安徽省示范高中皖北协作区2025届高三数学第23届联考试题文含解析

PAGE19-安徽省示范中学皖北协作区2025届高三数学第23届联考试题文（含解析）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|0＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（0，2）2．已知i为虚数单位，（1+i）z＝|1+i|2，则复数z的虚部为（）A．0 B．1 C．﹣i D．﹣13．已知a＝0.30.2，b＝，c＝log5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a4．设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6＝a2+5，则S17＝（）A．5 B．17 C．85 D．1706．我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部闻名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标记着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着非常丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著中至少有一部是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（）A． B． C． D．7．已知向量＝（1，0），||＝，且⊥（﹣），则|+2|＝（）A．2 B． C． D．58．函数f（x）＝的大致图象是（）A． B． C． D．9．某几何体的三视图如图，俯视图中圆的半径为1．且其内接四边形为正方形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）﹣（ω＞0）在区间（0，π）上恰有1个最大值点和1个最小值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．8π B．π C．6π D．2π12．已知数列{an}满意an＞0，其前n项和，数列{bn}满意，其前n项和为Tn.若对随意n∈N*恒成立，则实数λ的取值池围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满意约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为．14．已知函数f（x）＝x2lnx+x，则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线C上，且满意|AF|＝3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截y轴所得弦长为．16．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分17．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，BD＝，∠BAD＝．（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若∠CBD＝，BC＝BD，求△ABC的面积．18．有一种速度叫中国速度，有一种傲慢叫中国高铁．中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变．中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁．高铁可以说是中国一张行走的名片．截至到2024年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里．如表是2013年至2024年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017202420242024年份代码x12345678运营里程y（万公里）1.31.61.92.22.52.93.53.9依据以上数据，回答下面问题．（Ⅰ）甲同学用曲线y＝bx+a来拟合，并算得相关系数r1＝0.97，乙同学用曲线y＝cedx来拟合，并算得转化为线性回来方程所对应的相关系数r2＝0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回来方程类型，并说明理由；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的推断结果及表中数据，求y关于x的回来方程（系数精确到0.01）．参考公式：用最小二乘法求线性回来方程的系数公式：，．参考数据：＝42.00，令w＝lny，＝1.15．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，AC与BD交于点O，点M在线段PA上，且PM＝3MA．（Ⅰ）证明：OM∥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MCD的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，A，B分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，△OAB的面积为，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设斜率不为0的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点M，N，过M作直线x＝4的垂线，垂足为Q．试问：直线QN是否过定点？若过定点，恳求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数（x）＝ax+sinx，x∈（0，+∞）．（Ⅰ）当a＝﹣时，函数f（x）的极大值点从小到大次记为x1，x2，x3，…，xn，…，求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）≤xex恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2交于两点A，B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|+|x+|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为m，且正实数a，b，c满意a+b+c＝m，证明：．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|0＜x＜1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（0，1） D．（0，2）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．已知i为虚数单位，（1+i）z＝|1+i|2，则复数z的虚部为（）A．0 B．1 C．﹣i D．﹣1解：因为，（1+i）z＝|1+i|2＝2，所以，所以复数z的虚部为﹣1．故选：D．3．已知a＝0.30.2，b＝，c＝log5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a解：∵a＝0.30.2∈（0，1），b＝＝log57＞1，c＝log5＜0，∴b＞a＞c，故选：C．4．设双曲线＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝x，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．解：由已知条件知：；∴；∴；∴．故选：C．5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6＝a2+5，则S17＝（）A．5 B．17 C．85 D．170解：因为等差数列{an}中，a5+a6＝a2+5，所以a2+a9＝a2+5，即a9＝5，则S17＝＝17a9＝85．故选：C．6．我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部闻名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标记着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着非常丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著中至少有一部是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（）A． B． C． D．解：从6部算经中任选2部的选法有＝15种，其中所选2部专著中没有《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的选法＝6种，所选2部专著中至少有一部是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的选法9种，故其概率P＝＝．故选：B．7．已知向量＝（1，0），||＝，且⊥（﹣），则|+2|＝（）A．2 B． C． D．5解：向量＝（1，0），||＝，且⊥（﹣），∴•（﹣）＝﹣＝1﹣•＝0，即＝1．则|+2|＝＝＝＝5，故选：D．8．函数f（x）＝的大致图象是（）A． B． C． D．解：∵f（﹣x）＝＝，∴函数f（x）为非奇非偶函数，解除选项A和B，又f（）＝＜0，∴解除选项C，故选：D．9．某几何体的三视图如图，俯视图中圆的半径为1．且其内接四边形为正方形，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为半径为1的半球挖去一个四棱锥，半球的体积为，四棱锥的体积为，则几何体的体积为．故选：B．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）﹣（ω＞0）在区间（0，π）上恰有1个最大值点和1个最小值点，则的取值范围是（）A． B． C． D．解：f（x）＝sin2ωx+sinωxcosωx﹣＝+﹣＝＝（ω＞0）∵x∈（0．π），∴0＜2ωx＜2ωπ，﹣＜2ωx﹣＜2ωπ﹣，在（0，π）上恰有1个最大值点和一个最小值点，，，故选：B．11．在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，平面ABD⊥平面ABC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A．8π B．π C．6π D．2π解：在四面体ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，AB＝AD＝，平面ABD⊥平面ABC，如图，可知AD⊥平面ABC，可得AD⊥AC，所以△BAC是等腰直角三角形，所以三棱锥A﹣BCD是正方体的一个角，如图：外接球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2r＝，r＝，四面体ABCD的外接球的表面积为：4πr2＝6π．故选：C．12．已知数列{an}满意an＞0，其前n项和，数列{bn}满意，其前n项和为Tn.若对随意n∈N*恒成立，则实数λ的取值池围是（）A． B． C． D．解：前n项和，可得n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝3；当n≥2时，4Sn﹣1＝an﹣12+2an﹣1﹣3，又4Sn＝an2+2an﹣3，两式相减可得4an＝4Sn﹣4Sn﹣1＝an2+2an﹣3﹣an﹣12﹣2an﹣1+3，化为2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），由于an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，＝（﹣1）n+1•＝（﹣1）n+1•（+），所以T2n＝（[+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）﹣（+）]＝（﹣）＝，对随意n∈N*恒成立，即为λ＜nT2n＝，即有3λ＜＝，由+在n∈N*时递减，可得+的最大值为7，所以3λ＜，则λ＜．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满意约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为2．解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数z＝x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，z有最大值为2．故答案为：2．14．已知函数f（x）＝x2lnx+x，则f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1＝0．解：函数f（x）＝x2lnx+x，可得f′（x）＝2xlnx+x+1，所以f′（1）＝2，f（1）＝1，所以f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．15．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线C上，且满意|AF|＝3，则以点A为圆心，AF为半径的圆截y轴所得弦长为4．解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A在抛物线C上，且满意|AF|＝3，则以点A（2，±2），∴圆A的标准方程为（x﹣2）2+（y±2）2＝9．AF为半径的圆截y轴交点为：，所得弦长：4．故答案为：4．16．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1恰有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（，0）．解：当x＞1时，由f（x）＝，得f′（x）＝，当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，又当x→+∞时，f（x）＞0且f（x）→0，作出f（x）的图象如图：设f（x）＝t，则由g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1＝0，得f（t）﹣at+a+1＝0，可得f（t）＝a（t﹣1）﹣1，若函数g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1恰有5个不同的零点，则关于x的方程g（x）＝f（f（x））﹣af（x）+a+1＝0有5个不同的实根，结合函数y＝f（x）的图象及直线y＝a（x﹣1）﹣1得f（t）＝a（t﹣1）﹣1恰有2个不等的实根，得t＝t1＝f（x）∈（﹣1，0），t＝t2＝f（x）∈（0，1），t＝t1＝f（x）∈（﹣1，0）有2个不等实根，t＝t2＝f（x）∈（0，1）有3个不等实根，∴＜a＜0．故答案为：（，0）．三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答。第22，23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分17．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，BD＝，∠BAD＝．（Ⅰ）求边AB的长；（Ⅱ）若∠CBD＝，BC＝BD，求△ABC的面积．解：（Ⅰ）在△ABD中，AD＝1，BD＝，∠BAD＝，由余弦定理BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠BAD，可得7＝1+AB2﹣2×1×AB×（﹣），整理可得AB2+AB﹣6＝0，解得AB＝2，（负值舍去）．（Ⅱ）因为∠CBD＝，BC＝BD，所以在△ABD中，由正弦定理，所以sin∠ABD＝•sin∠BAD＝×＝，因为∠ABD∈（0，），所以cos∠ABD＝＝＝，所以sin∠ABC＝sin（∠ABD+∠DBC）＝sin∠ABDcos+cos∠ABDsin＝＝，所以S△ABC＝AB•BC•sin∠ABC＝＝．18．有一种速度叫中国速度，有一种傲慢叫中国高铁．中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变．中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁．高铁可以说是中国一张行走的名片．截至到2024年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里．如表是2013年至2024年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份20132014201520162017202420242024年份代码x12345678运营里程y（万公里）1.31.61.92.22.52.93.53.9依据以上数据，回答下面问题．（Ⅰ）甲同学用曲线y＝bx+a来拟合，并算得相关系数r1＝0.97，乙同学用曲线y＝cedx来拟合，并算得转化为线性回来方程所对应的相关系数r2＝0.99，试问哪一个更适合作为y关于x的回来方程类型，并说明理由；（Ⅱ）依据（Ⅰ）的推断结果及表中数据，求y关于x的回来方程（系数精确到0.01）．参考公式：用最小二乘法求线性回来方程的系数公式：，．参考数据：＝42.00，令w＝lny，＝1.15．解：（Ⅰ）∵0＜r1＜r2＜1，∴y＝cedx更适合作为y关于x的回来方程类型；（Ⅱ），由y＝cedx，得lny＝lnc＝dx，即w＝lnc+dx，d＝≈0.15．lnc＝y＝cedx＝e0.14+0.15x＝e0.14•e0.15x＝1.15e0.15x．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，AC与BD交于点O，点M在线段PA上，且PM＝3MA．（Ⅰ）证明：OM∥平面PBC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由已知可知，△ABC≌△ADC，所以AC⊥BD且O为BD的中点，由BC＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，可得，所以，所以OM∥PC，又OM⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以OM∥平面PBC；（Ⅱ）解：因为PM＝3MA，所以，在△ADC中，∠ADB＝30°，∠CDB＝60°，所以∠CDA＝90°，所以，故＝，所以三棱锥P﹣MCD的体积为．20．在平面直角坐标系xOy中，A，B分别为椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，△OAB的面积为，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设斜率不为0的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点M，N，过M作直线x＝4的垂线，垂足为Q．试问：直线QN是否过定点？若过定点，恳求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c（c＞0），由题意可得，解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆C的方程为+＝1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则Q（4，y1），设直线l的方程为x＝my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝，所以my1y2＝（y1+y2）①，直线QN的方程为：y＝（x﹣4）+y1，假设直线QN过定点，则由对称性知定点在x轴上，设直线QN与x轴的交点为（x0，0），则（x0﹣4）+y1＝0，所以x0＝+4＝+4＝+4，将①式代入上式，可得x0＝+4＝+4＝+4＝﹣+4＝，所以直线QN过定点（，0）．21．已知函数（x）＝ax+sinx，x∈（0，+∞）．（Ⅰ）当a＝﹣时，函数f（x）的极大值点从小到大次记为x1，x2，x3，…，xn，…，求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）≤xex恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝﹣时，f（x）＝﹣x+sinx，所以f′（x）＝﹣+cosx，由f′（x）＝﹣+cosx＞0，得cosx＞，所以2kπ﹣＜x＜2kπ+，（k∈Z），由f′（x）＝﹣+cosx＜0，得cosx＜，所以2kπ+＜x＜2kπ+，（k∈Z），所以f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），f（x）的单调递减区间为（2kπ+，2kπ+），（k∈Z），因为f（x）的定义域为（0，+∞），所以xn＝+2（n﹣1）π．（Ⅱ）f（x）≤xex⇔ax+sinx≤xex⇔xex﹣sinx﹣ax≥0，设g（x）＝xex﹣sinx﹣ax，则g′（x）＝（x+1）ex﹣cosx﹣a，设h（x）＝g′（x）＝（x+1）ex﹣cosx﹣a，则h′（x）＝（x+2）ex+sinx，因为f（x）的定义