河南省部分重点中学2024-2025学年高三数学下学期2月开学联考文科试题含解析

河南省部分重点中学2024-2025学年高三数学下学期2月开学联考文科试题考生留意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本试卷主要命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则的真子集个数为A.3 B.4 C.7 D.82.若复数满意（是虚数单位），则等于A. B. C. D.3.《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步.问为田几何?答曰：一亩.”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步.问这块田的面积是多少?答：一亩.”假如百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有A.12顷 B.13顷 C.14顷 D.16顷4.函数在区间上的最大值为A.1 B. C. D.5.在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程有2个不相等的实数根的概率为A. B. C. D.6.若点F是抛物线C：的焦点，点A，B分别是抛物线C上位于第一、四象限的点，且轴，，则点B的坐标为A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.已知函数的图象关于直线对称，则函数的最大值为A.1 B. C.2 D.9.已知平面对量，满意，，的夹角为，若，则的最小值为A. B. C. D.10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为A.4 B. C. D.611.已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为10，过双曲线中心的直线与双曲线交于M，N两点，在双曲线上取一点P（异于M，N），直线PM，PN的斜率分别为，，则等于A. B. C. D.12.已知直线与圆相切，若函数，满意，对于随意的恒成立，则实数的取值范围为A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数，满意约束条件则的最小值为__________.14.已知倾斜角为的直线与直线垂直，则__________.15.已知四棱锥的顶点都在半径为3的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD经过球心O，E是AB的中点，底面ABCD，则该四棱锥的体积等于___________.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则__________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知等比数列的各项均为正数，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求.18.（12分）某地区为了调查年龄区间在岁的居民的上网时间，从该地区抽取了名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若用分层抽样的方法进一步从被调查的名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在以及年龄在的居民分别有多少人?（2）在中抽取4人，中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查阅读新闻的时间，求两人年龄都在上的概率.19.（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是和的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.20.（12分）已知椭圆：的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于A，B两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值.21.（12分）已知函数，.（1）若，求函数的图象在处的切线方程；（2）若对随意的，恒成立，求的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.假如多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）求曲线与曲线的交点的极坐标.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.高三文科数学参考答案、提示及评分细则1.A所以，从而的真子集个数为个.2.C由得，3.A依题可得该田有顷.4.B，当时，，所以在区间单调递减，最大值为.5.D取为，，，，，，，，，，，共12种，其中使有2个不等实根，即，的有8个，所以.6.A由题知，故，，所以，所以.7.A8.C由，可得，所以，所以的最大值为2.9.C由题意，不妨设，，，，又，C在以B为圆心，1为半径的圆上.所以的最小值为.10.D该四棱锥如图所示，视察可知，最长的棱是，长为.11.B双曲线C的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为10，所以，又，所以，，故双曲线的方程为.设点，则依据对称性可知，点，，，所以，且，，两式相减可得.12.B直线与圆相切，则，，因为所以为奇函数.且在上为单调递增函数，，所以，，令（当且仅当时取等号），可得，所以.13.-6约束条件，所表示的平面区域如图阴影部分所示，则当，时，取得最小值为-6.14.5直线的斜率为，则.则.15.连结OP，OE，则，，所以，，.16.由正弦定理及，得①.再由正弦定理及，得，则②.将①代入②得，化简得，两边同除以得解得或（舍）.17.解：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，解得或（舍去），所以a.（2）因为，所以.18.解：（1）依题意，各组的比例为1：7：6：4：2，故抽取的60名居民中，年龄在的人数为；年龄在的人数为.（2）记在中的4个人分别为，，，，在中的2个人分别为，，则从6人中抽取2人，全部的状况为，，，，，，，，，，，，，，共15种；其中满意条件的有，，，，，共有6种；故所求概率为是.19.解：（1）连接，因为，，所以.因为是的中点，所以.因为，是的中点，所以.因为，且平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）因为，所以平面，所以，，设G为BC的中点，因为，所以，由条件知，，所以，所以，所以.20.解：（1）由椭圆的离心率为，且过点得椭圆的方程为（2）当直线的斜率不存在时，，则；当直线斜率存在且不等于零时，设直线：，联立可得，设，，则，，，，明显，在轴两侧，，异号，所以，当且仅当，时，取等号.所以的最大值为.21.解：（1）时，，，所以，，所以函数的图象在处的切线方程为，即（2），则.又令，则，所以在上单调递增，且.①当时，恒成立，即函数在上单调递增，从而必需满意，解得，又，所以.②当时，则存在，使且时，，即，即单调递减；时，，即，即单调递增.所以，又，从而，解得.由.令，，则，所以在上单调递减，则，