河北省深州市长江中学2025届高三数学上学期期中试题理含解析

PAGE16-河北省深州市长江中学2025届高三数学上学期期中试题理（含解析）一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.【详解】求解函数的值域可得，求解指数不等式可得，由交集的定义可得：，表示为区间形式即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.2.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质求得，由对数函数的性质求得，由三角函数的诱导公式，可得，即可得到答案.【详解】由题意，依据指数函数的性质，可得，由对数函数的性质，可得且，即，由三角函数的诱导公式，可得，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性的应用，以及三角函数的诱导公式的应用，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.3.下列函数既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数的是（）A. B.C.y＝x﹣1 D.y＝tanx【答案】B【解析】【分析】对各选项逐一推断即可，利用在上为增函数，在上为减函数,即可推断A选项不满意题意，令，即可推断其在递增，结合复合函数的单调性推断法则即可推断B选项满意题意对于C,D，由初等函数性质，干脆推断其不满意题意.【详解】解：依据题意，依次分析选项：对于A，在上为增函数，在上为减函数,所以y（3x﹣3﹣x）在R上为增函数，不符合题意；对于B，，所以是奇函数，令，则由，两个函数复合而成又，它在上单调递增所以既是奇函数又在（﹣1，1）上是减函数，符合题意，对于C，y＝x﹣1是反比例函数，是奇函数，但它在（﹣1，1）上不是减函数，不符合题意；对于D，y＝tanx为正切函数，是奇函数，但在（﹣1，1）上是增函数，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的推断，还考查了复合函数单调性的推断法则及初等函数的性质，属于中档题．4.已知函数，则的值为A. B.0C. D.【答案】D【解析】由题意，化简得，而，所以，得，故，所以，，所以，故选D．5.已知，，则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的基本关系式，求得，进而求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数基本关系式的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，合理应用三角函数的符号、精确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算实力，属于基础题.6.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数是奇函数，且函数过点，从而得出结论．【详解】由于函数是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以解除B和D；又函数过点，可以解除A，所以只有C符合．故选C．【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x轴的交点，属于基础题．7.函数的零点所在区间是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数零点存在性定理进行推断即可．【详解】∵，，∴，∴函数在区间(2,3)上存在零点．故选C．【点睛】求解函数零点存在性问题常用方法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件．8.已知定义在上的奇函数满意：当时，则（）．A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】先计算，再由奇函数的性质得出即可得出答案．【详解】由题意得，，函数为奇函数，所以，，故选A．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，考查对奇函数定义的理解，考查计算实力，属于基础题．9.若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得f′（x）＞0在x∈上成立，即a在x∈上成立，令g（x），求其最小值即可得出结论．【详解】解：f′（x）ax+，∴f′（x）＞0在x∈上成立，即ax+0，在x∈上成立，即a在x∈上成立．令g（x），则g′（x），∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴g（x）的最小值为g（e）=∴a＞．故选B．【点睛】本题考查学生利用导数探讨函数的单调性学问及转化划归思想的运用实力，属中档题．10.已知是定义域为的奇函数，满意.若，则（）A.-2025 B.1 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】推导出函数为周期为4的周期函数，，由此能求出【详解】是定义域为的奇函数，满意，则有，又由函数为奇函数，则，则有则函数是周期为4的周期函数，，【点睛】本题考查了函数奇偶性，周期性．通过函数的奇偶性和周期性推导出函数的周期是关键．11.已知函数，则A.在（0，2）单调递增 B.在（0，2）单调递减C.的图像关于直线x=1对称 D.的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】假如函数，，满意，恒有，那么函数的图象有对称轴；假如函数，，满意，恒有，那么函数的图象有对称中心．12.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的阅历公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.依据上述阅历公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与依据上述阅历公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中，）A.15 B.16 C.17 D.【答案】B【解析】分析：先依据阅历公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最终求两者之差.详解：因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此依据阅历公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.点睛：扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式13.设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，则可推断，故是上的增函数，结合即可得出答案.【详解】解：设，则，∵，，∴，∴是上的增函数，又，∴的解集为，即不等式的解集为.故选A.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，构造函数是解题的关键.14.已知，若存在三个不同实数使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.（0，1）【答案】C【解析】【分析】先画出分段函数f（x）的图象，然后依据图象分析a、b、c的取值范围，再依据对数函数以及肯定值函数的性质得出bc＝1，即可得到abc的取值范围．【详解】由题意，画出函数f（x）的图象大致如图所示：∵存在三个不同实数a，b，c，使得f（a）＝f（b）＝f（c），可假设a＜b＜c，∴依据函数图象，可知：﹣2＜a≤0，0＜b＜1，c＞1．又∵f（b）＝f（c），∴|log2024b|＝|log2019c|，即：﹣log2024b＝log2019c．∴log2024b+log2019c∴log2024bc＝0，即bc＝1．∴abc＝a．∵﹣2＜a≤0，∴﹣2＜abc≤0．故选C．【点睛】本题主要考查分段函数的图象画法，数形结合法的应用，肯定值函数以及对数函数的应用，不等式的性质，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.15.对不同的且,函数必过一个定点,则点的坐标是_____.【答案】【解析】【分析】依据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）必过的定点坐标．【详解】依据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝+3＝4，∴点A的坐标是（2，4）．故答案为（2，4）．【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，属于基础题．16.函数在的零点个数为________．【答案】【解析】【分析】求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．【详解】详解：由题可知，或解得,或故有3个零点．【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．17.《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤(两)还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两_____文，他所带钱共可买肉_____两．【答案】(1).(2).【解析】【分析】设出肉的单价，列出等式，解出即可．【详解】设肉价是每两文,则，解得，他所带钱共可买肉两．故第一空填6,其次空填11．【点睛】本题考查一元一次等式的应用，属于基础题．18.已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种状况探讨；当时，采纳参变分别，构造函数求最值.【详解】（1）当时，，过定点，对称轴为，当时，，解得：，所以；当时，在单调递减，且，所以；所以在恒成立，可得.（2）当时，恒成立，即恒成立，令，则，当时，，所以在单调递增，当时，，所以在单调递减，所以.综合（1）（2）可得：.【点睛】本题探讨二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使探讨的过程更简洁，即只要探讨对称轴和两种状况.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.化简下列各式并求值：(1)(2)已知tanx=，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依据对数运算及指数运算，化简即可求值．（2）依据诱导公式，推断符号与三角函数形式，代入化简即可．【详解】（1）原式=（2）原式=【点睛】本题考查了指数、对数的基本运算，三角函数诱导公式的简洁应用，属于基础题．20.二次函数满意，且.（1）求的解析式；（2）在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设，将已知代入即可求解.（2）由题意，结合（1）得，采纳分别参数法可得在恒成立，只需即可.【详解】（1）设，则.因为，解得又，（2）由题意，得，即对恒成立.易得，即.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化与化归的思想，属于基础题.21.已知函数.（Ⅰ）求的值及函数的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值.【答案】（Ⅰ）；最小正周期为；（Ⅱ）最小值为【解析】【分析】利用二倍角公式和协助角公式整理函数为；（Ⅰ）代入可求得；依据正弦型函数最小正周期可求得结果；（Ⅱ）利用的范围求出的范围，结合正弦函数图象可求得结果.【详解】（Ⅰ）最小正周期（Ⅱ）当时，，即最小值为：【点睛】本题考查正弦型函数的函数值、最小正周期、最值的求解问题，涉及到利用二倍角公式和协助角公式化简三角函数为正弦型函数的形式，属于常考题型.22.已知函数,在曲线上的点处的切线与直线平行.（1）若函数在时取得极值，求，的值；（2）在（1）的条件下求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可知；依据极值与导数的关系可知，由此可得到关于的方程组，解方程组求得结果；（2）依据导函数的符号即可确定原函数的单调区间.【详解】（1）由题意得：在处的切线与直线平行在处取得极值由得：（2）由（1）得：，令得：，当和时，；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为【点睛】本题考查利用导数探讨函数的相关学问，涉及到导数几何意义的应用、导数与极值的关系、利用导数求解函数的单调区间等学问.23.已知函数.（1）当时，探讨的导函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】(1)当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；(2).【解析】【分析】（1）对函数进行求导，然后分