江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期零模模拟数学试卷

2023-2024学年南师附中高三上零模模拟试卷9月4日-7日作业一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知复数的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数的值域为，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.44.函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（）A.B.C.D.5.已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，与轴交于点，点是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A.B.C.D.6.如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A.B.C.D.7.已知函数，若直线与曲线，都相切，则实数（）A.B.C.D.8.已知双曲线的右焦点为，直线与交于两点（点在第一象限），线段的中点为为坐标原点，若，则的两条渐近线的斜率之积为（）A.B.C.D.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）9.教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数，定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差.已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则（）A.B.C.D.10.已知动点到的距离为，记动点的运动轨迹为，则A.直线把分成面积相等的两部分B.直线与没有公共点C.对任意的，直线被截得的弦长都相等D.存在，使得与轴和轴均相切11.已知等比数列满足，公比，且，则（）A.B.当时，最小C.当时，最小D.存在，使得12.已知函数，则（）A.曲线在点处的切线方程为B.曲线的极小值为C.当时，仅有一个整数解D.当时，仅有一个整数解三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置）13.若，则__________.14.某学校团委周末安排甲､乙､丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为__________.15.若对任意的，都有，则实数的取值范围为__________.16.有一张面积为的矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为为圆柱的一条母线（与不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外接球的表面积为__________.三､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､或演算步骤）17.在中，角的对边分别为，已知（1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18.已知数列的前项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数恒成立，求证：.19.随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016-2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入以的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：2.8232.560.465.27.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20.如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面，平面平面，（1）证明：；（2）若，求二面角的正弦值.21.已知椭圆的离心率为，且点在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左､右焦点，过右焦点的直线交椭圆于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.22.已知函数.（1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数.2023-2024学年南师附中高三上零模模拟试卷9月4日-7日作业一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）1.【答案】C.【解析】由，得，由，得，所以2.【答案】D.【解析】，所以，故在第四象限3.【答案】A.【解析】当时，的值域为当时，的值域为，所以，故的最小值为14.【答案】D【解析】由图可知，的一个对称中心是，最小正周期为故的对称中心是，当时，对称中心为，故选D5.【答案】B【解析】由题意可知，，点是线段的三等分点，则代入得，解得，所以，代入得，又，故解得，所以方程为6.【答案】C.【解析】先根据正四棱锥的结构特征找到异面直线与所成的角，然后通过解三角形即可得解.如图，连接交于点，连接，则为的中点，且平面，因为是棱的中点，所以，所以异面直线与所成的角为或其补角，因为平面，所以，又，所以面，又面，所以，设，则由题意得，，所以在中，，即异面直线与所成角的正切值为，故选：C.7.【答案】B【解析】由题意可知，所以，解得，所以，解得，故选B8.【答案】B【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连接，根据双曲线与直线的对称性，知.因为，线段的中点为，所以，且，所以.根据双曲线的定义，知，所以，所以，所以，所以，所以双曲线的两条渐近线的斜率之积为，故选：B.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上）9.【答案】BD【解析】由题意知，解得，故选BD10.【答案】ABC【解析】由题意知，动点的运动轨迹的方程为所以圆心在直线上，故A正确到直线的距离，所以没有公共点，故正确到直线的距离，所以弦长为，故C正确无解，故不存在，所以，D错误11.【答案】AC【解析】，公比，且，所以，故A正确；，所以，故，同理故当时，最小，则B错误，C正确；当时，，所以，故D错误12.【答案】AC【解析】，对于A，所以切线方程为，故A正确；对于B，，解得，当时，递减当时，递增，故时取极小值为，故B错误；对于CD，结合B可知：在上单调递增，在上单调递减.当时，取得极小值为，如图所示由题意可知，，直线恒过，所以，要使仅有一个整数解，只要是的图象在的图象的下方的横坐标为整数且只有一个，当，即时，仅有一个整数解，故C正确，当时，当时，，当时，，当时，无整数解，D不正确.故选：AC.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，请把答案填写在答题卡相应位置）13.【答案】【解析】由题意知：，解得，14.【答案】【解析】由题意知：15.【答案】【解析】对任意的，都有等价于对任意的，都有，作出函数的大致图象，如图中实线所示，由题意可知，函数的图象在函数的图象的上方，①若，显然不符合题意；②若，当直线经过点时，，所以要使的图象在的图象的上方，需；③若，当直线经过点时，，所以要使的图象在的图象的上方，需.综上，实数的取值范围为.故答案为：16.【答案】【解析】设圆柱的高为，底面半径为，则有，因为直线与底面圆所成角的正切值为，所以，解得，连接，则有，所以平面而平面，所以平面平面，过点作于点，则平面，设，则有，所以，当且仅当时取等号，设球心到平面的距离为，球的半径为，则有，解得，所以，故三､解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､或演算步骤）17.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，则有，由正弦定理得：，所以，又因为，故，因为，所以.（2）因为，所以故因为，所以，当且仅当时取得等号，所以18.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）当时，，当时，，满足.所以的通项公式.（2），当时，，所以当时，，满足，所以当且仅当时取等，所以19.【答案】（1）（2）2026年【解析】（1）所以关于的线性回归方程（2），解得，所以，故2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.20.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为平面平面，平面平面，所以，同理，所以（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则设，所以有，解得，则，设平面的法向量为，则有解得，所以同理平面法向量为所以，所以正弦值为21.【答案】（1）（2）【解析】（1）椭圆的离心率为，所以椭圆方程为，将点代入，解得，所以，所以椭圆方程为（2）设点，直线的方程为联立，则有由椭圆定义得的周长为，则有，所以即，整理得，解得所以直线的方程为22.【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1），当时，，所以单调递增所以（2），因为