2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十一章 第六节 二项分布与超几何分布含答案

14版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版第十一章第六节二项分布与超几何分布第六节二项分布与超几何分布【课程标准】1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.2.理解两点分布和超几何分布的意义,并能进行简单的应用.【考情分析】考点考法:二项分布、超几何分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.核心素养:数据分析、数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】一、二项分布1.伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验;将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).(2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).二、超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.【微点拨】超几何分布与二项分布的关系若将超几何分布的概率模型改成:若有N件产品,其中M件是次品,有放回地任意抽取n件,则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的.【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号123,41.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.从4名男演员和3名女演员中选出4人,其中女演员的人数X服从超几何分布B.n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立C.若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X服从二项分布D.二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=p,b=1-p【解析】选ABC.因为二项分布是一个概率分布,是一个用公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中a=1-p,b=p.2.(选择性必修第三册P77练习T2·变条件、变设问)鸡接种一种疫苗后,有90%不会感染某种病毒,如果有5只鸡接种了疫苗,则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为 ()A.0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45【解析】选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X,则X~B5,所以PX=4=C54×0.94×0.1≈03.(“至少”问题理解错误)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ()A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312【解析】选A.3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C32×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C32×0.62×(1-0.6)+0.634.(二项分布应用不准致误)在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题,乙能正确完成每道题的概率为23,且每道题完成与否互不影响,记乙能答对题数为Y,则Y的数学期望为________【解析】由题意Y~B(3,23),所以E(Y)=3×23答案:2【巧记结论·速算】利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检查该概率模型是否满足公式PX=k=Cnk(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.【即时练】1.某人参加一次考试,共有4道试题,至少答对其中3道试题才能合格,若他答每道题的正确率均为0.5,并且答每道题之间相互独立,则他能合格的概率为________.

【解析】4道试题中,答对的试题数X服从二项分布X~B4,12,所以PX≥3=PX=3+PX=4=答案:52.甲、乙两羽毛球运动员要进行三场比赛,且这三场比赛可看作三次伯努利试验,若甲至少取胜一次的概率为6364,则甲恰好取胜一次的概率为________【解析】设每次甲取胜的概率为p,由题意得,甲取胜的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=6364,得p=3则甲取胜恰好发生一次的概率为C31×34×（1-34）答案:9【核心考点·分类突破】考点一n重伯努利试验及其概率[例1](1)(2023·太原质检)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表:使用时间/天10~2021~3031~4041~5051~60个数1040805020若以频率估计概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 ()A.1316 B.2764 C.2532 【解析】选D.由题意可知,该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为34,因此,从该批次机械元件中随机抽取3个,至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P=C32×（34）2×14+C33×(2)若某射手每次射击击中目标的概率均为23,每次射击的结果相互独立,则在他连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为 (A.49 B.827 C.481 【解析】选B.在某射手连续4次射击中,恰好有两次击中目标的概率为C422(3)一袋中装有5个白球,3个红球,则从袋中往外取球,每次取出一个,记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次停止,用X表示取球的次数,则P(X=12)=______________(填表达式).

【解析】一次取球取到红球的概率为38,取到白球的概率为58,前11次取球是11次独立重复试验,“取到红球”的事件发生9次,其概率是C119×(38)9×(58)2.第12次取到红球的概率是38,由相互独立事件同时发生的概率乘法公式,得P(X=12)=C119×(38)9×(58)2×3答案:C119×(58)2×(【解题技法】n重伯努利试验概率求解的策略(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是否相互独立,并且每次试验的结果是否只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率是否都相等,全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解.(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.【对点训练】1.(2023·河南模拟)接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施.根据试验数据,人在接种某种病毒疫苗后,有80%的可能不会感染这种病毒,若有4人接种了这种疫苗,则最多1人被感染的概率为 ()A.512625 B.256625 C.113625 【解析】选A.由题得最多1人被感染的概率为C40 (45)4+C41 (15)2.(2023·保定模拟)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23,他们每次射击是否击中目标互不影响,则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为【解析】事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形,其概率P=C312×(12)2×C30×(13)3+C32×(12)2×12×C31×23×(13)2+C33答案:11【加练备选】(2023·衡水模拟)一个口袋内有nn>3个大小相同的球,其中3个红球和n-3个白球,已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N,若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球),在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827,则【解析】因为4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827,所以C42p21-p2>827,所以p21-p2>所以13<p<23,所以2<6p<4,又因为6p∈N,所以6p=3,所以p=12.又因为从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p=12,所以3n=答案:6考点二二项分布[例2](1)已知随机变量ξ~B(12,p),且E(2ξ-3)=5,则D(3ξ)等于 ()A.83 B.8 C.12 D.【解析】选D.因为E(2ξ-3)=2E(ξ)-3=2×12p-3=5,所以p=13故D(3ξ)=32D(ξ)=9×12×13×(1-13(2)(2023·武汉重点中学联考)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是23①求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;②若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值.【解析】①依题意知,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A,则有P(A)=C32(23)2(1-23)+②由①可知X~B(3,23),则P(X=0)=C30(1-23)P(X=1)=C31·23·(1-23)P(X=2)=C32·(23)2·(1-2P(X=3)=C33·(23)3=8X0123P1248所以均值E(X)=0×127+1×29+2×49+3×【解题技法】判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生.【对点训练】1.(2023·海口模拟)某班50名学生通过安全教育平台进行学习交流,为了方便师生互动,直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口,大窗口始终显示老师讲课的画面,5个小窗口显示5名不同学生的画面.小窗口每5分钟切换一次,即再次从全班随机选择5名学生的画面显示,且每次切换相互独立.若一节课40分钟,则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的均值是 ()A.10分钟 B.5分钟C.4分钟 D.2分钟【解析】选C.每5分钟算作一轮,每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为550=110,设他在直播屏幕上出现的轮次为X,根据题意得,X~B(8,110),E(X)=8×110=0.8,设甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间为Y(单位:分钟),则E(Y)=E(5X2.(2023·海南模拟)青花釉里红,是我国珍贵的品种之一.釉里红的烧制工艺难度较大,因此烧制成功率较低.假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类,从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中,有放回地抽取两次,每次随机抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为99100.记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为(1)求p的值;(2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p,且每件瓷器的烧制相互独立,这种瓷器成品每件利润为10万元,废品的利润为0元.现他烧制3件这种瓷器,设这3件瓷器的总利润为X万元,求X的分布列及数学期望.【解析】(1)设A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”,A1表示事件“取出的2件瓷器中无成品”,A2表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”,则P(A)=P(A1)+P(A2)=(1-p)2+C21p(1-p)=1-p2=99100,解得p(2)设这3件瓷器中成品的件数为Y.由题可知Y~B(3,110).因为X=10Y所以P(X=0)=P(Y=0)=C30(110)0(9P(X=10)=P(Y=1)=C31(110)1(9P(X=20)=P(Y=2)=C32(110)2(910)1=271000,P(X=30)=P(Y=3)=C所以X的分布列为X0102030P729243271所以E(X)=0×7291000+10×2431000【加练备选】(2023·福州联考)福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品,属于福州三宝之一,纸伞的制作工序大致分为三步:第一步削伞架,第二步裱伞面,第三步绘花刷油.一个优秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技术要求,已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为34,45,2(1)求该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率;(2)若该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,求X的概率分布列及期望.【解析】(1)由题意可知,制作一件优秀作品的概率为34×45×23所以该工艺师进行3次制作,恰有一件优秀作品的概率P=C31(25)(3(2)该工艺师制作4次,其中优秀作品数为X,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,由题意可知,X~B(4,25P(X=0)=C40(35P(X=1)=C41(25)(3P(X=2)=C42(25)2(3P(X=3)=C43(25)3P(X=4)=C44(25)4=16X01234P812162169616E(X)=4×25=8考点三超几何分布[例3](2023·天津模拟)某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.【解析】(1)从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教,基本事件总数n=C10设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,事件A包含的基本事件个数m=C31C则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)=C31C(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3,P(X=0)=C40C63C103=16P(X=2)=C42C61C103=310所以随机变量X的分布列为X0123P1131E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1【解题技法】1.超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题.(2)随机变量为抽到的某类个体的个数.2.超几何分布的概率计算公式从古典概型的角度加以理解更容易记忆:P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn(k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},3.超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布,其理论基础是古典概型,主要应用于正品与次品,白球与黑球,男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题.【对点训练】为宣传航空科普知识,某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中,小明正确完成每道题的概率都是34且每道题正确完成与否互不影响,小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率;(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数,求X的分布列及数学期望;(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛,请你根据所学概率知识,判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好,并说明理由.【解析】(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A,则P(A)=C43(34)3×14+(2)X的可能取值为2,3,4.P(X=2)=C22C62P(X=3)=C21C63C84=40701570=314,X234P343数学期望E(X)=2×314+3×47+4×3(3)由(1)知,小明进入决赛的概率为P(A)=189256.记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B,则P(B)=47+314=1114.因为P(B)>P【加练备选】为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列,并求E(X).【解析】(1)由已知,有P(A)=C22C所以事件A发生的概率为635(2)随机变量X服从超几何分布,X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=C5kC3故P(X=1)=C51C33C84=114P(X=3)=C53C31C84=37所以随机变量X的分布列为X1234P1331所以E(X)=1×114+2×37+3×37+4×1第七节正态分布【课程标准】1.了解正态分布在实际生活中的意义和作用.2.了解正态分布的定义,正态曲线的特征,会求服从正态分布的随机变量的概率.3.记住正态总体在常用区间上的取值的概率,并能在一些简单的实际问题中应用.【考情分析】考点考法:正态分布是高考命题的热点.常以真实社会背景为命题情境,主要考查学生应用相关公式求解实际问题的能力.试题以选择题、填空题、解答题形式呈现.核心素养:数据分析、数学运算、逻辑推理【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.正态分布的定义若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=1σ2π·e-(x-μ)22σ则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1σ(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.3.3σ原则(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827;(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545;(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.【微点拨】(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12341.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 ()A.正态曲线关于直线x=μ对称,在x轴上方B.正态曲线关于直线x=σ对称,只有当x∈(-3σ,3σ)时曲线才在x轴上方C.正态曲线和x轴围成的面积随μ的变化而变化D.正态曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低【解析】选BC.B曲线关于直线x=μ对称,并且曲线始终在x轴上方×C正态曲线和x轴围成的面积恒为1×2.(选择性必修第三册P87T3·变形式)随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+σ)= ()附:概率P(μ-σ≤X≤μ+σ)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)近似值0.68270.95450.9973A.0.8186 B.0.4772 C.0.84 D.0.9759【解析】选A.由题意可得,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,所以P(μ-2σ≤X≤μ+σ)=12P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)+12P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.3.(对正态曲线的性质不清致误)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>2)=p,则P(-2≤ξ≤0)= ()A.12+p B.1-p C.12-p D.【解析】选C.由对称性知P(ξ<-2)=p,所以P(-2≤ξ≤0)=1-2p24.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=______.

【解析】因为X~N(2,σ2),所以P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14.答案:0.14【巧记结论·速算】若X服从正态分布,即X~Nμ,σ2,要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与【即时练】1.已知随机变量X~N5,σ2,若PX≥8=0.36,则PX>2A.0.36 B.0.18 C.0.64 D.0.82【解析】选C.因为X~N5,σ2,所以PX≤2=PX≥8=0.36,所以P2.(多选题)若随机变量X~N(1,σ2),且正态分布N(1,σ2)的正态密度曲线如图所示,则下列选项中,可以表示图中阴影部分面积的是 ()A.12-P(XB.12-P(XC.12P(X≤2)-12P(D.12-P(1≤X【解析】选ABC.根据正态分布的性质可知,正态密度曲线关于直线x=1对称,所以题图中阴影部分的面积为12-P(X≤0),A正确;根据对称性,P(X≤0)=P(X≥2),B正确;阴影部分的面积也可以表示为P阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1),而P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2),D不正确.【核心考点·分类突破】考点一正态分布的性质[例1](1)(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,σ12),N(μ2,σ22),其正态密度曲线如图所示,则下列说法正确的是A.甲类水果的平均质量为0.4kgB.甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右C.平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大D.σ2=1.99【解析】ABC.由题图可知,甲类水果的平均质量为μ1=0.4kg,故A正确;由题图可知,甲类水果的质量分布比乙类水果的质量分布更集中于均值左右,故B正确;由题图可看出平均质量分布在[0.4,0.8]时甲类水果比乙类水果占比大,故C正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足12πσ2=1.99,则σ2≠1(2)设有一正态总体,它的正态密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=18πe-(x-10)2A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10【解析】选B.因为f(x)=18π所以σ=2,μ=10,即正态总体的平均数与标准差分别为10与2.(3)(多选题)若随机变量ξ~N(0,1),则下列结论正确的是 ()A.该正态曲线关于直线x=1对称B.若P(ξ≤1.52)=0.9357,则P(ξ>1.52)=0.0643C.若P(ξ≤1.49)=0.9319,则P(ξ≤-1.49)=0.9319D.当x>0时,若P(ξ≥x)=φ(x),则P(|ξ|≥x)=2φ(x)【解析】选BD.由题设知,该正态曲线关于直线x=0对称,故A错误;由P(ξ>1.52)=1-P(ξ≤1.52)=0.0643,故B正确;由P(ξ≤-1.49)=P(ξ>1.49)=1-P(ξ≤1.49)=0.0681,故C错误;P(|ξ|≥x)=P(ξ≥x)+P(ξ≤-x),由对称性知P(ξ≥x)=P(ξ≤-x),所以P(|ξ|≥x)=2φ(x),故D正确.【解题技法】利用正态分布性质解题的关键点对X~N(μ,σ2)中的μ,σ的意义不清楚,特别是对μ的认识不清楚,就会在解题时无从下手,导致随便给出一个结果.这里μ是随机变量X的均值,σ是标准差,x=μ是正态密度曲线的对称轴.【对点训练】1.(多选题)某次市教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由图中曲线可得下列说法中正确的是 ()A.甲、乙、丙的总体的平均数相同B.乙科总体的标准差及平均数都居中C.丙科总体的平均数最小D.甲科总体的标准差最大【解析】选AD.由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相同,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“矮胖”,σ越小,正态曲线越“瘦高”,故三科总体的标准差从大到小依次为甲、乙、丙.2.已知三个正态密度函数φi(x)=12πσie-(x则 ()A.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2>σ3B.μ1>μ2=μ3,σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2<μ3,σ1<σ2=σ3D.μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3【解析】选D.由正态曲线关于直线x=μ对称,知μ1<μ2=μ3;σ的大小决定曲线的形状,σ越大,总体分布越分散,曲线越“矮胖”,σ越小,总体分布越集中,曲线越“瘦高”,则σ1=σ2<σ3.实际上,由φ1(μ1)=φ2(μ2)>φ3(μ3),即12πσ1=12πσ2>12πσ3,亦可推知考点二服从正态分布的概率计算[例2](1)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),若P(ξ<4)=0.9,则P(-2<ξ<1)= ()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】选C.由题意可知μ=1,正态分布曲线关于直线x=1对称,P(ξ≥4)=1-P(ξ<4)=0.1.根据对称性可知P(ξ≤-2)=P(ξ≥4)=0.1,所以P(-2<ξ<1)=0.5-P(ξ≤-2)=0.5-0.1=0.4.(2)(2023·运城质检)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为 ()A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2【解析】选D.因为ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),所以曲线的对称轴是直线x=1,又ξ在(0,2)内取值的概率为0.6,根据正态曲线的性质,则ξ在[2,+∞)内取值的概率为P(ξ≥2)=1-0.6(3)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是 ()A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【解析】选D.对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)的概率越大,故A正确;对于B,由正态密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99的概率与大于10.01的概率相等,故C正确;对于D,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.【解题技法】正态分布的概率计算的关键点正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0时,图象关于y轴对称.【对点训练】1.已知随机变量X服从正态分布N(5,4),且P(X>k)=P(X<k-4),则k的值为 ()A.6 B.7 C.8 D.9【解析】选B.因为随机变量X服从正态分布N(5,4),所以其图象关于x=5对称,又因为P(X>k)=P(X<k-4),所以k+k-42.陕西洛川苹果享誉国内外,据统计,陕西洛川苹果(把苹果近似看成球体)的直径X(单位:mm)服从正态分布N(70,52),则直径在(80,85]内的概率为 ()附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.0.0214 B.0.0430C.0.8185 D.0.6826【解析】选A.由题可设直径在(80,85]内的概率为P,则P=P(μ-3σ≤3.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(X<3)+P(X≤1)=1,则μ=______.

【解析】因为X服从正态分布N(μ,σ2),所以P(X<3)+P(X≥3)=1,所以P(X≤1)=P(X≥3),由正态曲线的对称性知对称轴为x=2,所以μ=2.答案:2考点三正态分布的综合应用[例3](1)某地高三学生有15000名,在一次测试中,这些学生的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤100)=0.35,若按成绩用分层随机抽样的方法抽取100份试卷进行分析,则应从120分及以上的试卷中抽取 ()A.5份 B.10份 C.15份 D.20份【解析】选C.因为数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),P(80<ξ≤100)=0.35,所以P(80<ξ<120)=2×0.35=0.70,所以P(ξ≥120)=12×(1-0.70)=0.15,所以应从120分及以上的试卷中抽取100×0.15=15(份)(2)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取并检测零件的直径尺寸,根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸x(cm)服从正态分布N18,4,若x落在(20,22]内的零件个数为2718,则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数为__________(附:若随机变量ξ服从正态分布Nμ,σ2,则P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827,Pμ-2σ≤ξ【解析】由正态分布N18,4可知μ=18,所以μ+σ=20,μ+2σ=22.所以P20<x≤22≈0.Px>22≈1-0所以直径x高于22的个数大约为2718÷0.1359×0.02275=455.答案:455(3)从某企业生产的某种产品中抽取1000件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149[22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合计10001.000①求m,n,a的值;②求出这1000件产品质量指标值的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);③由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2,其中已计算得σ2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50),企业每件产品可以获利10元,如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外,企业每件产品要损失100元,从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品,记X为抽取的20件产品所获得的总利润,求E(X).附:52.6≈7.【解析】①结合题中频率分布表可以得到m=54,n=0.352,a=0.195=0②抽取的1000件产品质量指标值的样本平均数x=5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.19+35×0.1+40×0.047=25.③因为52.6≈7.25,由②知Z~N(25,52.6),从而P(10.50<Z<39P(25-2×7.25<Z<25+2×7.25)≈0.9545.设Y为随机抽取20件产品质量指标值位于(10.50,39.50)之外的件数,依题意知Y~B(20,0.0455),则E(Y)=20×0.0455=0.91,所以E(X)=-100×E(Y)+10×20×0.9545=99.9.【解题技法】解决正态分布问题有三个关键点(1)对称轴x=μ;(2)标准差σ;(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值;由μ,σ,分布区间的特征进行转化,使分布区间转化为3σ特殊区间,从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【对点训练】1.在某校高三年级的高考全真模拟考试中,所有学生考试成绩的取值X(单位:分)是服从正态分布N(502,144)的随机变量,模拟“重点控制线”为490分(490分及490分以上都是重点),若随机抽取该校一名高三考生,则这名同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为 ()(附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)A.0.6827 B.0.65865C.0.84135 D.0.34135【解析】选C.因为P(502-12≤X≤502+12)≈0.6827,所以P(X<490)≈1-0.68272=0.15865,即P(2.对一个物理量做n次测量并以测量结果的均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn~N(0,2n),为使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量________次.(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)≈0.【解析】根据正态曲线的对称性知要使误差εn在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(μ-2σ,μ+2σ)⊆(-0.5,0.5),又μ=0,σ=2n,所以0.5≥22n⇒n答案:323.在某质量检测考试中,高二年级学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市高二年级学生约100000人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第________名.

(参考数值:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973)【解析】因为考试的成绩X服从正态分布N(98,100),所以μ=98,σ=10,所以108=μ+σ,则P(X>108)=P(X>μ+σ)=1-P(μ-σ答案:15865【重难突破】概率与统计中的决策问题【考查形式】试题多以相互独立事件的概率、随机变量的期望、二项分布等作为载体,考查数据处理能力、运算求解能力及数学的应用与创新意识.重点考查逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养.【解题关键】(1)会“评价”:在数据分析的基础上能够基于数字特征给出统计意义上的评价结论.(2)会“决策”:在基于数字特征给出有意义评价的基础上,分析利弊、观察风险,进而做出切实可行的合理决策方案或建议.类型一与回归分析相关的预测性问题[例1]2021年6月,公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”,这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件,用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生。某省自“国家反诈中心APP”推出后,持续采取多措并举的推广方式,积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作.经统计,省反诈中心发现全省每月网络诈骗举报件数y(单位:件)与推广时间有关,并记录了经推广x个月后每月举报件数的数据:推广月数x/个1234567y/件891888351220200138112(1)现用y=a+bx(2)分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗?参考数据(其中ti=1xi【解析】(1)由题意知y=17令t=1x,设y关于t的经验回归方程为y=t+,则=1000,则=400-1000×0.37=30,所以y=1000t+30,又t=1x,所以y关于x的经验回归方程为y=1(2)仅从现有统计数据所得回归方程y=1000x+30,可发现当推广时间越来越长时,即x越来越大时,【解题技法】预测问题的解题策略(1)求经验回归方程;(2)利用经验回归方程进行预测,把回归直线方程看作一次函数,求函数值.【对点训练】为了巩固拓展脱贫攻坚的成果,某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场.该特色水果的热卖黄金时段为2023年7月10日至9月10日,为了解直播的效果和关注度,该电商平台统计了已直播的2023年7月10日至7月14日时段中的相关数据,这5天的第x天到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)的数据如下表:日期7月10日7月11日7月12日7月13日7月14日第x天12345人数y(单位:万人)75849398100(1)依据表中的统计数据,请判断该电商平台的第x天与到该电商平台专营店购物的人数y(单位:万人)是否具有较高的线性相关程度;(参考:若0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般,若|r|>0.75,则线性相关程度较高,计算r时精确度为0.01)(2)求购买人数y与直播的天数x的线性回归方程,用样本估计总体,请预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).参考数据:【解析】(1)由题表中数据可得x=3,y=90,所以又所以≈0.97>0.75,所以该电商平台直播黄金时段的天数x与购买人数y具有较高的线性相关程度.所以可用线性回归模型拟合人数y与天数x之间的关系.(2)求购买人数y与直播的第x天的经验回归方程.用样本估计总体,预测从2023年7月10日起的第38天到该专营店购物的人数(单位:万人).由表中数据可得则=y-x=90-6.4×3=70.8,所