人教A版（2019）选修第二册 导数的概念及其几何意义（含解析）

人教A版（2019）选修第二册5.1.2导数的概念及其几何意义

（共19题）

一、选择题（共11题）

1.某物体的运动方程为s（t）=3t2（位移单位：m,时间单位：s）,若v=lim5（3+^~s（3）=

18m/s,则下列说法中正确的是（）

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体从3s至lj（3+4t）s这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到（3+4t）s这段时间内的平均速度

2.已知函数y=f（x）在R上可导，则limx）=（）

Ax-^03Ax

A.r⑴B.|/''（1）c.|r（i）D.|r⑴

3.一质点在时间段［1,1+4t］内的平均速度为-3a-6,则该质点在t=l时的瞬时速度是

（）

A.-3B.3C.6D.-6

4.已知函数y=f（x）在x=0处的导数为1,则lim=（）

Ax-^02ZJX

A.0B.-C.1D.2

2

5.函数f［,x）=l-x+x2,则函数y=/（x）在x=3处的瞬时变化率为（）

A.7B.6C.5D.8

6.函数f（x）在x=处的导数可表示为尸（沏），即（）

A.r（x°）=f(xQ+Ax)-/(x0)

B.f(%0)=lim[/'(%()+Ax)-/(Xo)]

_hm/(Xo+4x)_f(%0)

C.

ra。)zlx->04%

_/(&+4%)_/(配)

D.。)

raAx

7.函数y=f(x)的自变量%由％o变化到x0+时，函数值的改变量为()

A.f(x0+Ax)B./(x0)+Ax

C./(&)•/%D./(x0+4%)-/(x0)

8.某物体的运动方程为s(t)=3户，若P=lim^M.18m/s(位移单位：m,时间单位:

s),则下列说法中正确的是()

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体从3s到(3+4t)s这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到(3+4t)s这段时间内的平均速度

9.已知〃久)=3/+5,则自变量%从0.1到0.2的平均变化率为()

A.0.3B.0.9C.0.6D.1.2

10.已知函数/(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()

A.0</,(2)</'(3)</(3)-/(2)

B.0<。2)<"3)—"2)<广(3)

C.0<r(3)<〃3)-/(2)<f'(2)

D.0</(3)-/(2)</-'(2)</'(3)

11.已知函数=八2则函数/Q)在％=1处的导数为()

A.2B.3C.4D.6

二、填空题(共5题)

12.人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c(单位：mg/mL)来表示，它是时间t

(单位：min)的函数，表示为c=c(t),下表给出了c(t)的一些函数值：

t/(min)0102030405060708090芽尸

c(t)/(mg/mL)0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63b内后30~

70min这段时间内，药物浓度的平均变化率为一.

13.己知曲线y=x2-l上两点4(2,3),8(2+Ax,3+dy),当=1时，割线AB的斜率

是____；当=0.1时，割线AB的斜率是.

14.过函数y=x3图象上零点P(l,l)和Q(l+4x,l+4y)作曲线的割线，则当Ax=0.1时割线

的斜率为—.

2

15.已知曲线/(x)=2x+l在点M(xo，f(xo))处的瞬时变化率为-8,则x0的值为，点M

的坐标为一.

16.已知y=/(x)的导数存在，且盘f⑵=-2,则函数y=/(%)在x=2处的导数

是—.

三、解答题(共3题)

17.已知曲线y-/(x)=x2,y=g(x)=：，过两条曲线的交点作两条曲线的切线，求两切线与x

轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率，否则只得结论分)

18.已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)=^nr3.

(1)求半径r关于体积U的函数r(V)；

(2)比较体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L时半径r的平均变化率，哪段半径变

化较快(精确到0.01)?此结论可说明什么意义？

19.一条水管流过的水量y(单位：m3)是时间x(单位：s)的函数y=f(x),其中/(x)=3%.

(1)求函数y=f(x)在x=2处的导数/'⑵；

(2)((2)的实际意义是什么？

答案

一、选择题(共11题)

1.【答案】c

【解析】V=lims(3+4：)-s⑶是物体在3这一时刻的瞬时速度.

AJOAts

故选C.

2.【答案】D

【解析】根据导数的定义，

4XT03Ax

=lim["(i+4x)-f(-x)]

Zlx->0L32AXJ

=£hm)

3d%T。2Ax

3.【答案】D

【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t=l时的瞬时速度为lim(-3zlt-6)=

-6.

4.【答案】B

5.【答案】C

【解析】由f(x)=1-x+x2得/'(x)=-1+2x,

所以尸(3)=5,即函数y=fM在x=3处的瞬时变化率为5.

故选C.

6.【答案】C

【解析】根据导数的定义可知C正确.

7.【答案】D

【解析】分别写出X=%0和X=x0+Ax时对应的函数值/(%0)和+

两函数值相减就得到了函数值的改变量，

所以=/(x0+Ax)-/(x0).

8.【答案】C

【解析】根据题意，v=lim7产=18m/s,

即物体在3s这一时刻的瞬时速度是18m/s.

9.【答案】B

【解析】Ay=/(0.2)-/(0.1)=0.12+5-0.03-5=0.09,可得平均变化率孚=黑7=0.9.

AX0.2—0.1

10.【答案】C

【解析】A,B两点连线的斜率=

f'(2)为函数/(%)的图象在点8(2,f(2))处的切线的斜率，

r⑶为函数/(x)的图象在点/1(3,/(3))处的切线的斜率，

根据题中图象可知0<r(3)<f(3)-/(2)<尸⑵.

11.【答案】D

【解析】易得/⑴=4,

/(1+4。)一/⑴

Ax

3(1+4X)2+1-4

=lim(6+34x)

二、填空题(共5题)

12.【答案】-0.002

13.【答案】5；4.1

14.【答案】3.31

【解析】当Ax=0.1时，l+4x=l.l；

故1+4y=1.13=1.331；

故跖<2=与鲁=3.31.

15.【答案】一2；(-2,9)

【解析】因为s=/(x)=2x2+1,

所以32*=迎曳*卫匕=4%+2九,

所以在点M(xOl/(x0))M(x0,/(x0))处的瞬时变化率为尸(X0)=lim(4x0+2h)=4x0=-8,得

Xo=-2,

所以/(-2)=9,因此点M的坐标为(一2,9).

16.【答案】一4

【解析】因为［“*-"2)=一2,

-02X

所以-lim/(x+2)~/(2)=-2,

2x-*0x

］而小汕0=_4,

XT。X

所以r(2)=-4,故答案为一4.

三、解答题(共3题)

17.【答案】由『=广得

ly=7u=1•

故两条曲线的交点坐标为(i,i),两条曲线切线的斜率分别为

⑴二£3经曰5

r=lim=Hm(,=lim(Jx+2)=2,

4x->04%4x-*04XT0

，⑴=g(4x+i)-g⑴=S±xZIig(--—)=-1.

uAlxi-m^oZH1Xm-*O=Ax-^o\21X4-1/

所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-l=-(x-1),

即y=2x—1与y=-x+2,两条切线与x轴的交点坐标分别为(：，。)，(2,0),

所以两切线与x轴围成的三角形的面积为|xlx|2-i|=J.

18.【答案】

(1)因为U=(nr3,

所