2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷【含解析】

第1页（共1页）2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）下列属于一元二次方程的是（）A．3x2+2x B．x2﹣2x＝6 C． D．2x2+y＝62．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2分）二次函数y＝4（x﹣3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）4．（2分）如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC＝32°，则∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°5．（2分）二次函数y＝x2+2x+3与x轴的公共点个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2分）如图，⊙O的弦AB＝6，C为AB的中点，且OC＝4，则⊙O的半径等于（）A．8 B．6 C．5 D．47．（2分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．x＞﹣1或x＜3 D．x＞3或x＜﹣18．（2分）在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面积分别记为：S1、S2、S3、S4，则等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）10．（2分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为．12．（2分）二次函数y＝﹣2x2+4x﹣6的最大值是．13．（2分）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若∠CAB＝20°，则∠D＝°．15．（2分）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝．16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c．的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）用适当方法解方程：x2+15＝8x．18．（5分）已知m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式（m﹣1）2+（m﹣3）（m+2）的值．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D在BC边上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．（1）依题意补全图形；（2）求证：BD＝CE．20．（5分）已知：∠MAN，B为射线AN上一点．求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；③连接FB，交射线AM于点C．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EF，AF，∵点B，E，F在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（）（填写推理的依据）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝．∴∠ABC＝∠CAB．21．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出：当x满足什么条件时，函数值y随着x的增大而减小？22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于点A．将△OAB绕原点逆时针旋转90°后，得到△OA1B1．（1）画出△OA1B1；（2）直接写出点A1和点B1的坐标；（3）求线段OB旋转到线段OB1所扫过的区域的面积．24．（6分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x…012345…y…30﹣10m8…（1）这个二次函数的对称轴是直线；（2）m的值为；（3）求出这个二次函数的解析式；（4）当0＜x＜3时，则y的取值范围为．25．（5分）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．（1）建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；（2）求水流的落地点D到水枪底部B的距离．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（4﹣2a）x+1．（1）求抛物线的对称轴；（用含a的式子表示）（2）点（a﹣6，y1）（3﹣a，y2），（﹣a，y3）在抛物线y＝x2+（4﹣2a）x+1上，若y2＜y3≤y1，求a的取值范围．27．（7分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．（1）如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴l”（至少画两条）；（2）若△ABC中，点A坐标为（2，3），点B坐标为（4，1），点C在直线y＝﹣x+3图象上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；（3）已知A（，1），将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M上的两点，且AB＝2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．

2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）1．（2分）下列属于一元二次方程的是（）A．3x2+2x B．x2﹣2x＝6 C． D．2x2+y＝6【分析】根据一元二次方程的定义：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）的方程是一元二次方程，逐一判断即可解答．【解答】解：A、3x2+2x不是方程，故A不符合题意；B、x2﹣2x＝6是一元二次方程，故B符合题意；C、x2﹣＝0不是一元二次方程，故C不符合题意；D、2x2+y＝6是二元二次方程，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．（2分）下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（2分）二次函数y＝4（x﹣3）2+7的顶点坐标是（）A．（﹣3，7） B．（3，7） C．（﹣3，﹣7） D．（3，﹣7）【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴顶点坐标为（3，7），故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．4．（2分）如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC＝32°，则∠AOD等于（）A．64° B．48° C．32° D．76°【分析】由AB∥CD，∠BAC＝32°，根据平行线的性质，即可求得∠ACD的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOD的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠BAC＝32°，∴∠ACD＝∠BAC＝32°，∴∠AOD＝2∠ACD＝2×32°＝64°．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理与平行线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（2分）二次函数y＝x2+2x+3与x轴的公共点个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的公共点个数即为对应的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的个数，据此即可求解．【解答】解：令y＝0，则x2+2x+3＝0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，该方程无实数根，故二次函数y＝x2+2x+3与x轴无公共点，故选：A．【点评】本题考查根的判别式问题．熟记相关结论即可．6．（2分）如图，⊙O的弦AB＝6，C为AB的中点，且OC＝4，则⊙O的半径等于（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】连接OA，根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OA的长即可．【解答】解：连接OA，∵AB＝6，C为AB的中点，∴AC＝AB＝3，OC⊥AB．∵OC＝4，∴OA＝＝＝5．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理与勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．（2分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+c＜mx+n的解集是（）A．﹣1＜x＜3 B．0＜x＜3 C．x＞﹣1或x＜3 D．x＞3或x＜﹣1【分析】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：由图可知：抛物线y＝ax2+c在直线y＝mx+n下方时，x的范围是：﹣1＜x＜3，即不等式ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3，故选：A．【点评】本题考查二次函数与不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2分）在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面积分别记为：S1、S2、S3、S4，则等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4【分析】过A作AG⊥AF交CB延长线于G，由四边形ABCD是正方形，可得AB＝AD，∠BAD＝90°＝∠GAF，∠ABG＝∠D＝90°，有∠GAB＝∠FAD，故△GAB≌△FAD（ASA），知AG＝AF，S△GAB＝S3，再证△GAE≌△FAE，得S1+S△GAB＝S2，从而S1+S3＝S2．【解答】解：过A作AG⊥AF交CB延长线于G，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°＝∠GAF，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠GAB＝∠FAD，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，S△GAB＝S3，∵∠EAF＝45°，∠GAF＝90°，∴∠EAF＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴S1+S△GAB＝S2，∴S1+S3＝S2，故选：B．【点评】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（3，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是y1＞y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，∴y1＝5，y2＝2．∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．10．（2分）已知关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是1．【分析】先根据根的判别式△的值为0，进而得出等式求出即可．【解答】解：∵方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×k＝4﹣4k＝0，解得：k＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了根的判别式，根据已知得出b2﹣4ac＝0得出是解题关键．11．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，1）．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为（2，2）．【分析】设C（m，n）．利用中点坐标公式构建方程组求解即可．【解答】解：设C（m，n）．∵线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，∴AB＝BC，∵点A（﹣2，0），点B（0，1），∴＝0，＝1，∴m＝2，n＝2，∴C（2，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可．12．（2分）二次函数y＝﹣2x2+4x﹣6的最大值是﹣4．【分析】依据题意，将二次函数的解析式转化为顶点式即可判断得解．【解答】解：由题意，∵y＝﹣2x2+4x﹣6＝﹣2（x﹣1）2﹣4，又a＝﹣2＜0，∴当x＝1时，二次函数的最大值y＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解顶点式是关键．13．（2分）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x的值为14．【分析】第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）2（人），根据经过两轮传染将会有225人感染，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：（x+1）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），故答案为：14．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，若∠CAB＝20°，则∠D＝110°．【分析】AB为⊙O直径，∠ACB＝90°，求出∠B的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝20°，∴∠B＝90°﹣20°＝70°，在圆内接四边形ABCD中，∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110．【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．（2分）将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元/件，其日销售量就增加1件，为了每天获得最大利润，决定每件降价x元，设每天的利润为y元，则y关于x的函数解析式是y＝﹣x2+10x+600．【分析】先根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式．【解答】解：设应降价x元，销售量为（20+x）个，根据题意得：y＝（100﹣x﹣70）（20+x）＝﹣x2+10x+600．故答案为：﹣x2+10x+600．【点评】本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式．16．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c．的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是①③．【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a，∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵抛物线经过点C（t，n），∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故答案为：①③．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）用适当方法解方程：x2+15＝8x．【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．【解答】解：x2+15＝8x，整理得：x2﹣8x+15＝0，（x﹣3）（x﹣5）＝0，x﹣3＝0或x﹣5＝0，x1＝3，x2＝5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．18．（5分）已知m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，求代数式（m﹣1）2+（m﹣3）（m+2）的值．【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，把x＝m代入方程得出2m2﹣3m﹣1＝0，求出2m2﹣3m＝1，最后代入求出答案即可．【解答】解：（m﹣1）2+（m﹣3）（m+2）＝m2﹣2m+1+m2+2m﹣3m﹣6＝2m2﹣3m﹣5，∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴2m2﹣3m﹣1＝0，∴2m2﹣3m＝1，∴原式＝1﹣5＝﹣4．【点评】本题考查了整式的化简求值和一元二次方程的解，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，D在BC边上，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，连接CE．（1）依题意补全图形；（2）求证：BD＝CE．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），即可得BD＝CE．【解答】（1）解：依题意补全图形如图：（2）证明：∵将AD绕点A逆时针旋转80°得到线段AE，∴∠BAC＝∠DAE＝80°，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．【点评】本题考查作图﹣旋转作图，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．20．（5分）已知：∠MAN，B为射线AN上一点．求作：△ABC，使得点C在射线AM上，且∠ABC＝∠CAB．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AM于点D，交射线AN的反向延长线于点E；②以点E为圆心，BD长为半径画弧，交于点F；③连接FB，交射线AM于点C．△ABC就是所求作的三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接BD，EF，AF，∵点B，E，F在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理的依据）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝∠EAF．∴∠ABC＝∠CAB．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）连接BD、EF，AF，利用圆周角定理证明可得结论．【解答】解：（1）如图即为所求．（2）连接BD、EF，AF，∵点B，E，F在⊙A上，∴∠EBF＝∠EAF（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理的依据）．∵在⊙A中，BD＝EF，∴∠DAB＝∠EAF，∴∠ABC＝∠CAB．故答案为：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，∠EAF．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系中画出y＝x2﹣4x+3的图象；（3）结合函数图象，直接写出：当x满足什么条件时，函数值y随着x的增大而减小？【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式写成顶点式即可．（2）列表、描点、连线即可解决问题．（3）利用数形结合的思想即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1．即将二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣1．（2）列表，描点、连线，如图所示，（3）由（2）中所画的函数图象可知，函数图象在直线x＝2左侧的部分，y随x的增大而减小，即当x＜2时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．22．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式可得出Δ＝4m2，利用偶次方的非负性可得出4m2≥0，即Δ≥0，再利用“当Δ≥0时，方程有两个实数根”即可证出结论；（2）方法一：利用因式分解法求出x1＝m，x2＝3m．由题意得出m的方程，解方程则可得出答案．方法二：利用根与系数的关系可求出答案．【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2．∵无论m取何值时，4m2≥0，即Δ≥0，∴原方程总有两个实数根．（2）解：方法一：∵x2﹣4mx+3m2＝0，即（x﹣m）（x﹣3m）＝0，∴x1＝m，x2＝3m．∵m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，∴3m﹣m＝2，∴m＝1．方法二：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝4m，x1•x2＝3m2，∵x1﹣x2＝2，∴（x1﹣x2）2＝4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，∴（4m）2﹣4×3m2＝4，∴m＝±1，又m＞0，∴m＝1．【点评】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解．23．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于点A．将△OAB绕原点逆时针旋转90°后，得到△OA1B1．（1）画出△OA1B1；（2）直接写出点A1和点B1的坐标；（3）求线段OB旋转到线段OB1所扫过的区域的面积．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可；（2）利用（1）所画图形写出点A1和点B1的坐标；（3）先根据旋转的性质得到∠BOB1＝90°，再计算出OB＝2，然后根据扇形的面积公式求解．【解答】解：（1）如图，△OA1B1为所作；（2）点A1的坐标为（0，4），点B1的坐标为（﹣2，4）；（3）∵△OAB绕原点逆时针旋转90°后得到△OA1B1，∴∠BOB1＝90°，∵OB＝＝2，∴线段OB旋转到线段OB1所扫过的区域的面积＝＝5π．【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝（其中n为圆心角的度数，R为圆的半径）．也考查了旋转的性质．24．（6分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：x…012345…y…30﹣10m8…（1）这个二次函数的对称轴是直线x＝2；（2）m的值为3；（3）求出这个二次函数的解析式；（4）当0＜x＜3时，则y的取值范围为﹣1≤y＜3．【分析】（1）根据表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；（2）根据抛物线的对称性求得即可；（3）利用待定系数法求得即可．【解答】解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x＝1与x＝3时y的值相等，∴对称轴是直线x＝＝2，故答案为直线x＝2；（2）∵点（0，3）关于直线x＝2的对称点为（4，3），∴m＝3，故答案为3；（3）∵二次函数的图象经过点（1，0），（3，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵图象经过点（0，3），∴a＝1，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；（4）由表格数据可知，当0＜x＜3时，则y的取值范围为﹣1≤y＜3，故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．25．（5分）如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．（1）建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；（2）求水流的落地点D到水枪底部B的距离．【分析】（1）建立以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴的直角坐标系，根据顶点P（1，3.6）设其解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，把A（0，2）代入求得a的值，据此可得其函数解析式；（2）求得y＝0时x的值可得答案．【解答】解：（1）如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点P的坐标为（1，3.6）、点A（0，2），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3.6，将点A（0，2）代入，得：a+3.6＝2，解得：a＝﹣1.6，则抛物线的解析式为y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6，（2）当y＝0时，有﹣1.6（x﹣1）2+3.6＝0，解得：x＝﹣0.5（舍）或x＝2.5，∴BD＝2.5，答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是结合题意建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+（4﹣2a）x+1．（1）求抛物线的对称轴；（用含a的式子表示）（2）点（a﹣6，y1）（3﹣a，y2），（﹣a，y3）在抛物线y＝x2+（4﹣2a）x+1上，若y2＜y3≤y1，求a的取值范围．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式直接代入求解即可；（2）由二次函数的性质与不等式求解即可．【解答】解：（1）∵x＝﹣＝﹣＝a﹣2，∴抛物线的对称轴为直线：x＝a﹣2；（2）将点的横坐标代入解析式，分别得到y1、y2、y3，将x＝a﹣6代入解析式得：y1＝（a﹣6）2+（4﹣2a）（a﹣6）+1＝﹣a2+4a+13；将x＝3﹣a代入解析式得：y2＝（3﹣a）2+（4﹣2a）（3﹣a）+1＝3a2﹣16a+22；将x＝﹣a代入解析式得：y3＝a2+（4﹣2a）（﹣a）+1＝3a2﹣4a+1；∵y2＜y3≤y1，∴，解得：．∴a的取值范围为：．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．27．（7分）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC＝90°，P为AE的中点，连接DP．（1）如图1，点A，B，D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上．①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE＝∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．【分析】（1）根据△ADE是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P为AE的中点，依据等腰三角形性质“三线合一”，即可得到DP⊥AE；（2）①按照题意补全图形，根据等腰三角形性质可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝45°，即可证明结论；②延长CP至G，使PG＝DP，连接AG，BG，利用SAS证明△APG≌△APD，△BAG≌△CAD，可得∠BGC＝∠APG，进而可得PF∥BG，根据平行线分线段成比例定理即可证明结论．【解答】解：（1）∵△ADE是等腰直角三角形，∠ADE＝90°，∴AD＝ED，∵P为AE的中点，∴