人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程（第2课时）》示范教学课件

实际问题与一元二次方程（第2课时）上节课，我们学习了如何用一元二次方程解决传播问题，这节课我们继续探究实际问题与一元二次方程——平均变化率问题．平均变化率包括平均增长率和平均下降率，解决该类问题的关键是分清基本量和变化后的量及变化的次数．两年前生产1

t甲种药品的成本是5

000元，生产1t乙种药品的成本是6

000元．随着生产技术的进步，现在生产1

t甲种药品的成本是3

000元，生产1

t乙种药品的成本是3

600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？探究成本的年下降额＝前一年成本－本年成本．思考：怎么求成本的年下降额？两年前生产1

t甲种药品的成本是5

000元，生产1t乙种药品的成本是6

000元．随着生产技术的进步，现在生产1

t甲种药品的成本是3

000元，生产1

t乙种药品的成本是3

600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？探究思考：怎么求成本的年下降率？分析：甲种药品成本的年平均下降额为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，乙种药品成本的年平均下降额为____________________________．显然，________药品成本的年平均下降额较大．(5

000－3

000)÷2＝1

000（元）(6

000－3

600)÷2＝1

200（元）乙种思考乙种药品成本的年平均下降额较大，能说明乙种药品成本的年平均下降率较大吗？可以看出，成本的年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．我们需要分别求出这两种药品成本的年平均下降率，进行比较．

解：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5

000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5

000(1－x)2元，于是有5

000(1－x)2＝3

000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．思考解出甲种药品成本的年平均下降率后，为什么选择22.5%作为答案？根据问题的实际意义，药品成本的年平均下降率应是小于1

的正数，所以应选取22.5%作为答案．②设乙种药品成本的年平均下降率为y，于是有6

000(1－y)2＝3

600．解方程，得y1≈1.775，y2≈0.225．根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．所以，两种药品成本的年平均下降率相等．思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率也一定大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？成本下降额较大的药品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面地比较几个对象的变化状况．思考通过前面对平均下降率问题的探究，你能总结出解决平均下降率问题的公式吗？设基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为a(1－x)，第二次下降后的数量为a(1－x)(1－x)，即a(1－x)2．以此类推，第n次下降后的数量为a(1－x)n．如果下降n次后的数量为b，那么可列方程a(1－x)n＝b．平均下降率公式：a(1－x)n＝b．某村种的水稻2019年平均每公顷产8

000kg，2021年平均每公顷产9

680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．分析：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．用含

x的代数式表示：（1）2020年种的水稻平均每公顷的产量为_______________；（2）2021年种的水稻平均每公顷的产量为_______________．8000(1＋x)kg8000(1＋x)2kg探究某村种的水稻2019年平均每公顷产8

000kg，2021年平均每公顷产9

680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．于是有8

000(1＋x)2＝9680．解方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1．根据问题的实际意义，该村水稻每公顷产量的年平均增长率为10%．探究类似地，你能总结出解决平均增长率问题的公式吗？思考

设基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为a(1＋x)，第二次增长后的数量为a(1＋x)(1＋x)，即a(1＋x)2．以此类推，第n次增长后的数量为a(1＋x)n．如果增长n次后的数量为b，那么可列方程a(1＋x)n＝b．平均增长率公式：a(1＋x)n＝b．总结求平均增长率（下降率）问题：一般列方程a(1±x)n＝b．其中a为原始数据，b为增长（下降）后的数据，n为变化次数，x为平均增长率（下降率）．解出所列的方程后，既要检验是否为方程的解，又要检验是否符合实际意义．

例1为进一步发展基础教育，自2019年以来，某县加大了教育经费的投入，2019年该县投入教育经费6

000万元，2021年投入教育经费8

640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

解：（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得6000(1＋x)2＝8

640．解得x1＝0.2，x2＝－2.2（不合题意，舍去）．答：这两年该县投入教育经费的年平均增长率为20%．（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2022年该县投入教育经费多少万元．

解：（2）因为2021年该县投入教育经费8

640万元，且年平均增长率为20%，所以2022年该县投入的教育经费为8

640×(1＋20%)＝10368（万元）．答：2022年该县投入教育经费10

368万元．

例2

某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；解：（1）设每个月生产成本的下降率为x．根据题意，得400(1－x)2＝361．解得x1＝0.05，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%．

例2某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．（2）请你预测4月份该公司的生产成本．解：（2）361×(1－5%)＝342.95（万元）．答：4月份该公司的生产成本为342.95万元．在平均增长率（下降率）问题中，要注意下面三个关系：①增长还是下降；②变化前和变化后的量；③增长（下降）的次数或增长（下降）的周期．

解答