+5-〃)="(9-〃)则\=9-_n

"222-'~n2-

〃落生士

记7"+邑+哈匕1+3+量二>2：=」“2+乙

”I2n222244

17

若4最大，当且仅当"=-端1=8.5"矍"\"=8,或9

2冷

7、在数歹I」｛〃〃｝中,

a｝=3,an=2Q“_I+n-2(〃>2,且〃£N*)

(1)求2'3的值；

(2)证明：数列｛"〃+”｝是等比数列，并求｛"〃｝的通.项公式;

(3)求数列｛%｝的刖〃项和S”。

四.(1)解：,・,〃]=3,〃〃=2%_[+〃-2(〃之2,且〃£M)

/.a2—2q+2—2=6.a3=2a2+3—2=13.

(2)证明:

an+n(2Q〃T+〃-2)+〃2anI+2/1-2

%+(〃-1)+〃一1

，数列｛%+〃｝是首项为4+1=4,公比为2的等比数歹U。

a„+n=4-2"-'=2"+',即勺=27-〃，:.｛a„｝的通项公式为

a„=2向—〃(〃eN*)

(3)解：•.•｛〃“｝的通项公式为a“=-eN")

S„=(22+23+24+---2,,+1)-(1+2+3+---+/7)

22x(1-2")nx(n+l),/?2+??+8

=-----------------=2+2--------.

1-222F

真题演练:

(2013)4、设S〃是等差数列的前〃项和，

S=3(%+私)，则失"

5的值为(

四、成等