全国初中数学联合数学竞赛试题及答案

1991-2005年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案

一1九九一1年

第一■试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A)、(B)(C)、(D)四个答案结论，

其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.设等式Ja(x-a)+-a)=在实数范围内成立,其中

a,x,y是两两不同的实数，则31+盯一丫的值是

x一盯+y

(A)3；(B)-；(C)2；(D)

33

答()

(C)生^或T±1；(D)±T±括.

222

答()

[1_1_____

4.已知：x=-(199P-1991")(n是自然数).那么(x-J1+/)',的值

是

(A)199K1；(B)-199K1；

(C)(-1),!1991；(D)(-1)"1991T.

答()

5.若Ix2x3x…x99xl00=12"”,其中•为自然数，n为使得等式成立的

最大的自然数，则〃

(A)能被2整除，但不能被3整除；

(B)能被3整除，但不能被2整除；

(C)能被4整除，但不能被3整除；

(D)不能被3整除，也不能被2整除.

答()

6.若a,c,d是整数，人是正整数，且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,

那么

a+b+c+d的最大值是

(A)-1；(B)-5；(C)0；(D)1.

答()

7.如图，正方形。/依内接于△金C.已知△力佩△及加和ACRQ的面积分

另U是5=1,5=3和53=1,那么，正方形力切？X

(A)V2；(B)73；(C)2；(D)3.

答()/\

/A=3|Z

BPQC

8.在锐角A4?。中，AC=1,AB=c,ZA=60°,A49C的外接圆半径RW

1,则

(A)-<c<2；(B)0<c^-；

22

答()

(C)c〉2；(D)c=2.

答()

二、填空题

1.5是平行四边形"口中式'边的中点，力£交对角线劭于G,如果△第6

的面积是1,则平行四边形力四的面积是.

2.已知关于x的一元二次方程以2+&+。=0没有实数解.甲由于看错了

二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两

2b+3c

根为一1和4,那么,

a

3.设加，n,p,g为非负数，且对一切x>0,也半1—1=皿匕恒成立,

xnxq

则

(m2+2〃+p产=

4.四边形4?⑦中，Z4欧=135°,/BCD=120°,AB=46,BC=5—C,

CD=6,贝lj4〃=.

JC

120°

135°

D

第二试

x+y,x—y,xy,X

y

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（X,y）.

二、比'中，AB<AC<BC,。点在a1上，£点在掰的延长线上，且

BD=BE=AC,△9的外接圆与A4a1的外接圆交于尸点（如图）.

求证：BF—AF-\-CF

三、将正方形力四分割为/个相等的小方格（〃是自然数），把相对的顶

点力，。染成红色，把6,〃染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜

色.证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.

一九九二年

第一试

一.选择题

本题共有8个题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论，其中只有一个是

正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足M+仍=1的非负整数(a,b)的个数是

(A)l;(B)2;(C)3;(D)4.

22

2.若x0是一元二次方程ax+bx+c=0(a丰0)的根，则判别式A=b-4ac与

平方式”=(2a/+b)2的关系是

(A)A>M(B)A=M(C)A>M;(D)不确定.

3.若/—I3x+1=0,则x4+%-4的个位数字是

(A)l;(B)3;(C)5;(D)7.

答()

4.在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的边长皆大于1且小于后,则这个

多边形的边数必为

(A)7;(B)6;(C)5;(D)4.

答()

5.如图，正比例函数y=x和y=ax(a〉0)的图像与反比例函V*数

y=&(4〉0)的图像分别相交于A点和C点.若放AA03和AC。。\A

的面积分别为Si和S2,则Si与s2的关系是

(A)Si>S2(B)S1=S2qBD

(OSes2(D)不确定答()

6.在一个由8x8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,

若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为，，把圆周经过的所有小

方格的圆内部分的面积之和记为&，则、的整数部分是

S,

(A)0;(B)l；(C)2;(D)3.

答()

7.如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,

ZA=60°，又E是底边AB上一点，且FE=FB=AC,FA=AB.

则AE-.EB等于

(A)l:2(B)l:3

(C)2:5①)3:10

答()

8.设尤1，z,人,…，尤9均为正整数，且

%1<x2<■■■<x9,Xj+x2H—+x9=220，贝U当+x2+x3+x4+x5的值最大

时,x9-Xj的最小值是

(A)8;(B)9;(C)10;(D)ll.

答()

二.填空题

L若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15a”,则这个等腰

三角形的面积等于.

2.若xw0,则Vl+x2+x4-Vl+g的最大值是.

3.在AABC中,NC=90°,NA和N3的平分线相交于P点，又PE1AB于E点,

若BC=2,AC=3,贝.

4.若a力都是正实数，且工二-一—=0,则(与+(q)3=__________.

aba+bab

弟一

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程f—6x+a=0的两根，当

这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在AABC中，A3=AC,。是底边上一点，E是线段AO上一

点，<ABED=2ZCED=ZA.

求证：BD=2CD.

三、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0,1,2,3,5,6这六个不

同数字组成，现有四个编码如下：

A：320651B：105263

C：612305D：316250

已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同.D恰有三个

数字的位置与M和N相同.试求：M和N.

一九九三年

第一试

一.选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个

是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式——/+1除以了2—1的余式是

(A)l;(B)-l;(C)x-l;(D)x+1;

2.对于命题

I.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

II.内角相等的圆内接四边形是正四边形，以下四个结论中正确的是

(A)I,n都对(B)I对，n错(c)I错，n对.⑻工，n都错.

3.设x是实数，y=|x-l|+|x+l|.下列四个结论：

I.y没有最小值；

II.只有一个X使y取到最小值；

HI.有有限多个x(不止一个)使y取到最大值；

IV.有无穷多个x使y取到最小值.

其中正确的是

(A)I(B)II(C)III(D)IV

4.实数看,工2，%,%4，%5满足方程组

Xj+X2+X3=%；

+x=2；

x2+x34。

<X++x=3；

3x45。

x4+X5+Xj=。4；

x5++x2=a5.

a>a

其中2M3，。4，。5是实常数,且％〉。2>34〉。5，则毛,£,%，了4，的

大小顺序是

(A)>x2>x3>x4>x5;(B)x4>x2>>x3>x5;

(C)x3>Xj>x4>x2>x5;(D)x5>x3>>x4>x2.

5.不等式x-l<(x-l)2<3x+7的整数解的个解

(A)等于4(B)小于4(C)大于5(D)等于5

6.在AABC中，NA是钝角，。是垂心,A0=3C,

则cos(ZOBC+NOCB)的值是

⑹一年⑻餐

(D)-g.

答()

7.锐角三角ABC的三边是a,b,c,它的外心到三边的距离分别川

为m,〃,p,那么m:n:p等于%\

(A)-:y：(B)a:b:c

abc

(C)cosA:cosB:cosC(D)sinA:sinB:sinC.

答()

：+尸可以化简成

8电端

(A)V3(V2+1);(B)V3(V2-1)(C)V2-1(D)V2+1

答()

二.填空题

1.当X变化时，分式“2的最小值是.

+X+1

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,

且每四个相邻的盒里共有30个小球，那么最右面的盒里有个小球.

3.若方程(/—1)(1―由=%有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点

等距排列，则4=.

4.锐角三角形ABC中,NA=30。.以边为直径作圆，与AB,AC

分别交于O,E,连接。瓦把三角形ABC分成三角形AOE与四边形

BDEC,设它们的面积分别为51,%贝US,:S2=.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底

边BC的距离变小，这时乘积也比应研的值变小，变大，还是不变?

证明你的结论.

二AA3C中，BC=5,AC=12,AB=13,在边A34C上分别取点。，E,使线段

DE将AABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

E

0EH

三.已知方程=0及，+CX+Z?=0分另！J各有两个整数根X],%2及X；，E，

且工1工2〉0,XlX2，>0.

r

(1)求证:不<0,x2<0,x[<0,x2<0;

(2)求证:/?-1WCWZ?+1;

⑶求。了所有可能的值.

1994年全国初中数学联赛试题

第一试

（4月3日上午8：30—9：30）

考生注意：本试共两道大题，满分80分.

一、选择题（本题满分48分，每小题6分）

本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论，其中只有一个

是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写

在圆括号内），一律得0分.

1.若0<a<l,则la2+4--2（1+-）x-

¥aa1+a

可化简为

A.-B.—C.1-a2D.a2-1

1+aa+1（答）（）

2.设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,z

A.都不小于0B.都不大于0

C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0（答）（）

3.如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余

三边BC,CD,DA相切，若BC=2,DA=3,则

AB的长

A.等于4B,等于5

C.等于6D.不能确定

（答）（）

4.当衣=1+*9叶时,多项式（4=3—1—1994）2001

的值为

A.1B.-1C.22001D.-22001

（答）（）

5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD

相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角

A.4对B.8对

C.12对D.16对

【答）（）

6.若方程Jx-p=x有两个不相等的实根,则实

数P的取值范围是

1

<

p-

4

B,1

D.>

P-

4答

7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。若

BC=a,AC=b,AB=c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF的值是

A--(at>4-be-Fca)B.—Ca2+h>2*c2)

C.—(at>+bc+ca)D.—(a2t>2c2)()

()

8.若£=6>=19疗(其中a,6是自然教),且

询—-t--=—,贝U2a+b的—可育岂的用

nyn

A.1001B.1001,3989

C.1001,1996D.1001,1996,3989（答）（）

二、填空题（本题满分32分，每小题8分）

各小题只要求在所给横线上直接填写结果.

+Z2_c

1.若在关于W的•宣等式

x2+X—2n+ax+t>

中.言;%为最荷分式,且有4b.a+b=c.则N

2.当|x+l|<6时，函数y=x|x|-2x+1的最大情

是__________.

3.在AABC中，设AD是高，BE是角平分线，若BC=6,CA=7,AB=8,

则DE=.

4.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两

两外切，若要有用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个

大圆形纸片的最小半径等于.

第二试

（4月3日上午士：00—11：30）

考生注意：本试共三道大题，满分60分.

一、（本题满分20分）

如图所示，在AABC中，AB=AC.任意延长CA到P,再延长AB到Q,

使AP=BQ.求证：

△ABC的夕卜心O与A,P,Q四点共圆。

二、（本题满分20分）

周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证

明；若存在，请证明共有几个？

三、（本题满分20分）

某次数学竞赛共有15个题.下表是对于做对n（n=0,1,2,……,15）个题的

人数的一个统计.

n0123.......12131415

做对n个题的人数781021.......15631

如果又知其中做对4个题和4个题以上的学生每人平均做对6个题，做

对10个题和10个题以下的学生每人平均做对4个题.问这个表至少统计了

多少人？

1994年全国初中数学联赛参考答案

第一试答案

一、选择题；

小题号12345678

答案ADBBDCBC

二、填空题：

1.42.163.幽413工

43

第二试提示及答案.

一、连结OA,OC,OP,OQ.证明△OCP之ZXOAQ,于是

ZCPO=ZAQO,所以O,A,P,Q四点共圆.

二、这样的三直角三角形存在，恰有一个，

两条直角边为三?与上?，斜边为力

三、这个表至少统计了200人.

1995年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1.已知a=355,b=444,c=533,则有[]

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

2.方程组[对+*=",的正整数解的组数是

[xz-yz=23

[]

A.1B.2C.3D.4

3.如果方程(X—1)(x2—2x—m)=0的三根可以作为一个三角形的三

边之长，那么实数m的取值范围是I1

3

.A.-O<m.<1B.mH——

4

33

C.—<m<1D.—<m<1

44

4.如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆

的周长为[]

A.62nB.63nC.64nD.65n

5.设AB是。O的一条弦，CD是。。的直径，且与弦AB相交，记M

=

।^ACAB—SADABI,N=2SAOAB，则[]

A.M>NB.M=NC.M<ND.M、N的大小关系不确定

6.设实数a、b满足不等式IIaI—(a+b)I<Ia—la+bII,则

[]

A.a>0且b>OB.aVO且b>0

C.a>0且b<OD.aVO且bVO

二、填空题

1.在12,22,32…，952这95个数中，十位数字为奇数的数共有

个。

2.已矢口a是方程—=O的布艮，贝U

4

5,"1——的值等于_______.

3.设x为正实数，则函数y=xa-x+工的最小值

X

是

4.以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O,C是半圆周上的点，且

0C-AC•BC,则NCAB=.

第二试

一、已知NACE=NCDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD,经A、

C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为4CDE的内心。

二、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数

的点称为整点，试在二次函数y=+2

的图象上找出满足y<IxI的所有整点(x,y),并明理由

三、试证：每个大于6的自然数n,都可以表示为两个大于1且互质的

自然数之和。

1995年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.讲解：这类指数募的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指

数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有

c=(53)11=12511

<24311=(35)11=a

V256”=(44)u=b。选C。

利用lg2=0.3010,lg3=0.4771计算Iga、Igb、Ige也可以，但没有优越

性。

2.讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z=l,进而可求出

两个解：(2,21,1)、(20,3,1).也可以不解方程组

(xy+y=63,①

x+y=23,

直接判断：因为xWy(否则不是正整数)，故方程组①或无解或有两个解,

对照选择支，选B。

3.讲解：显然，方程的一个根为1,另两根之和为X]+X2=2>1。三

根能作为一个三角形的三边，须且只须IX1—X2I<1又

IX]-x2I=Jj=44-4m<1,

有0W4—4mVL

解得

但作为选择题，只须取m=之代入，得方程的根

4

为1、3、1,不能组成三角形，故包括之的A、B、

224

D均可否定，选C.

4.讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在

.星匪二X省，

AB2+AD2

=252+602

=52X(52+122)

01

=52x132

=（32+42）X132

=392+522

=BC2+CD2

故可取BD=65为直径，得周长为65n,选D.

5.讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考

生的理由是错误的.比如有的考生取AB为直径，则M=N=0,于是就选

图2

B.其实，这只能排除A、C,不能排除D.

不失一般性，设CENED,在CE上取CF=ED,贝【」有OF=OE,且54

ACE—△ADE=△AEF=△AOE,同理，S—△BOE-

ABCESABDE=2S

若过C、D、O分别作AB的垂线（图3）,CE_LAB、DFLAB、OL±

AB,垂足分别为E、F、L.连CF、DE,可得梯形CEDF.又由垂径分弦

定理，知L是EF的中点.根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的

连线平行底边，并且等于两底差的一半，有

ICE-DFI=20L.

两边乘以可得

即乂=1^.选B.

6.讲解：取a=-l、b=2可否定A、C、D,选B.一般地，对已知不

等式平方，有

IaI(a+b)>aIa+bI.

显然IaII(a+b)I>0(若等于0,则与上式矛盾)，有

a+b〉a

Ia+bIlai,

两边都只能取1或-1,故只有1>-1,即

a+b=1a=_1

Ia+bIIaI

有aVO且a+b>0,从而b>-a>0.选B.

二、填空题

1.讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力.经

计算了,22,…，102,知十位数字为奇数的只有42=16,62=36.然后，

对两位数10a+b,有

(10a+b)2=20a(5a+b)+b2.

其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也

中有b=4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1,2,…，95

中个位数出现了几次4或6,有2X9+1=19.

2.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a

=二铲代入将导致复杂的计算.

由已知，有a2+a=；,①

原式=(71)但?+1)

a2(a-1)(a+I)2

14

=("+@)+1=1_=2Q

(")2字-

学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a?

+a作为整体代入.这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活.比

如，由①有

a3+a2=②

543

a+a=-^-a③

4

由②一①，得

a3-a=1).④

由③一②并将④代入，得

£+小--=*3-,)=如-1).

⑤

于是，原式=-^^-=16(a2+a+l)

=16(1+1)=20.

还可由①得

a2+a+1=,

⑥小⑤即得所求.

3.讲解：这个题目是将二次函数y=x2—x与反比例函数

y=工作叠加，要求学生在掌握二次函数求最值

X

（配方怯）的基础上，做综合性与灵活性的运用.

进行两次配方：

1

y=(x-1)2+(我一

耳+1>1,

X

因而x=l时，y有最小值1.

4.讲解：此题由笔者提供，原题是求sin

ZCAB,让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值

sin75°、sinl5°.解法如下：

图5

首先NACB=90°,进而OC=gAB,代入己

知条件，有

gAB)2=AC・BC,①

与AB2=AB2+AC2②

联立，可推出

AC+BC=^|AB.③

而式①、③表明，AB、AC是二次方程

x2-J|ABX+岁=。的两个根，解得

Xl.24

当BC=■十—AB时,

4

sinNCAB=盖=在卫(NCAB=75。)；

当BC=必;、也AB时,

sinNCAB=提=丹后(NCAB=15。).

改为求NCAB之后，思路更宽一些.如，由

2

SAABC=|AC-BC=1OC,

2

S^C=2SAA0C=2-10CsrnZAOC,

得stn/AOC=g.

当NAOC=30°时，ZCAB=^(180°-30°)

=75°；

当NAOC=150°时,NCAB=g(180。-150°)

=15°

第二试

一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：

在直角AABC中，斜边BC上的高，过AABD的内心与4ACD的内心的直

线分别交边AB和AC于K和L,AABC和△AKL的面积分别记为S和T.求

证SN2T.

在这个题目的证明中，要用到AK=AL=AD.

今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK=AL=AD（斜边上的

高），再求证KL通过AABD、ZXADC的内心（图7）.

其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、

FE,然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后

证明其中两条垂线段相等.下面是几个有代表性的证法.

证法1：如图6,连DF,则由已知，有

ZCDF=ZCAB=45°=-ZCDE,故DF为

NODE的平分线.

连BD、CF,由CD=CB,知

/FBD=NCBD—45°

=NCDB—45°=NFDB,

得FB=FD,即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，

从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是NECD的平分线.

由于F是4CDE上两条角平分线的交点，因而就是4CDE的内心.

证法2：同证法1,得出NCDF=45°=90°-45°=NFDE之后，

由于NABC=NFDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得

NFBD=NFDB之后，立即有NFED=NFBD=NFDB=NFEB,即EF是

NCED的平分线.

本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共

圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂.

图q

由这个证明可知，F是4DCB的外心.

ZCDF=ZCAB=45°=1/CDE,知DF是

NCDE的平分线.故F为CDE的内心.

证法4：如图8,只证CF为NDCE的平分线.由NAGC=NGBA+N

GAB=45°+N2,

ZAGC=ZADC=ZCAD=ZCAB+Z1

=45°+Z1

得N1=N2.

从而NDCF=NGCF,

得CF为NDCE的平分线.

证法5：首先DF是NCDE的平分线，故

△CDE的外R在直线DF上.

现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CA=CB=CD=d,则直线

AB是一次函数

y=-x+d①

的图象（图9）.若记内心I的坐标为（xi，yj则

Xj+y^CH+lH

=CH+HB=CB=d

满足①，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点.由交点的

唯一性知I就是F,从而证得F为Rt/XCDE的内心.

还可延长ED交。。于P],而CP为直径来证.

二、讲解：此题的原型由笔者提供.题目是:

坐标平面上纵、横坐标均为整数的点称为格点.

2

对二次函数y=1x+|X-1995,请找出其位

于第一象限内，纵坐标小于横

坐标的格点.

这个题目的实质是解不等式

l<1x2+^x-1995<x,

求正整数解.直接解，数字较繁.但有巧法，由

1+2+…+x=x（xj）=i995+y

及iWyVx,

知1+2H-----F(x-l)<1995<l+2H-----Fx.

但1953=1+2H-----|-62<1995<1+2H-----F62+63=2016,得x=63,从

而y=21,所求的格点为(21,63).

经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算.

解法1：已知即/不+184|x|,

有x2—x+18W10Ix|.

当xNO时，有x2—llx+18W0,

得2WxW9,代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);

当xVO时，有

x?+9x+18WO,

得-6WxW-3,代入二次函数，得合乎条件的2个整点：

(-6,6),(-3,3).

解法2：由丫=x(x-]3+18为整数,知*关于模10的

余数只能为2(或-8)、、7(或-3)、9(或-1).

对xNO,取x=2,4,7,9,12,14,…顺次代入，得(2,2)、(4,3)、(7,6)、

(9,9),且当x>9时，由

1〃1149、1...II2491

y-x=—[(x--)2--]>—[(9----]=

10141024

0,知y〉-x,再无满足jKIxI的解.

对x<0,取x=-l,-3,-6,-8,…顺次代入，得(-3,3)、(-6,6),且当x<-6

时，由

+M=—^―[(x-4-—)2

y

102

>

知y>-x,再无满足yWIx|的解.

故一共有6个整点，图示略.

解法3：先找满足条件y=Ix|的整点，即分别解方程

X2—llx+18=0①

x2+9x+18=0②

可得(2,2)、(9,9)、(-6,6)、(-3,3).

再找满足y<IxI的整点，这时

2VxV9或-6VxV-3,

依次检验得(4,3)、(7,6).故共有6个整点.

三、讲解：直观上可以这样看，当n>6时，在2,3,…，n—2中，必有

一个数A与n互质(2WAWn-2),记

B=n—AN2,

Wn=A+B.

此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d>l,贝Ud也是n的约数，从

而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾.

但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把

它具体找出来.

(1)当n为奇数时，有

n=2+(n—2),

或『暝+n+1

(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有

n+4

n=吟+

由n〉6知三且雪、式均为奇数,

(守，吟=(啜4)=1.

(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有

_n_2In+2

n~—+—

由n〉6知气2〉1,且三2、笠2均为奇数,

n-2n+2n-2

)=(­2)=1.

222

1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.实数a、bj1何足ab=l,------卜_1.,

1+a1+b

N=———I■—-—,贝UM、Z的关系为[]

14-a1+b

A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定

2.设正整数a、m、n满足Ja?-4点='底-金,

则这样的a、m、n的取值[]

A.有一组B.有二组C.多于二组D.不存在

3.如图，A是半径为1的圆。外的一点，0A=2,AB是圆0的切线，B

是切点，弦BC〃OA,连结AC,则阴影部分的面积等于[]

-I-J_〉-----

6-----3--------------------------------4-----8

4.设xrX2是二次方程x?+x-3=0的两个根，那么x『—4x22+19的值等

于[]

A.-4B.8C.6D.0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必

通过这个三角形的[]

A.内心B.夕卜心C.重心D.垂心

6.如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的

正多边形的个数有[]

A.4个B.8个C.12个D.24个

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数X。、y0是方程组的解，则

y=|x|4-1

xo-1-yo=-

2.如图，在AABC中，AB=AC,ZABN=ZMBC,BM=NM,BN=a,

则点N到边BC的距离等于.

「~~A~MV

3.设1995x3=1996y3=1997Z3,xyz>0,且

V1995x34-1996y3+1997z3=到1995+\1996+#1997,

i111

贝mi11一+—+—=.

xyz

4.如图，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至

AB，C'D'的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是

第二试

一、（本题满分20分）

某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐

款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等，都是

（m•n+9m+lln+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每

人的捐款数.

二、（本题满分25分）

设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行

线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM

为半径的圆上一点（位置如图所示），求证：NOPF=NOEP.

三、(本题满分25分)

已知a、b、c都是正整数，且抛物线丫=a*2+6*+(:与x轴有两个不同的交

点A、B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.

1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.B2.A3.B

4.D5.A6.C

二、填空题

2.---------a

2

3.14.2——、后

第一试

、

解据题意m+ll=n+9,且整除mn+9m+lln+145,而

mn+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46,故m+U,n+9都整除46,由止匕得

产①或②在o时,得每人捐款25元；在

②时，每人捐款47元.

综上可知，每人捐款数为25元或47元.

二、

证作AD、B0的延长线相交于G,VOE

IlGA,在ZXCGA中有£巴=季＞,且在ZXBGA中,

OMGA

OMGD...OFOM=曰心巫a

=由此传=7=而。MTE圆。的半径,

OEGAOMOE

CFCP

等于OP,-=—,△POFSZXPOE,「.NOPF

OPOE

=NOEP.

G

解据题意，方程ax2+bx+c=0有两个相异根，都在(-1,0)中，故

a-b+c>0,—<1,且廿一4起〉0①，可见a-b

a

+c)l②，且a〉c③.所以a+c》b++

可得>1,由③得+・.a〉

4,又b〉2疝》2、酝f〉4.现分别取a、b、c的

最小整数5,5,1.

经检验，符合题意，.'a+b+c=H最小.

一九九七年

第一试

一.选择题

本题共有6小题，每一个小题都给出了以(A),(B),(C),(D)为代号的四个答案,

其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.

L下述四个命题

(1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1；

(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

(3)/的平方根是±时；

(4)大于直角的角一定是钝角.

(A)l个(B)2个；(C)3个；(D)4个.

答()

44

2.已知厂4L<X<L厂，那么满足上述不等式的整数X的个数是

V3+V2V5-V3

答()

(A)4;(B)5;(C)6;(D)7.

答()

3.若实数a,b,c满足a?+/+C2=9,代数式(q_02+3_c)2+g—°)2的最

大值是

(A)27(B)18;(C)15;(D)12.

答()

4.给定平面上几个点，已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点

数〃的最小可能值是

(A)4;(B)5;(06;(D)7.答()

5.在梯形ABCD中，AD=DC,ZB=30°,ZC=60°,E,M,F,N分别为

AB,BC,CD,DA的中点，已知BC=7,MN=3,则EF之值为

BMC

(A)4⑻4(C)5;(D)6.答(

6.如图，已知NA=NB,A4,PR,BBX均垂直于

4品，A4]=17,=16,3用=20,4名=12,贝U月产例等于月/

(A)12；(B)13；(C)14；(D)15.答()

二、填空题

1.从等边三角形内一点向三边作垂线，已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,

则这个等边三角形的面积是.

2.当。取遍0到5的所有实数值时，满足3b=a(3a-8)的整数b