2025版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性2.1.1不等关系与不等式导学案新人教A版必修第一册

第1课时不等关系与不等式【学习目标】(1)能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(2)初步学会作差法比较两实数的大小．题型1用不等式(组)表示不等关系【问题探究1】生活中，我们常常看到下列标记，你知道它们的意思吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？例1某家电生产企业安排在每周工时不超过40h的状况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：家电名称空调彩电冰箱工时(h)111若每周生产空调x台、彩电y台，试写出满意题意的不等式组．题后师说用不等式(组)表示不等关系的步骤跟踪训练1(1)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满意的关系式是____________．(2)一辆汽车原来每天行驶xkm，假如该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为____________．题型2作差法比较大小【问题探究2】在初中我们学过数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系，详细是如何规定的呢？例2比较下列各组中代数式的大小．(1)2a(a＋2)与(a－1)(a＋3)，其中a>0；(2)2a2＋2b2与(a＋b)2.题后师说用作差法比较两个实数大小的一般步骤跟踪训练2已知x∈R，比较(x2＋1)2与x4＋x2＋1的大小．题型3重要不等式【问题探究3】如图是由在北京召开的第24届国际数学家大会的会标抽象出来的图形，你能比较大正方形ABCD与四个相同的直角三角形的面积之和的大小吗？从中你能得出哪个不等式？它们之间有可能相等吗？假如相等，则应当满意什么条件呢？例3已知a>0，b>0，求证：a3＋b3≥ab2＋a2b.学霸笔记：比较两个数的大小关系，最基本的方法是利用作差法，通过因式分解或配方的方法，把“差”转化成几个因式乘积的形式，通过逻辑推理得到每一个因式的符号，从而判定两个数的大小关系，通过逻辑推理进行证明．跟踪训练3已知a>0，b>0.求证：a2＋3b2≥2b(a＋b)．随堂练习1.铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过72000cm3，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c(单位：cm)，这个规定用数学关系式可表示为()A．a＋b＋c<130且abc<72000B．a＋b＋c>130且abc>72000C．a＋b＋c≤130且abc≤72000D．a＋b＋c≥130且abc≥720002．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满意的关系式是()A．4x＋5y≤200B．4x＋5y<200C．5x＋4y≤200D．5x＋4y<2003．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．与x有关4．若实数a≥b，则a2－ab________ba－b2(填“≥”或“≤”)．课堂小结1.用不等式(组)表示不等关系．2．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法．3．重要不等式∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab的应用．第1课时不等关系与不等式问题探究1提示：①最低限速50km/h，v≥50.②限制质量10t，0<ω≤10.③限制高度3.5m，0<h≤3.5.④限制宽度3m，0<x≤3.⑤时间范围7：30～10：00，7.5≤t≤10.例1解析：由题意，知x≥0，y≥0，每周生产冰箱(120－x－y)台．因为每周所用工时不超过40h，所以12x＋13y＋14(120－x－y)≤40，即3x又每周至少生产冰箱20台，所以120－x－y≥20，即x＋y≤100.所以满意题意的不等式组为3x+y跟踪训练1解析：(1)由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.(2)因为该汽车每天行驶的路程比原来多19km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2200km”可以用不等式8(x＋19)>2200来表示．答案：(1)4.5t<28000(2)8(x＋19)>2200问题探究2提示：设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.例2解析：(1)(2a2＋4a)－(a2＋2a－3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，故2a(a＋2)>(a－1)(a＋3)．(2)2a2＋2b2－(a＋b)2＝2a2＋2b2－a2－2ab－b2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，因为(a－b)2≥0，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2.跟踪训练2解析：(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)＝(x4＋2x2＋1)－(x4＋x2＋1)＝x2.∵x2≥0，∴(x2＋1)2－(x4＋x2＋1)≥0，即(x2＋1)2≥x4＋x2＋1，当且仅当x＝0时取等号．问题探究3提示：正方形的边长为a2+b2.这4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2＋b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2＋b当直角三角形变为等腰直角三角形，即a＝b时，正方形EFGH缩为一点，这时有a2＋b2＝2ab.于是就有a2＋b2≥2ab.证明a2＋b2－2ab＝(a－b)2.因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2－2ab≥0.因此，由两个实数大小比较的基本领实，得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．例3证明：因为a3＋b3－(ab2＋a2b)＝a3＋b3－ab2－a2b＝a3－ab2＋b3－a2b＝a(a2－b2)＋b(b2－a2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a＋b)(a－b)2，因为a>0，b>0，所以(a＋b)(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a3＋b3－(ab2＋a2b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.跟踪训练3证明：因为a2＋3b2－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋3b2≥2b(a＋b)．[随堂练习]1．解析：由长、宽、高之和不超过130cm得a＋b＋c≤130，由体积不超过72000cm3得abc≤72000.故选C.答案：C2．解析：由题意，可得400x