2024届宜兴市洑东中学中考二模数学试题含解析

2024学年宜兴市淞东中学中考二模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下面运算正确的是（）

A.（g尸=-gB.（2a）2=2a2C.x2+x2=x4D.|a|=|-a|

2.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（）

A-B'届C'+D-出

3.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品既不是中心对称图形，也不是轴对称图形的是（）

4.tan45。的值等于（）

「小1

AV3RA/2n

A.•-------上5•-------Vx・-------\J•1

322

5.如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）

6.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）

-0

7.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180。后，C点的坐标是

)

A.(2,0)B.(3,0)C.(2,-1)D.(2,1)

25

8.计算-一+（-己）的正确结果是（)

77

33

A.-B.--C.1D.-1

77

-工的绝对值是（）

9.

3

1

A.3B.-3C.一D.

3-3

10.已知Xi,X2是关于X的方程x?+ax—2b=0的两个实数根，且xi+xz=-2,xrx2=l,则b，的值是（）

A.J_B.一，C.4D.-1

44

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，在△ABC中，点E,F分别是AC,BC的中点，若S四边形ABFE=9,则S三角形EFC=

12.2018年5月13日，中国首艘国产航空母舰首次执行海上试航任务，其排水量超过6万吨，将数60000用科学记

数法表示应为.

13.如图，数轴上点A、B、C所表示的数分别为a、b、c,点C是线段AB的中点，若原点O是线段AC上的任意

一点，那么a+b-2c=.

------------？----1-*

14.设△ABC的面积为1,如图①，将边BC、AC分别2等分，BEi、ADi相交于点O,△AOB的面积记为Si；如图

②将边BC、AC分别3等分，BEi、ADi相交于点O,△AOB的面积记为S2;依此类推，则Sn可表示为.（用

含n的代数式表示，其中n为正整数）

16.如图所示，三角形ABC的面积为1cm1.AP垂直NB的平分线BP于P.则与三角形PBC的面积相等的长方形是

1.2cm

17.如图，AABSAADE,ZEAC=40°,则NB=c

■*1

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x-2与双曲线y2=&交于A、C两点，ABJ_OA交x轴于点B,

x

且OA=AB.

(1)求双曲线的解析式；

(2)求点C的坐标，并直接写出yi〈y2时x的取值范围.

19.(5分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数乂=奴+优。*0)的图象与V轴相交于点A,与反比例函数

%=勺(左wO)的图象相交于点3(3,2),C(-l,n).

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出％〉为时，x的取值范围；

(3)在V轴上是否存在点P,使△上钻为等腰三角形，如果存在，请求点P的坐标，若不存在，请说明理由.

20.(8分)如图，50是△A5C的角平分线，点E,尸分别在3C,A5上，S.DE//AB,BE=AF.

(1)求证：四边形AOE尸是平行四边形；

(2)若NA3c=60。，BD=6,求OE的长.

A

21.(10分)在2018年韶关市开展的“善美韶关•情暖三江”的志愿者系列括动中，某志愿者组织筹集了部分资金，计划

购买甲、乙两种书包若干个送给贫困山区的学生，已知每个甲种书包的价格比每个乙种书包的价格贵10元，用350

元购买甲种书包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，求甲、乙两种书包每个的价格各是多少元？

22.(10分)已知AC,EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，直线AE与直线BF交于点H

(1)观察猜想

如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，线段AE和BF的数量关系是；ZAHB=.

(2)探究证明

如图2,当四边形ABCD和FFCG均为矩形，且NACB=NECF=30。时，(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，若BC=9,FC=6,将矩形EFCG绕点C旋转，在整个旋转过程中，当A、E、F三点共线时，请

直接写出点B到直线AE的距离.

23.(12分)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措

施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少

元？设每件商品降价x元，则商场日销售量增加一件，每件商品，盈利元(用含x的代数式表示)；在上述销

售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？

24.(14分)如图，抛物线、=以2+法+。(。工0)与》轴交于点4和点5(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称

轴/为x=-l,尸为抛物线上第二象限的一个动点.

(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

(2)当点P的纵坐标为2时，求点尸的横坐标；

(3)当点尸在运动过程中，求四边形面积最大时的值及此时点尸的坐标.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

分别利用整数指数塞的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、绝对值的性质分别化简求出答案.

【题目详解】

解:A,（；尸=2,故此选项错误；

B,（2a>=4a2,故此选项错误；

C,f+尤2=2%2,故此选项错误；

D,|a|=|-a|,故此选项正确.

所以D选项是正确的.

【题目点拨】

灵活运用整数指数塞的性质以及合并同类项以及积的乘方运算、绝对值的性质可以求出答案.

2、C

【解题分析】

试题分析：观察可得，只有选项C的主视图和左视图相同，都为工,故答案选C.

考点：简单几何体的三视图.

3、A

【解题分析】

试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知：选项A既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项

正确；选项B不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；选项C既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本

选项错误；选项D既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误.故选A.

考点：中心对称图形；轴对称图形.

4、D

【解题分析】

根据特殊角三角函数值，可得答案.

【题目详解】

解：tan45°=l,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

5^C

【解题分析】

分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可.

详解：从左边看竖直叠放2个正方形.

故选：C.

点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将

三种视图混淆而错误的选其它选项.

6、B

【解题分析】

找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【题目详解】

解：从左面看易得下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

7、B

【解题分析】

试题分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180。后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中

点，据此即可求解.

试题解析：AC=2,

则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180。后C的对应点设是C,则AC=AC=2,

则0（7=3,

故C，的坐标是（3,0）.

故选B.

考点：坐标与图形变化-旋转.

8、D

【解题分析】

根据有理数加法的运算方法，求出算式的正确结果是多少即可.

【题目详解】

原式=_]亍+|"]=-L

故选：D.

【题目点拨】

此题主要考查了有理数的加法的运算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加.②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加

数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得L③一个数同

1相加，仍得这个数.

9、C

【解题分析】

根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义即可解决.

【题目详解】

在数轴上，点-！到原点的距离是工，

33

所以，-2的绝对值是工，

33

故选C.

【题目点拨】

错因分析容易题，失分原因：未掌握绝对值的概念.

10、A

【解题分析】

根据根与系数的关系和已知X1+X2和X1・X2的值，可求a、b的值，再代入求值即可.

【题目详解】

解：X2是关于X的方程x2+ax-2b=0的两实数根，

.\xi+x2=-a=-2,xi*X2=-2b=l,

解得a=2,b=i_,

~2

Aba=(J)2=A

~24

故选A.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、3

【解题分析】

分析：

由已知条件易得：EF〃AB,且EF：AB=1：2,从而可得△CEFsaCAB,且相似比为1：2,设SACEF=X,根据相似

x1

三角形的性质可得方程：—解此方程即可求得△EFC的面积.

9+x4

详解：

\•在AABC中，点E,F分别是AC,BC的中点，

AEF是小ABC的中位线，

；.EF〃AB,EF：AB=1：2,

/.△CEF^ACAB,

**•SACEF:SACAB=1:4,

设SACEF=X,

SACAB=SACEF+S四边彩ABFE,S四边形ABFE=9,

•X_1

9+x~4'

解得：x=3,

经检验：x=3是所列方程的解.

故答案为：3.

点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键.

12、6xl04

【解题分析】

【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中19a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n

是负数.

【题目详解】60000小数点向左移动4位得到6,

所以60000用科学记数法表示为：6x1,

故答案为：6x1.

【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lS|a|<10,n为整数，表

示时关键要正确确定a的值以及n的值.

13、1

【解题分析】

•.•点A、B、C所表示的数分别为a、b、c,点C是线段AB的中点,

...由中点公式得：c=*,

2

:.a+b=2cf

a+b-2c-l,

故答案为1.

【解题分析】

试题解析：如图，连接DiEi,设AD1、BEi交于点M,

VAEi：AC=1：(n+1),

**•SAABEI:SAABC=1:(n+1),

.1

••SAABEI=-,

n+1

••A__B___B__M_——_n__+_1

■DEME.~n9

•_B_M_____n_+__1_

BE12〃+l'

•••SAABM:SAABEI=(n+1)：(2n+l),

SAABM：------=(n+1)：(2n+l),

n+1

1

・・.Sn=----.

2n+l

故答案为

2n+l

15、3cm.

【解题分析】

根据矩形的对角线相等且互相平分可得04=03=。。=。。，由NAOB=60。，判断出AAOB是等边三角形，根据等边

三角形的性质求出AB即可.

【题目详解】

解：•.•四边形ABC。是矩形，AC=6cm

OA=OC=OB=OD=3>cm,

；/AO8=60°,

是等边三角形,

'.AB—OA—3cm,

故答案为：3cm

【题目点拨】

本题主要考查矩形的性质和等边三角形的判定和性质，解本题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分.

16、B

【解题分析】

过P点作PE1BP,垂足为P,交BC于E,根据AP垂直NB的平分线BP于P,即可求出AABP^ABEP,又知△APC

和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.

【题目详解】

解：过P点作PELBP,垂足为P,交BC于E,

VAP垂直NB的平分线BP于P,

ZABP=ZEBP,

又知BP=BP,NAPB=/BPE=90°,

.*.△ABP^ABEP,

，AP=PE,

VAAPC和小CPE等底同高，

SAAPC=SAPCE,

三角形PBC的面积=L三角形ABC的面积=^cmi,

22

选项中只有B的长方形面积为-cm1,

2

故选B.

17、1°

【解题分析】

根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到NBAC=NDAE,AB=AD,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定

理计算即可.

【题目详解】

VAABC^AADE,

/.ZBAC=ZDAE,AB=AD,

/.ZBAD=ZEAC=40°,

/.ZB=(180°-40°)+2=1°,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

4

18、(1)%=—；(1)C(-1,-4),x的取值范围是xV-1或0<xVL

x

【解题分析】

【分析】(1)作高线AC,根据等腰直角三角形的性质和点A的坐标的特点得：x=lx-1,可得A的坐标，从而得双

曲线的解析式；

(1)联立一次函数和反比例函数解析式得方程组，解方程组可得点C的坐标，根据图象可得结论.

【题目详解】(1)•••点A在直线yi=lx-l上，

.,.设A(x,lx-1),

过A作AC_LOB于C,

VAB1OA,且OA=AB,

.,.OC=BC,

1

/.AC=-OB=OC,

2

x=l,

・・・A(1,1),

k=lxl=4,

【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的综合；熟练掌握通过求点的坐标进一步求函数解析式的方法；通过

观察图象，从交点看起，函数图象在上方的函数值大.

19、(1)y=2x-4；y=--(2)—l<x<0或x>3；(3)存在，/0,—4+36)或「(0,—4—36)或。(0,8)或

【解题分析】

(D利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式;

(2)利用图象直接得出结论；

(3)分BP=BA、BP=BA、三种情况讨论，即可得出结论.

【题目详解】

(1)一次函数％=办+人与反比例函数v=£相交于点3(3,2),C(-1,H),

X

.•.把3(3,2)代入y=&得：2=-,

x3

:♦k=6,

二反比例函数解析式为y=£,

X

把C(—1,")代入y=g得：〃=£,

x-1

:.n=-6,

...点C的坐标为(-1,-6),

2=3k+b

把3(3,2),C(—1,—6)代入y=ax+^得：〈

—b=—k+b，

k=2

解得：<

b=-4r

一次函数解析式为y=2x—4；

(2)根据函数图像可知：

当-l<x<0或%>3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，

.,.当T<x<0或x>3时，％〉为；

⑶存在P(0,—4+36)或P(0,—4—3石)或。(0,8)或P，,-时，ARAB为等腰三角形，理由如下:

二令x=0得，y=~^)

点A的坐标为(0,T),

•••点B的坐标为3(3,2),

••・点口的坐标为。(0,2),

•*-AB=7(3-0)2+(2+4)2=V32+62=375，

①当AP=A3时，则AP=36，

A(0,-4),

.•.点P的坐标为:片(0,—4+3君)、6(0,T—3君);

②当=时，

A5np是等腰三角形，BDLAP,

..班>平分AP，

,-.DA=DP=2-(-4)=6,

•.•点D的坐标为。(0,2),

...点P的坐标为(0,2+6),即6(0,8)；

③当以=/>5时，如图：

设==

则DP=ZM—Bl=6—x,

在火;7\8。0中，DB=3,DP=6-x,PB=x,

•••由勾股定理得：

PB2=DB2+DP2>

x2-32+(6-%)2,

解得：x=~,

4

A(0,-4),

•••点P的坐标为［o,—4+即-

综上所述，当P(O,-4+3有)或P(O,—4—36)或PQ8)或｛0,-时，△R43为等腰三角形.

【题目点拨】

本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，等腰三角形的性

质，勾股定理，解(D的关键是待定系数法的应用，解(2)的关键是利用函数图象确定x的范围，解(3)的关键是

分类讨论.

20、(1)证明见解析；(2).

【解题分析】

(1)由BD是△ABC的角平分线，DE〃AB,可证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF,可得DE=AF,

即可证得四边形ADEF是平行四边形；

(2)过点E作EHLBD于点H,由NABC=60。，BD是NABC的平分线，可求得BH的长，从而求得BE、DE的长,

即可求得答案.

【题目详解】

(1)证明：；BD是AABC的角平分线，

ZABD=ZDBE,

；DE〃AB,

:.ZABD=ZBDE,

.\ZDBE=ZBDE,

；.BE=DE；

VBE=AF,

.\AF=DE；

**.四边形ADEF是平行四边形；

(2)解：过点E作EHLBD于点H.

VZABC=60°,BD是/ABC的平分线，

.\ZABD=ZEBD=30°,

11

；.DH=-BD=—x6=3,

22

VBE=DE,

ABH=DH=3,

••・BE=^Jk=25

,\DE=BE=2A/3.

【题目点拨】

此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法.

21、每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元

【解题分析】

设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为(x-10)元,根据数量=总价+单价结合用350元购买甲种书

包的个数恰好与用300元购买乙种书包的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论.

【题目详解】

解：

设每件甲种商品的价格为x元，则每件乙种商品的价格为(x-10)元，

根据题意得：350=3%,

xX-10

解得：x=70,

经检」验，x=70是原方程的解，

/.X-10=1.

答：每件乙种商品的价格为1元，每件甲种商品的价格为70元.

【题目点拨】

本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：根据数量=总价+单价，列出分式方程.

22、(1)变=也，45°；(2)不成立，理由见解析；(3)台娓土3.

AE22

【解题分析】

(1)由正方形的性质，可得0—=—=72，/ACB=NGEC=45。，求得ACAEs^CBF,由相似三角形的性质得

BCCF

到丝1=1,NCAB==45。，又因为NCBA=90。，所以NAHB=45。.

AE2

(2)由矩形的性质，及NACB=NECF=30。，得到UCAEs/^CBF,由相似三角形的性质可得NCAE=NCBF,

"=生=立，则NCAB=60。，又因为NCBA=90。，

AEAC2

求得NAHB=30。，故不成立.

（3）分两种情况讨论：①作BMLAE于M,因为A、E、F三点共线，及NAFB=30。，ZAFC=90°,进而求得AC

和EF,根据勾股定理求得AF,则AE=AF-EF,再由（2）得：—，所以BF=3后-3,故BM=3屈-3.

AE22

②如图3所示：作BMJ_AE于M,由A、E、F三点共线，得：AE=6j^+2，LBF=3«+3,则BM=3*+3.

【题目详解】

解：（1）如图1所示：I•四边形ABCD和EFCG均为正方形，

ACCE/-

:.——=—=J2,NACB=NGEC=45°,

BCCF

；.NACE=/BCF,

/.△CAE^ACBF,

AEAC/-

AZCAE=ZCBF,—=——=J2,

BFBC

.•.史=①，ZCAB=ZCAE+ZEAB=ZCBF+ZEAB=45°,

AE2

；NCBA=90。，

/.ZAHB=180°-90°-45°=45°,

故答案为竺_巫，45。；

AE2

（2）不成立；理由如下：

•/四边形ABCD和EFCG均为矩形，且NACB=NECF=30。，

...生=竺=立，NACE=NBCF,

ACCE2

/.△CAE^ACBF,

.*.ZCAE=ZCBF,—=—=

AEAC2

.\ZCAB=ZCAE+ZEAB=NCBF+NEAB=60。，

,/ZCBA=90o,

.\ZAHB=180°-90°-60°=30°；

（3）分两种情况：

①如图2所示：作BMLAE于M,当A、E、F三点共线时，

由（2）得：ZAFB=30°,ZAFC=90°,

在RtAABC和RtACEF中，VZACB=ZECF=30°,

；.AC=BC一忑一。万,EF-CFxtan30°=6x=2G，

cos30°-^-3

在RtAACF中，AF=JAC°-CF="(6回-6?=6夜,

，AE=AF-EF=6夜-273,

由⑵得：丝二正，

AE2

n

.-.BF=—(672-273)=376-3,

2

在ABFM中，VNAFB=30。,

.•.BM=-BF=3^~3.

22

②如图3所示：作BMJ_AE于M,当A、E、F三点共线时，

同⑵得：AE=6直+26，BF=3#+3,

则BM=-BF=3#+3.

22

综上所述，当A、E、F三点共线时，点B到直线AE的距离为哀运.

2

【题目点拨】

本题考察正方形的性质和矩形的性质以及三点共线，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，知道分类讨论三点共线问

题是解题的关键.本题属于中等偏难.

23、(1)若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；

(2)2x；50-x.

(3)每件商品降价1元时，商场日盈利可达到2000元.

【解题分析】

(1)根据“盈利=单件利润x销售数量”即可得出结论；

(2)根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数,

再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；

(3)根据“盈利=单件利润x销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存

即可确定x的值.

【题目详解】

(1)当天盈利：(50-3)x(30+2x3)=1692(元).

答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元.

(2)•••每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，

.•.设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2