2023届河南省TOP二十高三9月摸底考试数学理试题

2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试

高三理科数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.设集合4=卜用22},8={1,2,4,5},则3C6RA=（）.

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,4}D.{4,5}

2.已知复数z满足（z-i）Q+i）=l,则|z—i|=（）.

A.1B.2C.V5D.2A/2

3.已知向量2,B满足同=忖=1,（2a-b）lb,则方与5的夹角为（）.

71Tt一无2兀

A.—B.-C.—D.—

6323

4.中国公民身份号码编排规定，女性公民的顺序码为偶数，男性为奇数，反映了性别与数字之间的联系；数

字简谱以1,2,3,4,5,6,7代表音阶中的7个基本音阶，反映了音乐与数字之间的联系，同样我们可以对

几何图形赋予新的含义，使几何图形与数字之间建立联系.如图1,我们规定1个正方形对应1个三角形和1

个正方形，1个三角形对应1个正方形，在图2中，第1行有1个正方形和1个三角形，第2行有2个正方形

和1个三角形，则在第9行中的正方形的个数为（）.

八…第1行

I

■…第2行

图1图2

A.53B.55C.57D.59

5.已知抛物线C：V=4x的焦点为产，准线为/,与x轴平行的直线与/和C分别交于A,B两点，且若

网=网,则|的=（）.

A.2B.2>/2C.2百D.4

6.已知等比数列{4}的公比q>0,前〃项和为S“，3a,-S3=60,a2-a4=18,则为=（）.

A.2B.3C.6D.10

7.在正方体ABC。—4用£A中，P,。分别为AB,CD的中点，则（）.

A.AB1〃平面BGQB.平面〃平面BC|Q

c.4Qj_平面qopD.平面4CD_L平面4。尸

3

8.执行如图所示的程序框图，输出的。的值为士，则输入的f的值可以为().

7

9.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，AB,CD分别为上、下底面圆的直径，ABLCD,则直线AC与

8。所成角的余弦值为().

1V21V2

A.-B.---C.-D.---

4433

10.已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,若"1—2x)为奇函数，g(l+2x)为偶函数，则().

A.|/(x)|+g(x)的图象关于直线x=l对称

B.y(x)+|g(x)|的图象关于直线x=l对称

C.|/(x)|-g(x)的图象关于点(1,0)对称

D.”x)—|g(x)|的图象关于点(1,0)对称

II.将10个不同的数字分成4组，第1组1个数，第2组2个数，第3组3个数，第4组4个数，记项是第

i组中最大的数(i=l,2,3,4),则司<马<七<尤4的概率为()•

24-24

A.—B.—C.-D.一

151599

12.若过点(a”)(a<0)可以作曲线y=三的三条切线，则().

A.—hebVQ<0B.0<Z?<—aea

C.4--h<ae2<0D.0<be2<4-a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(1一2月(1+2月4的展开式中Y的系数为(用数字作答).

14.曲线/（%）=sm1+cosK的一个对称中心为（答案不唯一）.

sinx-cosx

15.已知双曲线C：5■-斗=1（。＞0力＞0）的右焦点为F,尸为C右支上一点，OP与x轴切于点F,与y

轴交于A,B两点，若△AP8为直角三角形，则C的离心率为.

16.玩具厂家设计一款儿童益智玩具，玩具主体是由一矩形托盘和放置在托盘中的L形木块构成.L形木块的

水平截面如图1所示，矩形托盘中间有一隔断，隔断的宽为m隔断上有一开口，开口的长为人,水平截面如

图2所示.若木块可以按照图2所示的方式紧贴托盘底部旋转穿过隔断，则28-。的最小值为

图1图2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生

都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分

17.（本小题满分12分）

.,nsinC-sinB

△AABC中，tanA-tanB=------------.

cosAcosB

(1)求A；

（2）若BC=2,△ABC的面积为*3,求A8+AC.

2

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，94,底面ABC。，AD//BC,ZADC^60°,

AP=AD=23C=2,E为棱CP上一点.

（1）证明：平面ABEL平面AOP：

（2）若AE=BE,求平面A8E与平面CQP所成二面角的平面角的正弦值.

19.（本小题满分12分）

检测新型冠状病毒特异序列的方法最常见的是荧光定量PCR（聚合酶链式反应）.在PCR反应体系中，如反

应体系存在靶序列，PCR反应时探针与模板结合，DNA聚合酶沿模板利用酶的外切酶活性将探针酶切降解,

报告基团与淬灭基团分离，发出荧光.荧光定量PCR仪是病毒检测过程中的核心设备，能够监测出荧光到达

预先设定阈值的循环数（Ct值）与病毒核酸浓度有关，病毒核酸浓度越高，Ct值越小.某第三方核酸检测机

构先后采用过甲、乙两家公司的荧光定量PCR仪，日核酸检测量分别为60（）管和1000管，现两家公司分别推

出升级方案，受各种因素影响，升级后核酸检测量变化情况与相应概率p如下表所示：

甲公司：

日核酸检测量增加200%增加50%降低10%

311

n———

4126

乙公司:

日核酸检测量增加80%增加50%增加10%

]_

P

244

（1）求至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%的概率；

（2）以日核酸检测量为依据，该检测机构应选哪家公司的仪器？

20.（本小题满分12分）

22

己知椭圆C:£+表•=l（a>6>0）的左、右顶点分别为A,B,左焦点为凡|AF|=1,忸目=3.

（1）求C的方程；

（2）设M,N是C上在x轴两侧的两点，直线AM与交于点P,若尸的横坐标为4,求△■RMN的周长.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（X）=x（x-lnx-l）.

（1）讨论的零点个数;

⑵若4（力4，7一%,求〃的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

X=2H—t

2

在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《厂（，为参数）.以坐标原点为极点，X轴非负半轴为极

轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2=看许命（/〃>0）.

（1）写出C的直角坐标方程；

（2）/与。交于4,B两点，与x轴交于点P,若|%|=2归可，求江

23.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

己知。，6都是正数，且、石+〃=2,证明：

(1)a+b>2；

11

(2)~?-----—?—>1.

a-+1b'+\

2022-2023学年高三年级TOP二十名校九月摸底考试

高三理科数学参考答案

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】C

■.【答案】A

11.【答案】A

12.【答案】D

13.【答案】—16

14.【答案】（答案不唯一）

__\/2+V6

15.【答案】-----

2

16.【答案】4>/2

17.【答案】见解析

【解析】(1)由tanA-tan5=sinCsinB

cosAcosB

一/口sinAsin3sinC-sinB

可得------------=------------，

cosAcosBcosAcosB

整理得sinAcosB-cosAsinB=sinC-sinB.

则sinAcosB-cosAsinB=sin(A+B)-sinB,

即sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB-sinB,

故sin5=2cosAsinB.

由sin8w0,故cosA=',

2

又Ae(O,兀)，所以A=1.

(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为“，h,c,

因为A=P,所以△4BC的面积S='bcsinA=^bc=走，

3242

所以历=2.

因为BC-a=2,由余弦定理"-b2+c2-2hccosA,

得Z?2+c2-bc=[b+c^-3bc=4,

所以A5+AC=b+c=VHi.

18.【答案】见解析

【解析】(1)由题意可知AB_LAZ>,

因为24_L底面ABC。，ABu平面A8CQ,所以ABJ_AP,

又APcAD=A,所以ABJ_平面AOP,

又A6u平面ABE,所以平面AB£_L平面AOP.

(2)由题意可知△ACD为等边三角形，且AB=G.

连接AC,作砂J_AC于尸，连接8尺

则有所〃AP,且£FJ_平面A8CZ),

因为AE=BE,所以瓶=8产，

所以AF=C尸，故E为CP的中点.

以A为坐标原点，AB,AD,•户的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则4（（）,0,0）,B（V3,0,0）,C（73,l,0）,£）（0,2,0）,E冬;,1,P（0,0,2）.

设平面ABE的一个法向量居=（jq,y,zJ,

AB=（V3,0,0）,AE=,,1，

22

7

y/3x=0

ABn,=0t

则《即Gi，可取％=（0,2,—1）.

AE-^=0彳玉+万弘+4=0

设平面€7）户的一个法向量为=（9,必,Z2），定=（6,1,一2）,而=（0,2,—2）,

则［£为=。，即产巧+%-2Z2=O,可（1,疯⑹

PD•而2=。12y2-2Z2=0'7

mil/__\2百—67105所旷.缶.口力1（Ji而丫4770

则COS〈％,〃）〉=1=——L=-------，即所求角的正弦=11一------=-----•

''75x7735VI35I35

平面4BE与平面CDP所成二面角的平面角的正弦值为士叵.

35

19.【答案】见解析

【解析】（D记事件A为“甲公司的方案使日核酸检测量增加不低于50%”,

事件B为“乙公司的方案使日核酸检测量增加不低于50%”，

事件C为“至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%”

则C=A与DXBDAB,且A,B相互独立.

315113

由题意可知尸（A）=二十—=—，P（B）=-+-=-

v74126,，244

23

P（C）=P（A^）+P（Z6）+P（A8）=

24

故至少有一家公司的升级方案使得日核酸检测量增加不低于50%的概率为一.

24

（2）设采用甲公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为X,采用乙公司的仪器和改造方案后日核酸检测量为

Y,

随机变量X的分布列为:

X1800900540

31

P

4126

311

则E（x）==1800x-+900x—+540x-=1515.

4126

随机变量丫的分布列为:

Y180015001100

_1__1__l_

P

244

«（y）=1800xl+1500xl+1100xl=1550.

故E（X）＜E（y）,应该选择乙公司的仪器.

20.【答案】见解析

【解析】（1）设椭圆C的半焦距为。

i|AF|=l,\BF\=3,可得。一。=1,a+c=3.

则a=2,c=l,k=片一02=3,所以C的方程为'+二=1.

43

（2）由C的方程可知A（-2,0）,3（2,0）,设尸（4,r）,M包,yj,N（x2,y2）,

则直线AM的方程为y=-（x+2）,直线BN的方程为y=-（x-2）,

62

>=：（x+2）

由，22，得（27+*卜2+-+4*-108=0,

----F--=1

43

4=16/一4（27+/）（4/一108）>0,

4『—10854-2r2

所以（一2）时则玉

27+/27+产

’54-2产‘2/一64、

所以M,同理可得N

、27+727+*）、3+t2'3+/，

AZ.-x-rr,6/6t[2/一6、

所以直线MN的方程为y+打y=一[x-至二二J,

即丁=一詈3%+詈3=一詈3（》—1）,故直线MN恒过右焦点F'（l,0）.

则有ARWN的周长L=+1NF|+|M?V|=眼目+1+|NF|+|NF[=4a=8,

所以△EWN的周长为8.

21.【答案】见解析

【解析】（1）设尸（x）=x-lnx-l,

V尸（力的定义域为（0,+8）,可知“X）与尸（X）的零点相同.

1r_1

r（x）=i--=—,当X«0,l）时,尸（力＜0,尸（%）单调递减,

XX

当X«l,+8）时，r（x）＞o,尸（X）单调递增，

当X=1时尸（X）取得最小值，且尸⑴=0,则尸（X）有且只有1个零点,

故”另有且只有1个零点.

(2)方法一：由得gJ-尤一依(x-lnx-l)20,

X—1X—1

由龙〉0,得-----l-tz(x-lnx-l)>0,设g(x)=-----l-tz(x-lnx-l),

则g(l)=0,g《)=e『)_。.？=*(-—词.

设G(x)=e'T-x(x>0),G'(x)=ex-'-\,

当xe(O,l)时，G'(x)<0,G(x)单调递减，

当xe(l,+8)时，G(x)>0,G(x)单调递增，则G(x)NG⑴=0,

当4<1时，因为X£(0,-Kc),所以-0x2/7-xNO.

所以xe(O,l)时，g'(x)=?(exT_ar)<0,g(x)单调递减，

xe(l,+oo)时，8'(%)=上」卜1_如)>0,g(x)单调递增，

故g(x)在(0,+oo)上的最小值为g⑴=0,即4(x)(e、T-x恒成立，

当时，设〃(X)=/T—依(尤>0),则/z(l)=l-a<0,

令/2‘(X)=/T—。=0,Wx=1+In6/,由知x=l+kiQ>l.

当X£(l,l+lna)时,//(%)<0,〃(%)单调递减，・,力(尤)<耳1)<0.

故x£(l[+lna)时，g'(x)=±J(ei<or)<0,g(x)单调递减，

而g⑴=0,即％«U+lna)时,g(x)<0,故不成立.

综上，4的取值范围为(—8,1].

(2)方法二：ar(x-lnx-l)<eA-1-%

x]nxy

<=>tz(x-lnx-l)<----1=e--_J

号t=x—Inx—1,/'=1—.

x

则光w(0,l)时，f=x-lnx-l递减；尢£(1,十8)时，r=x-lnx-l递增.

则of(x)<e'T—X。"W--1对于出0