5.4数列的应用课件高二下学期数学人教B版选择性

5.4数列的应用第五章人教B版

数学选择性必修第三册课标定位素养阐释1.理解并掌握“等额本金还款法”“等额本息还款法”及应用.2.理解并掌握政府支出的“乘数”效应及数列的其他应用.3.进一步提升数学建模、逻辑推理与数学运算素养.自主预习新知导学一、“等额本金还款法”与“等额本息还款法”1.假如你购房时向银行贷款本金A0元,打算分成m期偿还,并且每一期的利率为r(r>0),记每一期的还款钱数构成的数列为a1,a2,a3,…,am.(1)如果采用“等额本金还款法”,那么你能写出第n期所要还的钱数an的表达式吗?(2)如果采用“等额本息还款法”,那么你能写出第n期所要还的钱数an的表达式吗?2.(1)“等额本金还款法”是将

本金

平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为

每期本金

,即贷款本金除以还款期数,另一部分是

利息

,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.因此这种方式中,(2)“等额本息还款法”是将

本金

和

利息

平均分配到每一期进行偿还,因此每一期所还钱数相等,即a1=a2=a3=…=am.

二、政府支出的“乘数”效应与数列1.为落实惠民政策,假设政府增加某项支出a亿元,每个受惠的居民会将此部分额外收入以r(r>0)的比率用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).(1)如果设第n轮消费的金额为an亿元,那么an与a和r具有什么关系呢?提示:an=arn.(2)那么经过n轮影响之后,最后的国内消费总额是多少亿元呢?2.上述问题中,最后的国内消费总额将会是a亿元的倍数,也就是说有了“乘数

”效应.3.有些食物中含有一定量的微量元素,当人体摄入微量元素以后,微量元素会随着尿液、汗液等部分排出.假设某人每天吃进某微量元素amg,该微量元素每天以r(r>0)的比率排出,则30天后在此人身体中积累了多少该微量元素(设一开始某人体内该微量元素为0)?解:30天后在此人身体中积累的该微量元素为a(1-r)+a(1-r)2+…+a(1-r)n【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)“等额本金还款法”每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金乘利率.(×)(2)“等额本息还款法”是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还,每一期所还钱数相等.(√)合作探究释疑解惑探究一“等额本金还款法”与“等额本息还款法”的应用【例1】

某技术研发单位打算向银行贷款2400万元用于某电子产品升级改造,在12个月内还清,月利率为5%,如果采用“等额本金还款法”,那么,(1)设每期还款钱数为an万元,求出an的表达式;(2)该单位累计还款多少万元?

1.本题属于与等差数列通项公式及前n项和有关的实际应用问题,求解的关键在于熟练掌握等差数列的有关知识.2.遇到与正整数有关的实际应用问题时,常常考虑与数列知识的联系,建立适当的数列模型进行求解.反思感悟【变式训练1】

本例条件不变,如果采用“等额本息还款法”,那么该单位每期还款多少万元?累计还款多少万元?(结果精确到0.01元)探究二政府支出的“乘数”效应与数列【例2】

假设一政府单位增加某项支出120亿元,每个受惠的居民会将75%的额外收入用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).求经过20轮影响之后,最后的国内消费总额是多少亿元?(结果精确到1亿元)反思感悟解数列应用题的主要事项:(1)抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.(2)将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,列出满足题意的数学关系式.【变式训练2】

假设某地政府单位增加某项优惠政策支出200亿元,每个受惠的居民会将65%的额外收入用于国内消费(最初政府支出也算是国内消费).求经过10轮影响之后,最后的国内消费总额是多少亿元?(结果精确到1亿元)探究三数列的综合应用【例3】

一种掷骰子走跳棋的游戏:棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站,共101站,设棋子跳到第n站的概率为Pn.一枚棋子开始在第0站,棋手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次,若掷出奇数点,则棋子向前跳动一站;若掷出偶数点,则向前跳动两站,直到棋子跳到第99站(获胜)或100站(失败)时,游戏结束.(1)求P0,P1,P2,并根据棋子跳到第n站的情况,试用Pn-2和Pn-1表示Pn;(2)求证:数列{Pn-Pn-1}(n=1,2,…,100)是等比数列;(3)求该游戏获胜的概率.(1)解:根据题意,棋子跳到第n站的概率为Pn,则P0即棋子跳到第0站的概率,则P0=1,本题考查的是数列的应用以及概率及其性质.数列常常与函数、不等式等知识相结合,考查学生的理解能力、转化能力及计算能力.反思感悟【变式训练3】

黄河被称为我国的母亲河,因为携带大量泥沙,所以河水呈现黄色.黄河的水源来自青海高原,上游1000km的河水是非常清澈的,只是中游流经黄土高原,又有太多携带有大量泥沙的河流汇入才造成黄河的河水逐渐变得浑浊.在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,泾渭分明,形成了一条奇特的水中分界线.设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s,黄河水的含沙量为2kg/m3,洮河水的含沙量为20kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1s内交换1000m3的水量,即从洮河流入黄河1000m3的水混合后,又从黄河流出1000m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)(2)设在第n(n∈N+)个观测点时黄河的含沙量为an,洮河的含沙量为bn,由题意有a1=2,b1=20,即3n-1>1

800,解得n>7.又由n∈N+,所以从第8个观测点开始.【思想方法】

数学建模在数列实际问题中的应用

(1)设n(n∈N+)年内(本年度为第1年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?分析:(1)建立等比数列模型求解;(2)列出与数列有关的不等式求解.所以至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.解答数列实际应用问题的一般步骤(1)第一步,确定数列类型.理解题意,分析是哪类数列,一般有等差数列、等比数列、简单的递推数列.基本特征如下表:方法点睛数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长,常见的是增产率问题、存款复利问题简单的递推数列指数增长的同时又均匀减少,如年收入增长率为20%,每年年底要拿出a(常数)作为下年度的开销,即年底可支配资金构成的数列{an}满足an+1=1.2an-a(2)第二步,准确求解模型.根据数列知识,求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等,此时要注意运算的准确性.(3)第三步,还原实际问题.实际应用问题最后要把求解的数学结果化为解决实际问题的方法,在解题中不要忽视了这点.【变式训练】

某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第1名得全部资金的一半多一万元,第二名得剩下资金的一半多一万元,以名次类推都得剩下资金的一半多一万元,到第10名恰好分完资金,求此科研单位共拿出多少万元资金进行奖励.解:设单位共拿出x万元资金,第1名到第10名所得资金构成数列{an},前n项和为Sn,∴2an=x-Sn-1+2,2an+1=x-Sn+2,两式相减得2an+1-2an=-an,∴2an+1=an.故单位共拿出2

046万元资金进行奖励.随堂练习1.一弹性球从100米高处自由落下,每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第10次着地时所经过的路程和是

米.(结果精确到1)

解析:依题意,设小球第n次着地时经过的路程为an,则a1=100,a2=100,a3=50……答案:3002.一个七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是

.

答案:1923.某人的月工资由基础工资和绩效工资组成,2012年每月的基础工资为2100元,绩效工资为2000元.从2013年起每月基础工资比上一年增加210元,绩效工资为上一年的110%.照此推算,此人2024年的年薪为

万元.(结果精确到0.01)

解析:由题意可得,基础工资是以2

100元为首项,以210元为公差的等差数列,绩效工资是以2

000元为首项,以1.1为公比的等比数列.则此人2024年每月的基础工资为2

100+(2

024-2

012)×210=4

620元,每月的绩效工资为2

000×1.12

024-2

012≈6

276.86元,则此人2024年的年薪为12×(4

620+6

276.86