2026-2027学年广西贵港市高三上学期开学数学试卷（含答案）

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则中的元素个数为（）A. B. C. D.2.若向量，，则（）A. B.1 C.2 D.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.4.若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.85.随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.826.已知直线与圆相切，则（）A. B. C.或 D.或7.已知是奇函数，则的单调递增区间为（）A.， B.，C.， D.，8.定义变换，；变换，记，代表三次复合变换．若角，满足，，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.C. D.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（）A.C的焦距为6B.的面积为C.C的渐近线方程为D.双曲线是等轴双曲线11.如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则（）A. B.是圆锥C.的体积大于 D.，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数与的最小正周期相等，则_________．13.设椭圆与的离心率相等，则______．14.某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有_________种．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点在抛物线上．（1）求的方程；（2）过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求．16.如图，在三棱台中，平面，，，．（1）证明：平面．（2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值．17.某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立．（1）求采用算法时，个订单准时送达的概率．（2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列．（3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由．18.定义：在数列中，若（m为非零常数），则称存在对数系，常数m为的对数系数．（1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由．（2）已知数列存在对数系，且，，，．（i）求的通项公式．（ii）证明：．（iii）证明：．19.已知函数．（1）当时，证明：．（2）已知有三个极值点，记为，，．（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）证明：．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则中的元素个数为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题意得，故集合的元素个数为．2.若向量，，则（）A. B.1 C.2 D.答案：D解析：解答过程：因为，所以.3.曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.答案：A解析：解答过程：因为，所以，当时，，，所以在点处的切线方程为，即.4.若球O的表面积为，则该球球面上两点间距离的最大值为（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：B解析：解答过程：设该球半径为R，因为球O的表面积为，所以，则该球球面上两点间距离的最大值为4.5.随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境．已知花卉处在水肥适宜土壤中，正常开花的概率为0.9；处在干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5．现从该花圃内随机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.82答案：D解析：思路：由全概率公式及互斥事件的概率公式求解即可.解答过程：记事件表示：“选取的花卉处于水肥适宜土壤”，事件表示：“选取的花卉处于干旱缺水土壤”，事件表示：“选取的花卉正常开花”，则有,,,所以.6.已知直线与圆相切，则（）A. B. C.或 D.或答案：B解析：思路：由直线与圆的位置关系列出方程求解即可.解答过程：因为圆的圆心，半径，由题意可得，整理得，解得.7.已知是奇函数，则的单调递增区间为（）A.， B.，C.， D.，答案：C解析：思路：利用奇函数性质求出的解析式，再利用二次函数单调性求出即可.解答过程：当时，，则，又∵是奇函数，∴，即，即，当时，二次函数，开口向上，对称轴为，故单调递增区间为，当时，二次函数，开口向下，对称轴为，故单调递增区间为，综上所述，的单调递增区间为.8.定义变换，；变换，记，代表三次复合变换．若角，满足，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用与定义得到.，再利用正切的两角差公式计算即可.解答过程：因为，所以，因为，所以，所以.所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若复数，则（）A. B.C. D.答案：AB解析：思路：根据复数的共轭复数、复数的模，复数的乘法除法逐项分析即可.解答过程：因为，所以，可得，可得，得到.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则（）A.C的焦距为6B.的面积为C.C的渐近线方程为D.双曲线是等轴双曲线答案：AB解析：思路：首先利用双曲线的第一定义，结合，得到；对A选项利用余弦定理求得焦距即可；B选项已知三角形两边和夹角，利用求解即可；C选项，利用，，求出，于是得到渐近线方程即可；D选项，代入，可知，于是不是等轴双曲线.解答过程：由双曲线的标准方程，得.由双曲线的定义结合可知.又因为，所以.A选项，由余弦定理可知于是.所以，即焦距为6，A正确.B选项，的面积为，所以B正确.C选项，因为，，所以，所以渐近线方程为，C错误.D选项，代入，可得.因为，所以不是等轴双曲线，D错误.11.如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点，O，分别为底面与底面的中心，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设集合，集合，记为中所有点构成的几何体，则（）A. B.是圆锥C.的体积大于 D.，答案：ACD解析：思路：选项A新定义的简单应用代入检验即可;选项B考查了学生的数学建模的思想，能不能把二次函数对应的抛物线旋转得到旋转体;选项C在B选项分析基础上,对图形进行处理，找到旋转体圆锥，求出圆锥体积比较可得;选项D距离公式应用，转化为二次函数求最大值问题.解答过程：选项A.原点|0|1,|0|1,|0|1,属于;，不等式成立,选项A正确;选项B.设设,分别为平面直角坐标系的横轴和纵轴,满足,根据抛物线定义,可知这是以轴为对称轴的抛物线的一部分(题目中有限定条件)，在空间里，以轴为轴,旋转抛物线得到旋转抛物面,就是由该抛物面围成的几何体,该几何体是曲面体,B选项错误；选项C.，根据B选项的分析，取该几何体的轴截面，轴截面形状为抛物线,以轴为轴,对应的旋转体为圆锥,,,，，即：,选项C正确；选项D.，,,即：,选项D正确.方法提示：本题考查了学生对新定义问题的理解，和对于平面图形到立体图形的数学建模能力，以及距离转化函数的最值问题的数学应用能力.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数与的最小正周期相等，则_________．答案：4解析：解答过程：由题意得，解得.13.设椭圆与的离心率相等，则______．答案：3解析：解答过程：由题可知，椭圆的离心率为，当即时，椭圆的离心率，当时，，则椭圆的离心率无解.综上，.14.某海滨旅游路线全线共设有14个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留．为降低运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留1个驿站正常运营，则不同的站点关停方案共有_________种．答案：56解析：思路：先明确需保留的个驿站形成个可插入空位，从中选5个插入关停驿站，直接得出符合要求的关停方案数为组合数.解答过程：全线共14个驿站，起点和终点永久保留，因此可供选择关停的中途驿站总数为个.总共要关停5个中途驿站，因此正常运营的中途驿站数量为个；由于要求关停的驿站不能相邻（任意2个关停驿站间至少留1个运营驿站），关停的驿站只能插入这7个运营驿站的内部空隙中.7个元素共形成个空隙，问题等价于从8个空隙中任选5个放入关停的驿站，对应的组合数为，即不同的站点关停方案共有个.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点在抛物线上．（1）求的方程；（2）过的焦点作斜率为的直线，且与交于两点，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据条件，直接求出的值，即可求解；（2）根据条件，由（1）可得直线l的方程，联立直线与抛物线方程，再利用根与系数间的关系和抛物线的定义，即可求解.（1）将点的坐标代入，得，解得，所以的方程为．（2）由（1）得的焦点为，所以直线l的方程为，设，．由，消得，则，，，所以．16.如图，在三棱台中，平面，，，．（1）证明：平面．（2）若H为的中点，求与平面所成角的正切值．答案：（1）证明：因为平面，平面，所以．因为，，，所以由可得，则，所以．因为，所以平面．（2）解析：思路：（1）由线面垂直得出线线垂直，进而利用三角形相似求出，由勾股定理得出垂直关系，进而利用线面垂直判定定理得出结论；（2）利用面面平行找出线面角，构造辅助线，利用几何法找出线面角，计算相关线段长度，求出线面角的正切值．（1）略（2）因为平面平面，所以与平面所成的角即为与平面所成的角．如图，取上靠近点A的三等分点M，连接，，则，，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，所以平面，所以即为与平面所成的角．因为，，，所以，即与平面所成角的正切值为．17.某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法与算法的运行效果，技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的个订单，记录从无人车出发到订单送达所用的时间（单位：分钟）．将配送时长分为，，，，，，共六组，得到如下频率分布直方图．园区规定：配送时长少于分钟的订单为准时订单．以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准时送达相互独立．（1）求采用算法时，个订单准时送达的概率．（2）从总体中随机选取个订单，其中个采用算法，个采用算法．设这个订单中准时订单的个数为，求的分布列．（3）为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第个订单采用算法，若该订单准时送达，则第个订单仍采用算法，否则第个订单改用算法；方案二为这个订单均采用算法．设方案一中这个订单中准时送达的个数为，方案二中这个订单中准时送达的个数为．有人认为，，判断这一观点是否正确，并说明理由．答案：（1）（2）（3）方案一中，的所有可能取值为、、．，，，所以．方案二中，由题意可知，所以．因为，所以题中观点不正确.解析：思路：（1）把前3组准时送达的频率相加，即为所求概率；（2）先求得1个订单采用算法准时送达的概率为，记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，然后根据，求概率及分布列；（3）求出，，再由判断题中观点不正确.（1）根据题意可得个订单采用算法准时送达的频率为，所以个订单采用算法准时送达的概率为．（2）同（1）可得个订单采用算法准时送达的概率．记采用算法的个订单中准时送达的个数为，采用算法的个订单中准时送达的个数为，则，，．的所有可能取值为、、、，，，，，所以的分布列为（3）略18.定义：在数列中，若（m为非零常数），则称存在对数系，常数m为的对数系数．（1）判断数列是否存在对数系．若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由．（2）已知数列存在对数系，且，，，．（i）求的通项公式．（ii）证明：．（iii）证明：．答案：（1）存在对数系，其对数系数为．（2）（i）（ii）证明：由（i）得，因为，所以．（iii）证明：由（ii）得．设，则，所以，所以．因为，所以，即．解析：思路：（1）利用对数的运算法则可得，由此确定存在对数系，其对数系数为；（2）（i）设，由题得，设，则，，，是以2为首项，3为公差的等差数列，进一步求得，再利用叠加法求得，；（ii）由，证明；（iii）由得，进一步得，然后利用错位相减法求得，即可证明．（1）因为，所以存在对数系，其对数系数为．（2）（i）设．因为