2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系一课一练含解析新人教B版必修第一册

PAGEPAGE1第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系课时1函数的零点、三个二次间的关系考点1函数的零点1.函数f(x)=2x+7的零点为()。A.7 B.72 C.-72答案：C解析：令f(x)=2x+7=0,得x=-72,∴函数f(x)=2x+7的零点为-72.(2024·山东曲阜二中高一检测)函数f(x)=-x2+5x-6的零点是()。A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3答案：B解析：令-x2+5x-6=0,得x1=2,x2=3。∴函数f(x)=-x2+5x-6的零点为2和3。3.(2024·河南开封中学期末考试)下列说法中正确的个数是()。①f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0);②f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1;③y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点;④y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：依据函数零点的定义,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。因此,只有说法②④正确,故选B。4.下列图像表示的函数中没有零点的是()。图3-2-1-1答案：A解析：没有零点就是函数的图像与x轴没有交点,故选A。5.(2024·辽宁鞍山八中高一月考)若函数f(x)=x-1x,则函数g(x)=f(4x)-x答案：1解析：g(x)=f(4x)-x=4x-14x-x。令4x-14x-x=0,解得x=【易错点拨】方程根的个数即函数的零点个数,此题转化为g(x)=0求根的问题。6.分别推断下列函数的零点的个数,并说明理由。(1)f(x)=x2+6x+9;答案：函数f(x)=x2+6x+9的图像为开口向上的抛物线,且与x轴有唯一的公共点(-3,0),所以函数f(x)=x2+6x+9有一个零点,为-3。(2)f(x)=x-1x答案：令f(x)=0,得x-1x=0,即x2-1=0,解得x所以函数f(x)=x-1x有两个零点,为±1(3)f(x)=2答案：当x≥0时,由2x-4=0,得x=2;当x<0时,由2x2-3x-2=0,得x=-12或2(舍去)。故函数f(x)有两个零点,为-12考点2利用三个二次间的关系解不等式7.不等式x2-2x>0的解集为()。A.(2,+∞) B.(-∞,2)C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞)答案：D解析：方程x2-2x=0的解为x=0或x=2,结合二次函数的性质得到解集为(-∞,0)∪(2,+∞)。故答案为D。8.不等式-x2-3x+4≤0的解集为()。A.{x|x≤-4或x≥1} B.{x|0<x<3}C.{x|-4≤x≤-1} D.{x|-1<x<3}答案：A解析：解法1:-x2-3x+4=0两实根为-4,1,f(x)=-x2-3x+4开口向下,结合二次函数的图像得到解集为{x|x≤-4或x≥1}。解法2:不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+3x-4≥0,即(x-1)(x+4)≥0,解得x≤-4或x≥1。故不等式-x2-3x+4≤0的解集是{x|x≤-4或x≥1}。故答案为A。9.(2024·北京东城区高二期中)不等式(x2-2x-3)(x2+2)<0的解集是()。A.{x|-1<x<3} B.{x|x<-1或x>3}C.{x|0<x<3} D.{x|-1<x<0}答案：A解析：令(x2-2x-3)(x2+2)=0等价于(x-3)(x+1)(x2+2)=0,从而x=3或x=-1,结合二次函数性质得-1<x<3,故答案为A。10.(2024·德州第一中学高二月考)若不等式ax2+bx+2>0的解集{x|-1<x<2},则a+b的值是()。A.0 B.-1 C.1 D.2答案：A解析：由题意,可得不等式ax2+bx+2>0的解集是{x|-1<x<2},所以-1,2是方程ax2+bx+2=0的两个根,所以可得-1+2=-ba,-1×2=2a,解得a=-1,b=1,所以a+b=0,故选11.(2024·沂南第一中学高二月考)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是()。A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2)C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)答案：C解析：关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-ba=1,所以关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0可化为x+ba(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|-1<x12.(2024·北京日坛中学高二月考)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},那么不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax的解集为()。A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3} D.{x|0<x<3}答案：D解析：因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,所以-ba=-1+2=1,ca=-2,即b=-a,c=-2a,代入不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax整理得a(x2-3x)>0,因为a<0,所以x2-3x<0,所以0<x<3,故选13.(2024·辽宁营口中学高二月考)已知关于x的不等式ax2+bx-c>0的解集是(-2,1),求不等式cx2-bx-a>0的解集。答案：解:由ax2-bx-c>0的解集是(-2,1)可知-2和1是方程ax2-bx-c=0的两根且a<0,∴ba=-1,-ca=-2⇒b=-a,c=2又a<0⇒2x2+x-1<0⇒x∈-1∴不等式cx2-bx-a>0的解集为x|-14.(2024·山东莱芜二中高二月考)求关于x的不等式-4x2-4a2x+2x+a2-a4<0的解集。答案：解:令4x2+(4a2-2)x+a2(a2-1)=0,则(2x+a2)(2x+a2-1)=0。∴x+a22x+a2-112。结合二次函数的性质得原不等式解集为x考点3函数零点的应用15.(2024·丹东四中高二月考)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表。x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c<0的解集是。答案：(-2,3)解析：由二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值知,x=-2时,y=0;x=3时,y=0;且函数y的图像开口向上,∴不等式ax2+bx+c<0的解集是(-2,3)。故答案为(-2,3)。16.(2024·北京北外附校高二月考)已知二次函数f(x)=x2+mx-3的两个零点为1和n,则n=;若f(a)≤f(3),则a的取值范围是。

答案：-3[-5,3]解析：依题意可知f(1)=0,即1+m-3=0,m=2,f(x)=x2+2x-3=(x-1)(x+3),所以另一个零点为-3,即n=-3。由f(a)≤f(3)得a2+2a-3≤12,即a2+2a-15=(a+5)(a-3)≤0。解得-5≤a≤3。17.(2024·大连辽师大附中高二月考)已知二次函数f(x)=x2+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5。(1)求函数f(x)的解析式;答案：由题意得x2+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,由韦达定理得x故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2+24=25,则m2=1,又∵m>0,∴m=1,故f(x)=x2+x-6。(2)解关于x的不等式f(x)<4-2x。答案：由f(x)<4-2x得x2+x-6<4-2x,即x2+3x-10<0,即(x+5)(x-2)<0,解得-5<x<2,故不等式的解集是{x|-5<x<2}。18.(2024·山东临沂一中高二月考)已知函数f(x)=3x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞)。(1)求函数f(x)的解析式;答案：由f(0)=0∴f(x)=3x2+6x。(2)若对于随意的x∈[-2,2],f(x)+m≤3都成立,求实数m的最大值。答案：f(x)+m≤3,即m≤-3x2-6x+3,而当x∈[-2,2]时,函数y=-3x2-6x+3的对称轴为x=-1,图像的开口向下,所以函数的最小值为f(2)=-21,∴m≤-21,即实数m的最大值为-21。19.(2024·沈阳四中高二月考)已知函数f(x)=x2-5ax+6a2(a∈R)。(1)解关于x的不等式f(x)<0;答案：不等式f(x)<0,可化为(x-2a)(x-3a)<0。①当a=0时,不等式的解集为⌀;②当a>0时,由3a>2a,得不等式的解集为(2a,3a);③当a<0时,由3a<2a,得不等式的解集为(3a,2a);(2)若关于x的不等式f(x)≥2a的解集为{x|x≥4或x≤1},求实数a的值。答案：不等式f(x)≥2a可化为x2-5ax+6a2-2a≥0。由不等式f(x)≥2a的解集为{x|x≥4或x≤1}可知,1和4是方程x2-5ax+6a2-2a=0的两根。故有5a=1+4,6经检验,a=1符合题意,故实数a的值为1。20.(2024·北京三十九中高二期中)已知不等式ax2-5x+b>0的解是-3<x<2,设A={x|bx2-5x+a>0},B=x3(1)求a,b的值;答案：依据题意知x=-3,2是方程ax2-5x+b=0的两实数根,∴由韦达定理得5a=(2)求A∩B和A∪(∁UB)。答案：由(1)知,a=-5,b=30,∴A={x|30x2-5x-5>0}=x|x<-13或x>12,且B=x-1<x≤-25,∴A∩21.(2024·山东定陶一中高二月考)已知a,b为常数,函数f(x)=x2-bx+a。(1)当a=b-1时,求关于x的不等式f(x)≥0的解集;答案：f(x)=x2-bx+b-1=(x-b+1)(x-1)。当b=2时,x∈R;当b>2时,x∈(-∞,1]∪[b-1,+∞);当b<2时,x∈(-∞,b-1]∪[1,+∞)。(2)当a=2b-1时,若函数f(x)在(-2,1)上存在零点,求实数b的取值范围。答案：f(x)=x2-bx+2b-1。①当满意-2<b2<1,Δ≥0,f(-2)>0②当满意f(-2)·f(1)<0时,f(x)在(-2,1)上也有零点,解得-34<b③当f(-2)=0,即b=-34时,x2+34x-52=0,解得x1=54,x④当f(1)=0,即b=0时,x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,符合题意。综上,实数b的取值范围为-34<b≤4-2322.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满意a2+(y1+y2)a+y1y2=0。(1)求证:y1=-a或y2=-a;答案：证明:∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,∴(a+y1)(a+y2)=0,解得y1=-a或y2=-a。(2)求证:函数f(x)的图像必与x轴有两个交点;答案：证明:当a>0时,二次函数f(x)的图像开口向上,图像上的点A或点B的纵坐标为-a<0,∴图像必与x轴有两个交点。当a<0时,二次函数f(x)的图像开口向下,图像上的点A或点B的纵坐标为-a>0,∴图像与x轴有两个交点。∴二次函数f(x)的图像必与x轴有两个交点。(3)若f(x)>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),解关于x的不等式cx2-bx+a>0。答案：解:∵ax2+bx+c>0的解集为{x|x>m或x<n}(n<m<0),∴a>0,b>0,c>0。从而易得方程cx2+bx+a=0的两个根为x1=1m,x2=1n,则方程cx2-bx+a=0的两个根为x3=-1m,x4∵n<m<0,∴-1n<-1∴不等式cx2-bx+a>0的解集为xx>-1m或x<-1n。课时2零点存在性定理与二分法考点1函数零点存在性定理1.(2024·临沂一中高一月考)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连绵不断的一条曲线,则下列说法中正确的是()。A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0答案：C解析：对函数f(x)=x2,f(-1)·f(1)>0,但f(0)=0,故A错;对于函数f(x)=x3-x,f(-2)·f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B错;函数f(x)=x2满意C,故C正确;由零点存在性定理知D错。2.已知函数f(x)的图像是连绵不断的,有如下x,f(x)的对应值表:x123456f(x)1510-76-4-5则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()。A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：B解析：由题表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又f(x)的图像为连绵不断的曲线,故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点。3.(2024·郑州一中高一期末)已知偶函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)()。A.有一个零点 B.有两个零点C.至少有两个零点 D.无法推断是否存在零点答案：B解析：由函数f(x)的性质,易知f(-2)=0,画出函数f(x)的大致图像如图所示。由图像可知函数f(x)有两个零点。4.(2024·青岛二中期中)已知函数y=f(x),x∈[1,2024],若对随意实数a,b∈[1,2024],当a≠b时都有f(a)-f(b)a-b>0,则函数y=f(A.有且只有一个零点 B.可能有两个零点C.至多有一个零点 D.有两个以上零点答案：C解析：由单调性的定义,可知函数y=f(x)在[1,2024]上单调递增,因此函数y=f(x),x∈[1,2024]有一个零点或不存在零点,即至多有一个零点。考点2函数零点的应用5.(2024·南安一中高一其次阶段考试)已知函数f(x)=3ax-1-2a在区间(-1,1)上存在零点,则()。A.a<-1或a>15 B.a>C.a<-15或a>1 D.a<-答案：C解析：函数f(x)在区间(-1,1)上存在零点,即f(1)f(-1)=(3a-1-2a)(-3a-1-2a)<0,解得a<-15或a>16.(2024·甘肃模拟)直线y=kx+32与曲线y2-2y-x+3=0只有一个公共点,则k的值为()A.0,-12,14 B.C.-12,14 D.0,1答案：A解析：由y=kx+32得kx=y-32,将y2-2y+3=x代入kx=y-32消去x得ky2-(2k+1)y+3k+32=0,当k=0时该方程为一次方程,只有一个解,满意题意。当k≠0时,Δ=(2k+1)2-4·k·3k+32=0,解得k=-12或7.(2024·西安中学期中)若二次函数y=x2+2x+k+3有两个不同的零点,则实数k的取值范围是()。A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)C.(2,+∞) D.(-∞,2)答案：B解析：由Δ>0,得4-4(k+3)>0,解得k<-2。故选B。8.(2024·赣州中学期中)若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一个实数解,则实数a的取值范围是()。A.(-∞,-1) B.(1,+∞)C.(-1,1) D.[0,1)答案：B解析：设f(x)=2ax2-x-1。当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0,得x=-1,不符合题意。当a≠0时,若Δ=(-1)2+8a=0,则a=-18此时f(x)=-14x2-x令f(x)=0,得x=-2,不符合题意;若Δ=(-1)2+8a>0,则a>-18,由题目条件,知f(0)·f(1)<0,即-1·(2a-1-1)<0,所以a>1。综上,实数a的取值范围为(1,+∞)。故选B9.(2024·定兴三中高一期中)求函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈R)的零点的个数。答案：解:令|x2-2x|-a2-1=0,∴求函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈R)的零点的个数转化为求|x2-2x|=a2+1的根的个数,再转化为求函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1交点的个数,其中函数y=|x2-2x|的增区间为(0,1),(2,+∞),减区间为(-∞,0),(1,2),当x=1时函数值为1,∴函数y=|x2-2x|的图像与直线y=a2+1有两个交点,即方程|x2-2x|=a2+1(a∈R)的解的个数是2,∴函数f(x)=|x2-2x|-a2-1(a∈R)的零点的个数是2。10.(2024·北京94中高一期中)已知二次函数f(x)=x2-2ax+4,在下列条件下,求实数a的取值范围。(1)零点均大于1;答案：因为f(x)=x2-2ax+4的零点均大于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得(-2a)2-16≥0,所以实数a的取值范围是2,(2)一个零点大于1,一个零点小于1;答案：因为f(x)=x2-2ax+4的一个零点大于1,一个零点小于1,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)=5-2a<0,解得a>52。所以实数a的取值范围是5(3)一个零点在(0,1)内,另一个零点在(6,8)内。答案：因为方程x2-2ax+4=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(6,8)内,结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(0)=4>0,f所以实数a的取值范围是103【易错点拨】解决一元二次方程根的分布问题要留意敏捷运用韦达定理(判别式及两根和与积的正负),或者运用图像来建立关系(可依据二次项系数是否为零、开口方向、图像过定点、对称轴位置等来建立)。考点3二分法求函数零点的原理11.(2024·玉溪一中高一期中)下列关于二分法的叙述,正确的是()。A.用二分法可以求全部函数零点的近似值B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字C.二分法无规律可循,无法在计算机上进行D.二分法只用于方程的近似解答案：B解析：依据“二分法”求函数零点的方法要求,用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后任一数字,故选B。12.(2024·太原五中高一期末)用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,须要的条件是()。①f(x)在区间[a,b]是连绵不断的;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b)≥0。A.①② B.①③ C.①④ D.②③答案：A解析：依据二分法定义得①②正确。13.(2024·临川二中高一月考)下列图像中,不能用二分法求函数零点的是()。图3-2-2-1答案：C解析：能否利用二分法求函数零点近似值的关键是要看零点两边的函数值符号是否相异,选项A,B,D中的图像都有零点两边的函数值符号相异的零点,而选项C中的图像没有,故选C。14.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是()。A.ε越大,零点的精确度越高B.ε越大,零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关答案：B15.方程x3+x2-2x-1=0的根所在的区间不行能为()。A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)答案：C解析：设f(x)=x3+x2-2x-1,∵f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f(0)=-1<0,f(1)=-1<0,f(2)=7>0,∴方程x3+x2-2x-1=0的三个根分别在区间(-2,-1),(-1,0),(1,2)内,不行能在(0,1)内,故选C。16.(2024·山东曹县第一中学高一月考)某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度可达到0.1,则须要将此区间分()。A.2次 B.3次 C.4次 D.5次答案：D解析：等分1次,区间长度为1,等分2次,区间长度变为0.5,…,等分4次,区间长度变为0.125,等分5次,区间长度为0.0625<0.1,符合题意,故选D。【易错点拨】给定区间(a,b),要求精确度为ε。可用|b-a|2考点4利用二分法求函数的零点17.(2024·长春外国语学校高一期中)用二分法探讨函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和其次次应计算的函数值分别为()。A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)答案：D解析：因为f(1)=1+8-1=8>0,且f(0)<0,f(0.5)>0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),其次次应计算的函数值为f(0.25)。故选D。18.用二分法探讨函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经计算知f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈,其次次应计算。横线上应填的内容为()。A.(0,0.5),f(0.25)