高一数学必修第二册同步学与练（人教版）第05讲 频率与概率（频率的稳定性、随机模拟）（原卷版）

第05讲10.3频率与概率（10.3.1频率的稳定性+10.3.2随机模拟）课程标准学习目标①通过实验让学生理解当试验次数较大时，实验频率稳定在某一常数附近，并据此能估计出某一事件发生的频率。②通过对实际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值。③理解随机模拟试验出现地意义。④利用随机模拟试验求概率。1.数学建模：概率的应用2.逻辑推理：频率与概率的关系3.数学运算：频率与概率的计算4.数据抽象：概率的概念5.数学抽象：随机模拟试验的理解．6.数学运算：利用随机模拟试验求概率.知识点1：频率与概率1.1随机事件的频率在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现,称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率.1.2频率的特点

随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频率有以下特点.

①在某次随机试验中，事件发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势.

②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可能性会减小.

③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映.1.3频率的稳定性(用频率估计概率)

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率.【即学即练1】（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115据此估计甲获得冠军的概率为.【答案】【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，故估计甲获得冠军的概率为.故答案为：知识点2：生活中的概率2.1游戏的公平性

在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的.2.2天气预报的概率解释

天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样.

另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨.【即学即练2】（多选）（2023上·高一课时练习）“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是（

）A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨C．北京和上海都可能没降雨D．北京降雨的可能性比上海大【答案】BCD【详解】北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确．故选：BCD知识点3：随机模拟3.1随机数的定义

随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等.

3.2产生随机数的方法

①利用抽签法产生随机数

要产生（）之间的随机整数，把个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数.②利用计算机或计算器产生伪随机数

计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数.3.3用随机模拟法估计概率

①随机模拟法产生的必要性

用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行，因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复.②随机模拟法估计概率的思想

随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.③随机模拟法的优点不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.④随机模拟法的步骤建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果.【即学即练3】（2023上·广东佛山·高二校联考阶段练习）规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.故选：A.题型01频率与概率之间的联系与区别【典例1】（2023上·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考期中）下列命题中正确的是（

）A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2【典例2】（2023上·湖北·高二赤壁一中校联考开学考试）在抛掷硬币试验中，记事件A为“正面朝上”，则下列说法正确的（

）A．抛掷两枚硬币，事件“一枚正面，一枚反面”发生的概率为B．抛掷十枚硬币，事件B为“抛掷十枚硬币，正面都朝上”没有发生，说明C．抛掷100次硬币，事件A发生的频率比抛掷50次硬币发生的频率更接近于0.5D．当抛掷次数足够大时，事件A发生的频率接近于0.5【典例3】（2023·全国·高一随堂练习）根据统计，某篮球运动员在5000次投篮中，命中的次数为2348次．(1)求这名运动员的投篮命中率；(2)若这名运动员要想投篮命中10000次，则大概需要投篮多少次？（结果精确到100）(3)根据提供的信息，判断“该篮球运动员投篮3次，至少能命中1次”这一说法是否正确．【变式1】（2023下·新疆喀什·高一校考期末）给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是.其中正确命题有（）A．① B．② C．③ D．④【变式2】（多选）（2023上·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）下述关于频率与概率的说法中，错误的是（

）A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．【变式3】（2023上·四川达州·高二校考阶段练习）某人抛掷一枚硬币80次，结果正面朝上有43次.设正面朝上为事件A，则事件A出现的概率为．题型02用随机事件的频率估计概率【典例1】（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手机支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机抽取1人，则该顾客年龄在内且未使用手机支付的概率为（

）.顾客年龄（岁）20岁以下70岁及以上手机支付人数31214132790其他支付方式人数0029551A． B． C． D．【典例2】（2024上·河北石家庄·高二统考期末）天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为.【典例3】（2022上·上海·高二上海市民办扬波中学校考期末）受全球新冠疫情影响，2020东京奥运会延期至2021年7月23日到8月8日举行，某射箭选手积极备战奥运，在临赛前的一次训练中共射了1组共72支箭，下表是命中环数的部分统计信息环数<778910频数03ab22已知该次训练的平均环数为9.125环(1)求a，b的值；(2)据此水平，求正式比赛时射出的第一支箭命中黄圈（不小于9环）的概率.【变式1】（2022下·湖南岳阳·高一统考期末）天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用计算机产生了10组随机数180，792，454，417，165，809，798，386，196，206据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在某地区进行流行病学调查，随机调查了200位某种疾病患者的年龄，得到了如图的样本数据的频率分布直方图，根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.【变式3】（2023·全国·高一随堂练习）一家保险公司想了解汽车挡风玻璃破碎的概率．该公司收集了辆汽车的信息，时间从某一年的月日到第二年的月日，共发现有辆汽车的挡风玻璃破碎．在一年时间内，一辆汽车的挡风玻璃破碎的概率大约是多少？题型03游戏公平性【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）某学校校庆，给每班发了5张庆典门票．班主任王老师准备采用抽签方式来决定哪5位同学参加，为此制作了50张卡片，其中5张写有“庆典”字样．50位同学轮流抽签，抽中写有“庆典”字样的同学参加学校庆典．小明提出：“抽签有先后，第一名同学抽中的概率是．如果第一名同学抽到，第二名同学抽到的概率只有，如果第一名同学未抽中，第二名同学抽中的概率为．抽中的机会未必相等．”你认为王老师的抽签方法公平吗？小明的话又如何解释？【典例2】（2022上·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）（1）小明和小刚正在做掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子.当两枚骰子点数之和为奇数时，小刚得1分，否则小明得1分.这个游戏公平吗？（2）盒子里装有3个红球，1个白球，从中任取3个球，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.【变式1】（2023下·江西吉安·高一统考期末）（1）用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．（2）若投掷质地均匀的三枚硬币，规定：三枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，其他情况算乙胜．这个游戏是否公平？请通过计算说明．【变式2】（2022·高一课时练习）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.题型04利用概率知识解决实际生活中的问题【典例1】（2023·全国·高一专题练习）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（

）A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨【典例2】（2023·全国·高一专题练习）某种彩票的中奖概率为，则以下理解正确的是（

）A．购买这种彩票100000张，一定能中奖一次B．购买这种彩票100000张，可能一次也没中奖C．购买这种彩票1张，一定不能中奖D．购买这种彩票100000张，至少能中奖一次【典例3】（2023下·全国·高一随堂练习）深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.【变式1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是A．某厂一批产品的次品率为，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨【变式2】（2024·全国·高三专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请位好友参与到“好友助力”活动.【变式3】（2023·江西吉安·江西省泰和中学校考一模）设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从箱中取出的.题型05利用计算器或计算机模拟试验求概率【典例1】（2023·全国·高一专题练习）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：192

907

966

925

271

932

812

458

569

683

257

393

127

556

488

730

113

537

989

431据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（）.A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75【典例2】（2023·全国·高一专题练习）某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（

）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球（只有颜色不同）若干个，有放回地从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是球.【典例4】（2024上·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考期末）袋子中有四个小球，分别写有“中､华､民､族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用代表“中､华､民､族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为.【变式1】（2024上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是.用计算机生成了20组随机数，结果如下：116

785

812

730

134

452

125

689

024

169334

217

109

361

908

284

044

147

318

027若用0，1，2，3，4，5表示高温橙色预警，用6，7，8，9表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（

）A． B． C． D．【变式2】（2023上·四川绵阳·高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1~5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354据此估计甲获得冠军的概率为；【变式3】（2023下·四川南充·高三阆中中学校考阶段练习）欲利用随机数表从00，01，02，…，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为【变式4】（2023·全国·高三专题练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中靶心，5，6，7，8，9，0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：9328124585696834312573930275564887301135据此估计，该运动员两次掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2024·全国·高三专题练习）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（

）A．0.56，0.56 B．0.56，0.5C．0.5，0.5 D．0.5，0.562．（2024·全国·高三专题练习）已知一个容量为20的样本，其数据具体如下：10

8

6

10

13

8

10

12

11

78

9

11

9

12

9

10

11

12

11那么频率为0.4的范围是（

）A．5.5~7.5 B．7.5~9.5 C．9.5~11.5 D．11.5~13.53．（2024上·陕西汉中·高一南郑中学校联考期末）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来石（古代容量单位），验得米内夹谷（假设一粒米与一粒谷的体积相等），抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（

）A．213石 B．152石 C．169石 D．196石4．（2024上·江西景德镇·高一景德镇一中校考阶段练习）下列结论：①如果，那么为必然事件：②若事件与是互斥事件，则；③概率是随机的，试验前不能确定；④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件．其中是正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）下列说法正确的是（

）①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；②每个试验结果出现的频数之和等于试验的总次数；③每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；④概率就是频率．A．0 B．1 C．2 D．36．（2023上·新疆和田·高二校考期中）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（

）A．抛掷硬币次，事件必发生次B．抛掷硬币次，事件不可能发生次C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近7．（2023下·全国·高一专题练习）在6月6日第27个全国“爱眼日”即将到来之际，教育部印发《关于做好教育系统2022年全国“爱眼日”宣传教育工作通知》，呼吁青年学生爱护眼睛，保护视力．众所周知，长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过2h的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为（

）A． B． C． D．8．（2023下·全国·高一专题练习）设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023上·山东济南·高一统考开学考试）下列说法正确的是（

）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖D．任意投掷两枚质地均匀的骰子