专题07 平方差与完全平方公式压轴题的四种考法（原卷版）-2024年常考压轴题攻略（8年级上册人教版）

专题07平方差与完全平方公式压轴题的四种考法类型一、平方差公式逆运算例1．计算：．例2．计算：=．【变式训练1】计算：．【变式训练2】．若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是．【变式训练3】阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：【观察】①；②；③；……(1)【归纳】由此可得：________；(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：_______；(3)计算：______；(4)若，求的值．类型二、完全平方公式（换元法）例．设，，．若，则的值是()A．5 B．6 C．7 D．8【变式训练1】已知，则．【变式训练2】已知，求．【变式训练3】阅读理解：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值．解：∵a+b＝﹣4，∴＝．即+＝16．∵＝3，∴+＝10．参考上述过程解答：（1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值；（2）若，＝﹣12，求式子的值．类型三、完全平方公式变形例．已知，且，则等于（

）A． B． C． D．例2．已知求．【变式训练1】．已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为．【变式训练2】已知，则的值为；的值为．【变式训练3】．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝．类型四、完全平方公式与几何综合例．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．（1）用含a、b的代数式分别表示、；（2）若，，求的值；（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．【变式训练1】若x满足，求的值．解：设，，则，，∴请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足，求的值；(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且，，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．【变式训练2】如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．(1)图中正方形阴影部分的面积为；(2)请你用两种不同的方法分别求图中阴影部分的面积，可以得到等式是；(3)若，，则=；(4)若，，求的值．【变式训练3】【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图2可得等式：；由图3可得等式：；(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则；(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．①请画出拼出后的长方形；②；(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为．课后训练1．设，，．若，则的值是（

）A．16 B．12 C．8 D．42．已知，则等于（

）A． B． C． D．3．若，满足，则的值为．4．已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是．5．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；(2)利用（1）中的结论，若，，求的值；(3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．6．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题：(1)直接应用：若，，直接写出的值为___________；(2)类比应用：填空：①若，则___________；②若，则___________；(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．

7．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于．(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系．(3)运用你所得到的公式，计算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．8．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于______（2）观察图2你能写出下列三个代数式(m+n)2，(m-n)2，mn之间的等量关系_____（3）运用你所得到的公式，计算若mn=-2，m-n=4，求①(m+n)2的值．②m4+n4的值．（4）用完