2025版高考数学一轮总复习专题检测9.4抛物线及其性质

.4抛物线及其性质一、选择题1.(2024届广东茂名11月测试,2)抛物线x=43y2的焦点坐标为(A.13,0B.0,13C.答案C由x=43y2得y2=34x,∴2p=34,p2=316,∴焦点坐标为2.(2024山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线的距离为()A.14B.12C.1答案B因为点(1,1)在抛物线C上,所以1=2p,解得p=12,故C的焦点到其准线的距离为12,故选3.(2024届北京八中10月月考,4)已知抛物线y2=8x上一点A(点A在第一象限)到焦点的距离为8,则点A的纵坐标为()A.24B.6C.4D.43答案D设点Ay28,y,其中y>0,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,由抛物线的定义可得又∵y>0,∴y=43.故选D.4.(2024届贵阳摸底,4)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A(t,1)在C上且满意|AF|=2,则p=()A.18B.14C.1答案D由抛物线C:x2=2py(p>0),得焦点F0,p2,由已知得t2=2p×1,t2+5.(2024豫北名校联考,4)若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为10,则点P的坐标为()A.(8,8)B.(8,-8)C.(8,±8)D.(-8,±8)答案C设P(x0,y0),因为点P到准线x=-2的距离等于它到焦点的距离10,所以x0+2=10,解得x0=8,又知点P在抛物线上,所以y0=±8,所以点P的坐标为(8,±8).故选C.6.(2024江西赣州模拟,6)若直线AB与抛物线y2=4x交于A,B两点,且AB⊥x轴,|AB|=42,则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A.1B.2C.3D.5答案A由|AB|=42及AB⊥x轴,可设点A的纵坐标为22,将y=22代入y2=4x得x=2,故点A的横坐标为2,从而直线AB的方程为x=2,又抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB的距离为2-1=1.故选A.7.(2024届广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则|BF||A.14B.13C.12答案B由题意可知抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线为直线x=-1,过A,B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M,N,则有|BF|=|BN|,|AF|=|AM|,因为|BC|=2|BF|,所以|BC|=2|BN|,所以|BC||CF|=23所以|BN|=|BF|=43,|BC|=83,所以|CF|=4,因为p|AM|=|CF||CA|,所以2|AM|=|CF||CF|+|AF8.(2024届吉林顶级名校月考(一),8)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离为6,若点P为抛物线C的准线上的动点,则PO+PA的最小值为()A.4B.43C.46D.63答案C抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,∵AF=6,∴点A到准线的距离为6,即点A的横坐标为4,不妨设点A在第一象限,则点A的坐标为(4,42),设坐标原点O关于准线的对称点为B,则点B的坐标为(-4,0),PO=PB,∴PO+PA的最小值为AB=(4+4)2+(42)29.(2024届广东深圳七中月考,8)过抛物线C:y2=4x的焦点作倾斜角为34π的直线l交C于A、B两点,以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点,则圆M的面积为(A.96πB.48πC.32πD.16π答案B设抛物线的焦点为F.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2,∵直线l过点F且倾斜角为34π,∴直线l的方程为y=-x+1,联立y=-x+1,y2∴x1+x2=6,x1x2=1,则y1+y2=-(x1+x2)+2=-4,设线段AB的中点为D,∴Dx1+x22,y1+y22,即D(3,-2),由题意知MD⊥AB,∴直线MD的斜率为1,∴直线MD的方程为y+2=x-3,即y=x-5,令x=-1,解得y=-6,即M(-1,-6).解方程x2-6x+1=0可得x1=3-22,x2=3+22,则A(3-22,22-2),∴圆M的半径r=|MA|=(3-210.(2024届北京入学定位考试,9)直线y=2x与抛物线W:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若|AB|=5,则A,B两点到抛物线W的准线的距离之和为()A.1B.2C.3D.4答案C设A(x1,y1),B(x2,y2),由y2=2px,y=2x得2x2-px=0,从而x1+x2=p2=(1+=(1+22)p22-4×0=5,得p24=1,因为p>0,所以p=2,所以x1+x2=p2=1,则A,B两点到抛物线W的准线的距离之和为(x1+p2)+(x11.(2024届广西联考(二),9)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为A,若直线AF的斜率为-3,|PF|=4,则抛物线的方程为()A.y2=4xB.y2=43xC.y2=8xD.y2=83x答案A如图,设l与x轴的交点为K.∵直线AF的斜率为-3,∴∠AFK=60°,又PA⊥l,∴∠PAF=60°,又由抛物线的定义知|PF|=|PA|=4,∴△PAF为等边三角形,∴|AF|=4,∴在Rt△AKF中,|KF|=2,∴p=2,∴抛物线方程为y2=4x.故选A.12.(2024届成都零诊,12)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B,设C(2p,0),AF与BC相交于点D,若|CF|=|AF|,且△ACD的面积为22,则点F到准线l的距离是()A.2B.3C.423答案D易知Fp2,0,准线l:x=-p2,设A(x0,y0),由抛物线的定义可知|AF|=|AB|,因为|CF|=|AF|,且C(2p,0),所以|AB|=x0+p2=|CF|=32p,即x0=p,不妨设点A在第一象限,则y0=2p.连接BF,因为AB∥FC且|AB|=|FC|,所以四边形ABFC为平行四边形,所以D是AF的中点,所以S△ACD=12S△AFC=12×12|FC|×|y0|=12×12×32p×2p=22,解得p=433二、填空题13.(2024届河南六市10月联考,15)已知点P是抛物线y=14x2上的一个动点,则点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值为答案3解析抛物线y=14x2即x2=4y的焦点坐标为(0,1),准线方程为y+1=0.易知直线l2即为抛物线的准线.由抛物线的定义,可知抛物线上的点P到直线l1:4x-3y-12=0和l2:y+1=0的距离之和的最小值,可转化为焦点(0,1)到直线l1:4x-3y-12=0的距离,所以点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为|0-3-12|14.(2024西城二模,13)对于抛物线C,给出下列三个条件:①对称轴为y轴;②过点(1,1);③焦点到准线的距离为2.写出符合其中两个条件的一个抛物线C的标准方程:.

答案x2=4y,x2=-4y,x2=y(以上答案任选一个即可)解析选条件①②时,设抛物线方程为x2=2py(p>0),因为抛物线过点(1,1),所以2p=1,即p=12,因而抛物线方程为x2=y;选条件①③时,p=2,因而抛物线方程为x2=±4y;选条件②③时,p=2,且过第一象限的点的抛物线方程为y2=4x或x2=4y,由于抛物线y2=4x与x2=4y都不过点(1,1),因而不存在满意条件②③的抛物线.综上,抛物线C的标准方程为x2=y或x2=4y或x215.(2024届广东深圳试验学校、长沙市一中联考,13)抛物线y=ax2(a>0)上的点Mm,12到其准线l的距离为1,则a答案1解析由题意可得抛物线的准线l的方程为y=-14a,又点Mm,12到准线l的距离为1,所以12+16.(2024届四省八校期中,14)过点M(-1,2)作抛物线y2=4x的两条切线,切点分别为A、B,则线段AB的中点到抛物线准线的距离为.

答案4解析设两条切线分别为l1,l2,对应切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),依据题意可求得直线l1的方程为y1y=2(x1+x),又直线l1过点M,故2y1=2(x1-1),即y1=x1-1,同理可得y2=x2-1,故直线AB的方程为y=x-1,且过抛物线的焦点(1,0),联立y2=4x,y=x-1,消去y得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,故|AB|=x1+x2+2=8,由抛物线定义和梯形中位线定理可得三、解答题17.(2024届甘肃顶级名校月考(一),21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点(2,t)到焦点F的距离为4.(1)求抛物线C的方程;(2)设纵截距为1的直线l与抛物线C交于A,B两个不同的点,若FA·FB=4,求直线l的方程.解析(1)由题设知,抛物线的准线方程为x=-p2由C上的点(2,t)到焦点F的距离为4,得2+p2=4,解得所以抛物线C的标准方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),明显直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=kx+1,联立y=kx+1,y2=8x,消去由Δ>0得(2k-8)2-4k2>0,即k<2.所以x1+x2=-2k-8k2①,x1x又因为FA·FB=4,F(2,0),所以FA·FB=(x1-2)(x2-2)+y1y2=4,所以x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=4,将①②代入整理得4k-5=0,解得k=54,满意所以直线l的方程为5x-4y+4=0.18.(2024届北京市中关村中学开学测试,20)已知抛物线G:y2=2px,其中p>0.点M(2,0)在G的焦点F的右侧,且点M到G的准线的距离是点M与点F距离的3倍.经过点M的直线与抛物线G交于不同的两点A,B,直线OA与直线x=-2交于点P,经过点B且与直线OA垂直的直线l交x轴于点Q.(1)求抛物线的方程和F的坐标;(2)推断直线PQ与直线AB的位置关系,并说明理由.解析(1)抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,焦点坐标为Fp2,0,所以有2+p2=3所以抛物线方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).(2)PQ∥AB.理由:①当直线AB的斜率不存在时,依据对称性,不妨令A(2,-22),B(2,22),所以直线AO的方程为y=-2x,则P(-2,22),所以直线BQ的方程为y-22=22(x-2),即y=22x+令y=0,得x=-2,即Q(-2,0),故直线PQ的斜率不存在,因此PQ∥AB.②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-2),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y2=4x,y=k(x-2),消去y得所以x1+x2=4k2+4k2,x1x2=4,所以y因为y1y2<0,所以y1y2=-8.直线OA的方程为y=y1令x=-2,则y=-2y1x1,因为OA⊥BQ,所以kBQ=-x1直线BQ的方程为y-y2=-x1y1令y=0,则x=y1y2x1+x2=y1y所以kPQ=2y1x1-4x1+2综上所述,PQ∥AB.19.(2024届河南许昌一模,20)已知直线y=kx+1过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线的方程;(2)以AB为直径的圆与x轴交于C,D两点,若S△FCD≥2,求k的取值范围.解析(1)由题意可知F0,p∵直线y=kx+1过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,∴p2故抛物线的方程为x2=4y.(2)∵S△FCD=12|CD|·|yF|=12|CD|×1≥2,∴|CD|设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x∴x1+x2=4k,∴y1+y2=2+4k2.∵以AB为直径的圆的圆心为x1+x22,y1+y22∴|CD|=2y1+y22+12-y1+y222=2y1∴k的取值范围为-∞,-12∪20.(2024届陕西百校联盟联考(一),20)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点是原点,以x轴为对称轴,且经过点P(1,-2).(1)求抛物线C的方程;(2)已知直线l:y=-x+m与抛物线C交于A,B两点,在抛物线C上是否存在点Q,使得直线QA