备战2025年中考数学冲刺专项训练（全国）专题07 二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）90题专练（解析版）

专题07二次函数中特殊四边形存在性（五大题型）90专练通用的解题思路：题型一：平行四边形的存在性解题策略：1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算

（适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴）2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等

（适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图）3.平移坐标法

利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。

（适用于：直接写出答案的题）题型二：菱形存在性由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。题型三：矩形存在性由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。题型四：正方形存在性由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。题型五：梯形存在性解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．题型一：平行四边形的存在性1．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且．(1)求此抛物线的表达式；(2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标；(3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．【答案】(1)(2)(3)则点P的坐标为：）或【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，轴对称最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质的综合，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．（1）根据二次函数解析式可求出，可得点的坐标，运用交点式即可求解二次函数解析式；（2）根据抛物线的解析式可得点的对称点为点，结合轴对称最短路径可得的周长为最小，根据点的坐标可求出直线的解析式是，由抛物线的对称轴为，代入直线的解析式即可求解；（3）根据平行四边形的判定和性质可得，设点，则，由此列式求解即可．【详解】（1）解：由抛物线的表达式可知，，∴，∴，∴，，，设抛物线的表达式为：，∴，∴，故抛物线的表达式为：；（2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为：，∴对称轴为，∴点关于抛物线对称轴得对称点为点，∴交抛物线的对称轴于点即为所求点的位置，即的周长为最小，已知，，设直线的解析式为：，∴，解得，，∴直线的解析式为：，∵抛物线的对称轴为直线，∴当时，，则点；（3）解：由（1）和（2）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为，∴如图所示，设点，根据过点作轴的平行线交抛物线于点，四边形为平行四边形，则，∴，∴，∴解得：，，∴当时，，即；当时，，即∴点的坐标为：）或．2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．请阅读上述材料，完成题目：如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．【答案】(1)；(2)存在．的最大值为；(3)点坐标为或或，．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标．【详解】（1）解：抛物线经过点，点，，解得，抛物线的解析式为；（2）解：存在．当，，解得，则，设，则，，，，当时，有最大值为；（3）解：抛物线的对称轴为直线，，当时，则，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，点坐标为或；当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，，点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，把代入得，解得，，此时点坐标为，，综上所述，点坐标为或或，．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．3．（2024·广东珠海·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的坐标为或．【分析】（1）用待定系数法可得；（2）由，可得直线解析式为，设，由，有，即可解得；（3）可得直线的表达式为，知在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，根据，可得直线和直线关于直线对称，有，，，从而可得直线的表达式为，点的坐标为，即得，，故，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，当时，有，解得；当时，，解得．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，；（2）解：由，可得直线解析式为，设，则，，，要使四边形恰好是平行四边形，只需，，解得，；（3）解：在直线上存在点，使得与相似，理由如下：是的中点，点，点，由（2）知，直线的表达式为，，在直线上，，，过点作轴于点，过作轴于，如图：，故，，，直线和直线关于直线对称，，，，由点，可得直线的表达式为，联立，解得或，点的坐标为，，，，，，，，，，即，与相似，点与点是对应点，设点的坐标为，则，当时，有，，解得或（在右侧，舍去），；当时，，，解得（舍去）或，，综上所述，的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形，相似三角形等知识，难度较大，综合性较强，解题的关键是证明，从而得到与相似，点与点是对应点．4．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．(1)求一次函数与二次函数的表达式；(2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．【答案】(1)，(2)点坐标为，，，【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案；（2）求出点坐标，根据平行四边形性质，设，，由列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵过点，∴，解得，∴一次函数表达式为：；∵点在上，∴，即，∵点在上，∴，解得，∴二次函数表达式为：；（2）解：∵点在轴上，且在上，∴，即，如图所示：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴，设，，则有，或，解得或，是直线上的点，∴点坐标为，，，．【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键．5．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若直线与抛物线的对称轴交于点，点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点的坐标为：，或，或．【分析】本题考查了二次函数综合运用，平行四边形的性质、中点坐标公式等；（1）由待定系数法即可求解；（2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当为对角线时，同理可解．【详解】（1）解：（1）的坐标为，，则点，，则点，设抛物线的表达式为：，则，∵，∴，∴，则；（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，由点、的坐标得，设直线的表达式为，∴解得：∴直线的表达式为：，设点，点，当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，则点，或，；当为对角线时，同理可得：，解得：（舍去）或2，则点，综上，点的坐标为：，或，或．6．（2024·甘肃武威·一模）如图．抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)当点的坐标为时，求的面积；(3)过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)点的坐标为【分析】（1）把和代入抛物线，求出和的值即可解决问题；（2）连接,把代入得到点的坐标，根据即可求出结果；（3）求出直线的表达式，作轴,交于点,设，得到的表达式，根据平行四边形的性质列出方程即可求出点的坐标;【详解】（1）解：∵抛物线交轴于点和点,交轴于点,，解得，∴抛物线的函数解析式为；（2）连接,由抛物线的解析式为，代入，得，解得，∴点的坐标为,，，，得，，得；（3）设直线的表达式为，代入，，解得，，作轴,交于点,设∴，∵四边形是平行四边形，，，解得，，∴点的坐标为．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，割补法求三角形面积，平行四边形的存在性问题，本题的关键是理解平行四边形的性质.7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．【答案】(1)(2)满足条件的点的坐标为或【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，平行四边形的性质；（1）将点，代入抛物线表达式，待定系数法求解析式，即可求解；（2）根据二次函数平移的规律得出，进而求得点，设，，根据题意得出，即可求解．【详解】（1）解：将点，代入抛物线表达式，得解得该抛物线的表达式为．（2），抛物线的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，把代入：得，解得，．是原抛物线对称轴上一动点，点在新抛物线上，设，．当为平行四边形的一边时，且．由题可知．．即，解得或．点的坐标为或．综上所述，满足条件的点的坐标为或．8．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线与直线交于点E，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标．【答案】(1)(2)存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为或或或．(3)最大值，D的坐标为【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点；（1）由待定系数法即可求解；（2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解；（3）过点D作轴交于点M，过点A作轴交于点N，证明，得到，即，即可求解．【详解】（1）∵∴∴∴把，代入抛物线解析式得：，解得：，∴该抛物线解析式为；（2）存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，设，，分三种情况考虑：①当与为对角线时，由，，得：，解得：（舍去），∴；②当与为对角线时，得：，解得：（舍去），∴；③当与为对角线时，得：，解得：，，∴或；综上，存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，Q的坐标为或或或．（3）∵抛物线对称轴为直线，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，过点D作轴交于点M，过点A作轴交于点N，

∵，∴，∴，∵，∴，设，则，∴，∴，∵，∴，∴当时，有最大值，此时点D的坐标为．9．（2024·山西大同·二模）综合与探究如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．作直线，是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式．(2)当点P在直线下方时，连接，，．当时，求点P的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；直线的函数表达式为，(2)(3)存在，点的坐标为()，()，【分析】本题考查了二次函数综合运用；待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形问题；（1）待定系数法求得抛物线解析式，进而得出的坐标，待定系数法求直线的解析式，即可求解；（2）过点作于点，则四边形为矩形，根据得出，进而表示出，解方程，即可求解．（3）先求得抛物线对称轴，设)，当为对角线时，当为对角线时,当为对角线时,根据中点坐标公式，即可求解．【详解】（1）解：把，分别代入得解得抛物线的函数表达式为当时，，则设直线的解析式为，将点代入，得，解得：，直线的函数表达式为，（2）如图过点作轴于点，交于，过点作于点，则四边形为矩形设则，解得(舍弃)，（3）存在，点的坐标为()或()或()由题知，抛物线抛物线的对称轴，把代入，的)设)分以下三种情况讨论：当为对角线时，，，解得)当为对角线时，，，解得)当为对角线时，，，解得综上所述，点的坐标为()，()，．10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与y轴交于点D．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．【分析】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，运用分类讨论思想是解题的关键．（1）运用待定系数法即可求得抛物线的表达式；（2）利用待定系数法可得直线的解析式为，进而可得，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分即对角线的中点重合，分别列方程组求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，解得：，∴该抛物线的表达式为；（2）对称轴上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形．理由如下：∴顶点，设直线的解析式为，则：解得：，∴直线的解析式为，当时，，∴，∵点是抛物线上一动点，∴设，∵抛物线的对称轴为直线，∴设，当为对角线时，的中点重合，解得：，当为对角线时，的中点重合，解得：，当为对角线时，的中点重合，解得：，∴；综上所述，对称轴上存在点，使得以，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．11．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P、E、F坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m的方程，解方程即可解决．【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；（2）解：抛物线：，当时，，即与y轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，，四边形为平行四边形，，即，解得：，；（3）解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．12．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为，，(2)或或(3)【分析】（1）将点代入抛物线解析式，待定系数法求解析式，进而分别令，即可求得两点的坐标；（2）分三种情况讨论，当，为对角线时，根据中点坐标即可求解；（3）根据题意，作出图形，作交于点，为的中点，连接，则在上，根据等弧所对的圆周角相等，得出在上，进而勾股定理，根据建立方程，求得点的坐标，进而得出的解析式，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，∴解得：，∴抛物线解析式为，当时，，∴，当时，解得：，∴（2）∵，，，设，∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形当为对角线时，解得：，∴；当为对角线时，解得：∴当为对角线时，解得：∴综上所述，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，或或（3）解：如图所示，作交于点，为的中点，连接，

∵∴是等腰直角三角形，∴在上，∵，，∴，，∵，∴在上，设，则解得：（舍去）∴点设直线的解析式为∴解得：.∴直线的解析式∵，，∴抛物线对称轴为直线，当时，，∴．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，平行四边形的性质，圆周角角定理，勾股定理，求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，有最大值为(3)能，【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值；（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为，由（2）知，设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时．【详解】（1）解：抛物线的顶点横坐标为对称轴为与x轴另一交点为

∴设抛物线为∴抛物线的表达式为（2）在抛物线上∴设在第一象限

∴当时，有最大值为（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为由（2）知设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．

①当以为对角线时，平行四边形对角线互相平分，即在抛物线上的坐标为

②当以为对角线时同理可得，即则的坐标为

③当以为对角线时，即则的坐标为综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形．的坐标为【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可；（3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过两点，∴，解得：，∴；（2）∵，∴，设直线，则：，解得：，∴，当时，，∴；作点关于轴的对称点，连接，则：，，∴当三点共线时，有最小值为的长，

∵，，∴，即：的最小值为：；（3）解：存在；∵，∴对称轴为直线，设，，当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时：①为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；②当为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；③当为对角线时：，

∴，当时，，∴，∴；综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．15．（2024·山西晋城·一模）综合与探究如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点．(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．(2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)的面积最大值为9，此时点P的坐标为(3)或或【分析】（1）根据二次函数解析式分别求出自变量和函数值为0时自变量或函数值即可求出A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线的函数表达式即可；（2）过点P作轴交于D，设，则，则，根据，可得，则当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为（3）设，，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可。【详解】（1）解：在中，当时，，∴；在中，当时，解得或，∴；设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为；（2）解：如图所示，过点P作轴交于D，设，则，∴，∵∴，∵，∴当时，的面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为（3）解：∵，∴抛物线对称轴为直线，设，，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，解得，∴点Q的坐标为；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，解得，∴点Q的坐标为；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，解得，∴点Q的坐标为；综上所述，点Q的坐标为或或．16．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．【答案】(1)(2)点Q坐标，或或；(3)时，有最大值，最大值为．【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．【详解】（1）将，代入，得，解得∴抛物线解析式为：（2）二次函数，当时，∴点设点，点，当为边，为对角线时，∵四边形为平行四边形，∴，互相平分∴解得，（舍去）或点Q坐标；当为边，为对角线时，同理得，解得，或，∴∴点Q坐标或综上，点Q坐标，或或；（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，∵，∴∴∵∴，同理可得设直线的解析式为：则，解得∴直线：同理由点，，可求得直线：设点，，则，，，中，，∴，中，∴，解得，∴∵∴；中，∴，解得，∴∵∴∴，即．∵∴时，，有最大值，最大值为．【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．17．（2024·山西晋城·一模）综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点，且.(1)求，，三点的坐标；(2)求直线的函数表达式；(3)如图2，若抛物线的对称轴与直线交于点，试探究，在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)，，(2)(3)或或【分析】（1）由，得，解得，.可得点，的坐标，由，得.可得点的坐标；（2）过点作轴交于，由平行线分线段成比例性质得，再求得直线的解析式为，再设直线的解析式为，用待定系数法求解即可；（3）分为为对角线时；为对角线时；为对角线时三种情况分类讨论，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）由，得，解得，点，的坐标分别为，由，得∴点的坐标为；（2）过点作轴交于，，，，，，，设直线的解析式为，，解得∴直线的解析式为，，设直线的解析式为，解，得∴直线的解析式为；（3）在平面内存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形∵抛物线与轴交于点，点，∴对称轴为直线.由（2）可得，当时，由（1）可知，，；①当为对角线时，将点向下平移1个单位，再向左平移3个单位长度，即可得到点，此时点的坐标为②当为对角线时，将点向下平移3个单位，再向右平移1个单位长度，即可得到点，③当是对角线时，将点向上平移一个单位，再向右平移3个单位长度，即可得到点，点Q为综上所述，在平面内存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．18．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；(2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；(3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)点的坐标的或(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点的坐标，然后根据当时，得，解方程求出的值即可；根据，坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，证明得，设，，得到，求解即可；（3）确定直线的解析式为，确定，设，，然后分三种情况：①若为平行四边形的对角线；②若为平行四边形的边；③若为平行四边形的边，分别建立一元二次方程求解即可．【详解】（1）解：，∴，当时，得：，解得：，，∴，，当时，得：，∴，设直线的解析式为，过点，，∴，解得：，∴直线的解析式为，∴抛物线的顶点的坐标为和直线的解析式为；（2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点，∴，∴，∴，设，∴，∴，把代入，得：，∴，∴，∵，∴，解得：，，∴点的坐标的或；

（3）∵点在直线上，∴，解得：，∴直线的解析式为，∵直线与抛物线交于，两点，∴，解得：，，∴，设在直线上存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，设，，①若为平行四边形的对角线，则：，得：，∵点在抛物线上，∴，解得：，（舍去），此时点的坐标为；②若为平行四边形的边，∴，∵轴，∴轴，则：，得：，∵点在抛物线上，∴，解得：，（舍去），此时点的坐标为；③若为平行四边形的边，∴，∵轴，∴轴，则：，得：，∵点在抛物线上，∴，解得：，，此时点的坐标为或；综上所述，点的坐标为或或或时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数与一次函数的交点，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识点，本题运用了分类讨论的思想．掌握函数的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．19．（2024·山东泰安·一模）综合与实践如图，抛物线与x轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．

(1)求，，三点的坐标；(2)如图2，当点在第四象限时，连接和，得到，当的面积最大时，求点的坐标；(3)点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点的坐标．【答案】(1)，，(2)(3)或或或【分析】（1）将代入，求出点坐标，将代入，求出点，点坐标，即可求解，（2）过点作直线，根据，，得到直线表达式，设直线的表达式为：，与抛物线联立，得到，当的面积最大时，点与抛物线只有一个交点，此时，，代入，即可求解，（3）设，，分、、分别为对角线三种情况讨论，根据中点坐标公式，即可求解，本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．【详解】（1）解：∵当时，，∴，∵当时，，解得：，，∴，，（2）解：过点作直线，

∵，，设直线表达式为：，则：，解得：，∴直线表达式为：，∵，∴设直线的表达式为：，与抛物线联立，，得：，整理得：，当的面积最大时，点与抛物线只有一个交点，此时，，当时，，∴，故答案为：，（3）解：，，设，，当是对角线时，，解得：或，∴或当是对角线时，，解得：或（舍），∴，当是对角线时，，解得：或（舍），∴，故答案为：或或或．20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．【答案】(1)(2)线段最大值为，点P的坐标为(3)满足条件的点M的坐标有或或【分析】（1）先求出A，B点坐标，根据B点和C点坐标设二次函数交点式，将A点坐标代入即可求解；（2）延长交于点H，设，则，用含m的式子表示出的长，化为顶点式即可求出最值；（3）分为边、为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求解．【详解】（1）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得：，∴，∴函数的表达式为：，把代入得：，解得：，故该抛物线得表达式为；（2）解：延长交于点H，如图，设，则，∴，∵，∴当时，有最大值，，∴此时点P的坐标为；（3）解：∵，∴抛物线y的对称轴为直线，平移后的抛物线表达式为，把代入得：，解得：，，∴，∵N是原抛物线对称轴上一动点，∴设，∵点M在新抛物线上，∴设，①当为边时，点向右平移4个单位得到点，∴点向右平移4个单位得到，或点向右平移4个单位得到点，∴或，解得：或6，当时，，当时，，∴点M的坐标为或；②当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，当时，，∴点M的坐标为；综上，满足条件的点M的坐标有或或．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，平行四边形的存在性问题等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．21．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与轴交于（为坐标原点）、两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点在轴上，．(1)求二次函数的解析式；(2)二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，求面积的最大值；(3)在二次函数图象上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或【分析】（1）先求出顶点坐标，设二次函数解析式为，将点代入即可求函数的解析式；（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，直线的解析式，则点Q的坐标为，可得，当时，有最大值，即可得的最大值；（3）设N点坐标为，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论，利用中点坐标公式建立方程求n的值即可求N点坐标．【详解】（1）∵二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，∴二次函数顶点为，设二次函数解析式为，将点代入得，，∴，∴；（2）设，过点P作x轴的垂线交于点Q，则点Q的横坐标为t，令抛物线解析式的，得到，解得，，∴A的坐标为，设直线AB的解析式为，将，代入，得∴，解得：，∴直线的解析式为：，∴点Q的坐标为，∴，∴当时，有最大值，∴面积的最大值为；（3）存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：设N点坐标为，当为对角线时，由中点坐标公式得，，∴，∴，当为对角线时，由中点坐标公式得，，∴，∴，当为对角线时，由中点坐标公式得，，∴，∴，综上所述：或或．【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数与几何综合，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．22．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）结合平行四边形的性质，通过求直线的函数解析式，列方程求解；（3）分3种情况求解：当时；当时；当时；根据，确定点坐标，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．【详解】（1）解：在直线中，当时，，当时，，∴点，点，设抛物线的解析式为，把点，点代入可得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：由题意，，∴，当四边形是平行四边形时，，∴，∴，，设直线的解析式为，把代入可得，解得，∴直线的解析式为，又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，∴∴，解得（不合题意，舍去），；（3）解：存在，理由如下．由题意，，∴，．当时，点P在x轴的上方，∵，∴点E为线段的中点，∴，，∴，代入整理得，，解得（不合题意，舍去），．当时，点P在x轴上，此时点E与点M重合，所以此种情况不存在；当时，点P在x轴的下方，点E在射线上，如图，设线段的中点为R，

∴，，∴．∵，∴M为的中点，∴，，∴，代入整理得，，解得（不合题意，舍去），．综上可知，存在或，使．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合思想和方程思想解题是关键．23．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．(1)求此抛物线的函数表达式；(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．①若，请求此时点Q的坐标；②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)①；②【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法、一次函数的图象和性质，其中（2），确定是本题解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）①证明，得到直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，即可求解；②当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或角线时，同理可解．【详解】（1）解：由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：；（2）由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：，则点，设点，则点，①由点的坐标得，直线的表达式为：，∵，则，则直线的表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，解得：，则点的坐标为：；②存在，理由：由点、的坐标得，直线的表达式为：，当为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：(不合题意的值已舍去)；当或角线时，同理可得：，或，解得：(舍去)；综上，．24．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.(1)求抛物线的表达式；(2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积(3)求的最大值，并求此时点M的坐标；(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)5(3)最大值为，.(4)存在，或或【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法和平行四边形的性质是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）先求出点M、N的坐标，然后利用求出面积即可；（3）设点M的坐标是，则点，表示，然后利用二次函数的配方法求最值即可；（4）分是对角线、是对角线和是对角线三种情况，利用中点坐标公式计算解题．【详解】（1）由题意得：.解得：∴抛物线的函数解析式是：.（2）∵.∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点.连接BN.则；（3）设点M的坐标是，则点.∴，.∴.∴当时，有最大值，这时点.（4）存在，理由如下：由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点.设点，.分三种情况讨论：①当是对角线时，，解得：，这时点.②当是对角线时，，解得：，这时点.③当是对角线时，，解得：，这时点.综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.25．（2024·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点与y轴交于点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．【答案】(1)(2)最大值为，此时，点坐标为(3)点坐标为或或【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点与y轴交于点，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为．（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，即，设直线解析式为，∵，，∴，解得：，∴直线解析式为，设，则，∴，，∴，∴当时，有最大值，最大值为，当时，，∴点坐标为．（3）∵，∴对称轴为直线，∵，点与点P关于抛物线的对称轴l对称，∴，即点与点重合，设，，∵以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形，∴对角线的中点的坐标相同，如图，①当、为对角线时，，解得：，∴．②当、为对角线时，，解得：，∴．③当、为对角线时，，解得：，∴．综上所述：点坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、三角函数的定义等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式．26．（2024·甘肃天水·一模）抛物线经过、两点，与轴交于另一点．(1)求抛物线、直线的函数解析式；(2)在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由．(3)点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：，直线的函数解析式为(2)存在使得的面积达到最大，最大值为8(3)存在这样的点E，坐标为或或【分析】（1）先将、代入抛物线，即可求出抛物线解析式，求出B点坐标，设直线的函数解析式为，再将点B，点C的坐标代入求解即可；（2）过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，设点，则，根据的面积为，利用二次函数的性质即可求解；（3）设，，根据平行四边形的定义分为对角线时，为对角线时，和为对角线时，三种情况求解即可．【详解】（1）解：将、代入抛物线，得，解得：，抛物线的解析式为：；令，则，解得：或，，，设直线的函数解析式为，将点B，点C的坐标代入得：，解得：，直线的函数解析式为；（2）解：过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，设点，则，，，的面积为，则，，当时，的面积最大，最大值为8，此时；（3）解：存在，求解过程如下：设，，由平行四边形的定义分以下2种情况：①如图，当为对角线时，F点在x轴上，，，，则，解得或（舍去），，②如图，当为对角线时，则，即，解得或，点的坐标为或，③如图，当为对角线时，∵F点在x轴上，∴，，∴，则，即，解得或（舍去），，综上，存在这样的点E，坐标为或或．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分3种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．27．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．

(1)求该二次函数的解析式；(2)如图1，在轴下方作轴的平行线，交二次函数图象于两点，过两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求点的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．【答案】(1)(2)(3)的值为4或6或【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解是解题的关键．（1）设出顶点式，将原点坐标代入求解即可；（2）设，对称性得到，根据邻边相等的矩形是正方形，得到，列出方程求解即可；（3）分，，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：拋物线的顶点为，设，将代入得：，解得：，，即；（2）设，则，对称轴为直线∴，∴，由题意，得：四边形为矩形，∴当时，矩形为正方形，∴解得：（舍），把代入得，当矩形为正方形时，，（3）由（2）可知：．设直线的解析式为，将代入，得：解的：，直线的解析式为．联立，解得，当时，，点的坐标为，点的坐标为．以四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且，，分三种情况考虑：①当时，如图所示，，

．，解得：（舍去），；②当时，，，解得：（舍去），；③，如图所示，，

解得（舍去），，综上所述，当以四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，的值为4或6或．28．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．(1)若，求n的值；(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．①m为何值时，点E到达最高处；②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)的值为1；(2)①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．【分析】（1）把代入得，即可求解；（2）①，得，即可求解；②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．【详解】（1）解：把代入得；故的值为1；（2）解：①在中，令，则，解得或，，，点在函数的图象上，，令，得，即当，且，则，解得：（正值已舍去），即时，点到达最高处；②假设存在，理由：对于，当时，，即点，由①得，，，，对称轴为直线，由点、的坐标知，，作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，则，则直线的表达式为：．当时，，则点的坐标为．由垂径定理知，点在的中垂线上，则．四边形为平行四边形，则，解得：，即，且，则，∴顶点E的坐标为，或．【点睛】本题为反比例函数和二次函数综合运用题，涉及到一次函数基本知识、解直角三角形、平行四边形的性质、圆的基本知识，其中（3），数据处理是解题的难点．29．（2024·山西阳泉·二模）综合与探究如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．过点作直线轴，连接，过点作，交直线于点，作直线．(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；(2)如图，点为抛物线上第二象限内的点，设点的横坐标为，连接与交于点，当点为线段的中点时，求；(3)若点为轴上一个动点，点为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；(2)；(3)点的坐标为或或或．【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；证明，求得，得到点，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；（2）作轴，轴，根据直角三角形斜边中线的性质求得是的中位线，用分别表示的坐标，利用，列式计算即可求解；（3）由题意得即轴，求得解方程，求得，得到点的坐标，根据平行四边形的性质即可求得点的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，∴点，∵点，∴点，∴，，，由题意得，∴，∴，∴，即，∴，∴点，设直线的函数表达式为，把代入得，解得，∴直线的函数表达式为；（2）解：作轴，轴，垂足分别为，连接，∵，点为线段的中点，∴，∴，∴是的中位线，∴，∵点的横坐标为，∴点，，∴，当时，，∴，∴，，∴，解得（舍去正值），∴；（3）解：由题意得即轴，∵点，∴点纵坐标为6，解方程，得，∴点或，当点时，，∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为,当四边形是平行四边形时，点的坐标为；当点时，，∴当四边形是平行四边形时，点的坐标为；当四边形是平行四边形时，点的坐标为；综上，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、解一元二次方程、平行四边形的性质、三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．30．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．

备用图(1)求该抛物线的函数解析式．(2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．(3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，点P的坐标为，的面积最大值为；(3)存在，N点坐标为或或．【分析】（1）将点，代入抛物线的函数解析式求解，即可解题；（2）过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，表示出，利用二次函数的最值，得到的最大值，推出点P的坐标，进而得到的面积最大值；（3）根据以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形，分以下三种情况讨论，①当，为对角线时，②当，为对角线时，③以，为对角线时，利用平行四边形对角线互相平分的性质求解，即可解题．【详解】（1）解：将点，代入中，有，解得，抛物线的解析式为；（2）解：存在，理由如下：如图，过点P作轴，交于点Q，设直线的解析式为，把，代入，可得，解得，直线的解析式为，设点，则点，点P在直线的下方，，，当时，有最大值，最大值为4，此时点P的坐标为，的面积最大值为；（3）解：存在，理由如下：点N是对称轴上的一点，点P是抛物线上一点，设N点坐标为，P点坐标为，以点B，C，P，N为顶点的平行四边形：①当，为对角线时，，且，解得，，此时N点坐标为；②当，为对角线时，，且，解得，，此时N点坐标为；③以，为对角线时，，且，解得，，此时N点坐标为．综上，N点坐标为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．31．（2024·广东惠州·一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标；(3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）根据抛物线与轴交于、两点，可设抛物线解析式为，知，代入得到完整解析式即可；（2）作，交延长线于点，交轴于点，根据相似三角形的判定证明，设，得出数据代入中求解，得到点的坐标即可；（3）根据抛物线的解析式为，设，结合已知，，分“以为对角线”、“以为对角线”和“以为对角线”三种情况讨论，根据坐标系中平行四边形顶点的相对位置，用含式子表示出点的坐标，求出完整坐标即可．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，∴设抛物线解析式为，，∴抛物线解析式为，即；（2）解：如图，作，交延长线于点，交轴于点，∵，，抛物线表达式为，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，∴，，∵，，∴，，∴，∴数据代入中，得：，解得：（舍去），，∴，∴点的坐标为；（3）解：存在；∵抛物线的解析式为，∴抛物线对称轴为直线，设，∵抛物线解析式中，∴，当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，∵，，，∴，，则，把代入，得：，∴；当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，∵，，，∴，，则，把代入，得：，∴；当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的平行四边形时，∵，，，∴，，则，把代入，得：，∴．综上所述，满足条件的点坐标为或或．【点睛】本题主要考查了图形与坐标、二次函数的综合运用、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质、分类讨论是解题的关键．32．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为；(2)；(3)点P的坐标为或或．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先根据抛物线的解析式求得顶点坐标，设直线的解析式为，待定系数法求出解析式，得到，根据的面积为求解即可；（3）根据题意分三种情况讨论，①当，时，②当，时，③当，时，作于点，结合平行四边形的性质即可求解．【详解】（1）解：由题知，抛物线过点，，，解得，该抛物线的解析式为；（2）解：，D为抛物线的顶点，，设直线的解析式为，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），又抛物线对称轴为，，将代入中，有，解得，直线的解析式为，作轴，交于点，连接，，

有，，的面积为：；（3）解：存在，

①当，时，，的坐标为；②当，时，，的坐标为；③当，时，作于点，有，，，，，，的坐标为；综上所述，点P的坐标为或或．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用．33．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为，，(4)存在，定点，的值为【分析】（1）把，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得答案；（2）根据抛物线解析式求出点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，设，则，根据，及、两点坐标得出是等腰直角三角形，利用表示出的周长，利用二次函数的性质求出最大值即可得答案；（3）根据抛物线解析式求出对称轴为直线，点坐标为，点Q坐标为，根据平行四边形对角线中点的坐标相同，分、、为对角线三种情况，列方程组求出、的值即可得答案；（4）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设的解析式为，，，则，联立抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系用、、、分别表示和，代入，根据为定值得出值及定值即可．【详解】（1）解：∵，在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的表达式为：．（2）∵抛物线的表达式为：，∴当时，，∴，设直线的解析式为，∵，，∴，解得：∴直线的解析式为，设其中，则，∴∵，，∴∵轴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，，∴的周长，∴当时，的周长有最大值，．（3）由题意知，抛物线的对称轴为直线，，，设点坐标为，点Q坐标为，①当为对角线时，，解得：，∴，②当为对角线时，，解得：，∴，③当为对角线时，，解得：，解得：，综上所述，存在点，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为，，．（4）当抛物线向左平移1个单位，向上平移4个单位后，得到新的抛物线，即，设的解析式为，点坐标为，点坐标为，则，联立新抛物线与直线的解析式得：∴，∴，，，同理，，，∵为定值，∴，解得：，当时，，∴定点的值为4．【点睛】本题考查二次函数的综合，包括待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的平移、求一次函数解析式、平行四边形的性质、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，综合性强，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键34．（2024·山西朔州·二模）综合与探究如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．(2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值．(3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，当时，有最大值为(3)存在，点M的坐标为，或【分析】（1）将，代入得：，求解即可得出抛物线解析式，从而得出点的坐标，进而得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）过点作轴的平行线交于，，求出得出，从而得到当取得最大值时，取得最大值，设点，则，则，求出的最大值即可；（3）求出点的横坐标为，设点，分三种情况：当为对角线时；当为边，平行四边形为时；当为边，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）解：将，代入得：，解得：，二次函数的解析式为：；在中，当时，，，点D与点C关于x轴对称，，设直线的表达式为，将，代入解析式得：，解得：，直线的表达式为；（2）解：存在，如图，过点作轴的平行线交于，，，，，，，，在中，，，当取得最大值时，取得最大值，设点，则，，，当时，取得最大值为，的最大值为；（3）解：，抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为，由（2）可得，点，设点，点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形，，当为对角线时，则，解得：，此时，即；当为边，平行四边形为时，，解得：，此时，即；当为边，平行四边形为时，，解得：，此时，即；综上所述，点的坐标为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题，二次函数综合—特殊四边形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当辅助线，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．35．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6．(1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线与抛物线交于点G，求证：直线必过定点．【答案】(1)直线,(2)(3)见解析【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解；（2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解；（3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解；【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线∵，∴令，则∴∵的面积为6．∴，解得：∴，将代入得：，解得：，∴（2）解：∵，∴设点，∵四边形是平行四边形，∴且∴，即：∵顶点Q在原抛物线上，∴，解得：∴∴平移后抛物线的表达式为：（3）解：设，设直线的解析式为：，则，解得：，∴直线的解析式为：，∵直线过定点∴得：∵直线过N点，∴，，∴令，解得：∴设直线的解析式为：，则，解得：，∴直线的解析式为：，∵，∴直线的解析式为：，当时，，∴直线必过定点【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键．36．（2015·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于点和．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)C的坐标是；(3)P的坐标为或或．【分析】（1）将，代入，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的解析式为；（2）将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线，，由平行四边形的性质得，则点C的横坐标为5，即可求得点C的坐标是；（3）分三种情况，一是；当时，过点C作轴于点L，作交的延长线于点H，则，证，设，则，于是得，求得，则；二是，可证明，则，得，．三是，设交于点J，则，由平行四边形的性质得，，所以，则．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：，∴抛物线的对称轴为直线，，∵四边形是平行四边形，，∴点C的横坐标为，抛物线，当时，，∴点C的坐标是．（3）解：存在点P，使是直角三角形，①当时，作交的延长线于点H，则，，，，设，则，，，解得，，②点O是直角顶点时，过点C作轴于点L．，，，，，，，，．③当时，设交于点J，作轴于点L，，，，，轴，，，∵四边形是平行四边形，，，，，，，；综上所述，存在点P，使是直角三角形，点P的坐标为或或或．【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．37．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点的坐标；(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，点的坐标为或或或【分析】（1）根据对称轴为直线，将点代入，进而待定系数法求解析式即可求解；（2）设，过点作轴交于点，过点作交于点，继而表示出的面积，根据的面积为，解方程，即可求解．（3）先得出直线的解析式为，设，当为平行四边形的对角线时，可得，当为平行四边形的对角线时，，进而建立方程，得出点的坐标，即可求解．【详解】（1）解：∵对称轴为直线，∴①，将点代入得，∴②，联立①②得，，∴解析式为；（2）设，如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，

∴，，则，∴解得：或（舍去），（3）存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，如图所示，当BP为平行四边形的对角线时，，

，∵，∴，由对称性可知，，∴，∴解得：∴点的坐标为或如图3，当为平行四边形的对角线时，，，

由对称性可知，，∴，∴，解得：或，∴点的坐标为或综上所述，点的坐标为或或或．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．38．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由见详解【分析】（1）将两点代入抛物线的解析式即可求解；（2）根据P，Q的不确定性，进行分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，可得，由，可求解；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，，即可求解；③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，，解得，故抛物线的解析式为．（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，四边形是平行四边形，，，解得：，，；②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，四边形是平行四边形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上图，根据对称性：，③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；综上所述：的坐标为或或．（3）解：是定值，理由：如图，直线经过，可设直线的解析式为，、在抛物线上，可设，，，整理得：，，，，当时，，，设直线的解析式为，则有，解得，直线的解析式为，当时，，解得：，，，同理可求：，；当与对调位置后，同理可求；故的定值为．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，求函数图象与坐标轴交点坐标，动点产生的平行四边形判定，一元二次方程根与系数的关系，理解一次函数与二次函数图象的交点，与对应一元二次方程根的关系，掌握具体的解法，并会根据题意设合适的辅助未知数是解题的关键．39．（2024·四川广元·二模）如图，已知直线：交x轴于点B，交y轴于点C，抛物线的图象过点B，C，且与x轴交于另一点A（点A在点B的左侧）．在直