娄底市2024年初中毕业学业考试数学模拟试题(含答案)

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂

在答题卡上相应题号下的方框里）

1.2024的相反数是（）A.-B.2024C.-2025D.-——

20182018

【答案】C

【解析】【分析】依据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.

【详解】2024与-2025只有符号不同，由相反数的定义可得2024的相反数是-2025,故选C.

【点睛】本题考查了相反数的定义，娴熟驾驭相反数的定义是解题的关键.

2.一组数据-3,2,2,0,2,1的众数是（）

A.-3B.2C.OD.1

【答案】B

【解析】【分析】一组数据中次数出现最多的数据是众数，依据众数的定义进行求解即可得.

【详解】数据数据-3,2,2,0,2,1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1

次，所以这组数据的众数是2,故选B.

【点睛】本题考查了众数的定义，娴熟驾驭众数的定义是解题的关键.

3.随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增加，学中文的外国人越来越多，中文已

成为美国居民的其次外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表

示为（）

A.021x1（）7B.2.1x106C.21x105D-2,1x107

【答案】B

【解析】【分析】科学记数法的表示形式为axion的形式，其中史间＜10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位,n的肯定值与小数点移动的位数相同.当

原数肯定值＞1时，n是正数；当原数的肯定值＜1时，n是负数.

【详解】210万=2100000,

2100000=2.1x106,

故选B.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式,

其中此间＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

4.下列运算正确的是()

A.a2-a5=a10B.(3a3)2=6a6

2222

C-(a+b)=a+bD.(a+2)(a-3)=a-a-6

【答案】D

【解析】【分析】依据同底数幕的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项

进行计算即可得.

【详解】A.a2-5=a7，故A选项错误，不符合题意；

B.(3a3)2=9a6>故B选项错误，不符合题意;

222

C.(a+b)=a+2ab+b>故C选项错误,不符合题意；

D-(a+2)(a-3)=a2-a-6,正确，符合题意，

故选D.

【点睛】本题考查了整式的运算，娴熟驾驭同底数辱的乘法、积的乘方、完全平

方公式、多项式乘法的运算法则是解题的关键.

5.关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的状况是()

A.有两不相等实数根B.有两相等实数根

C,无实数根D.不能确定

【答案】A

【解析】【分析】依据一元二次方程的根的判别式进行推断即可.

【详解】x2-(k+3)x+k=0，

△=[.(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+l)2+8,

V(k+l)2>0,

/.(k+l)2+8>0,

即△>(),

方程有两个不相等实数根，

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0,a,b,c为常数)的根的判

别式△ubZdac.当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个

相等的实数根；当△<()时，方程没有实数根.

6.不等式组摸苧二的最小整数解是(

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，

即可求出最小的整数解.

【详解】葭二:涔

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，x>-l,

所以不等式组的解集是：-1<XW2,

所以最小整数解为0，

故选B.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，娴熟驾驭一元一

次不等式组的解法是关键.

7.下图所示立体图形的俯视图是（）

【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图

形，依据俯视图是从物体上面看得到的视图即可.

【详解】从物体上面看可看到有两列小正方形，左边的一列有1个，右边一列有两个，

得到的图形如图所示：

故选B.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，明确每个视图是从几何体的哪一面看得到

的是解题的关键.

8.函数y=l中自变量X的取值范围是（）

x-3

A.x>2B.x>2C.x>2_&XT^SD.X#3

【答案】C

【解析】【分析】依据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件进行求解即可得.

【详解】由题意得:产一公,*

（x-3*0

解得：x>2x/3,

故选C.

【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

9.将直线y=2x-3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（）

A.y=2x-4B.y=2x+4C.y=2x+2D.y=2x-2

【答案】A

【解析】【分析】干脆依据“上加下减”、“左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】由“左加右减”的原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数

解析式为y=2（x-2）-3=2x-7,由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个

单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4,

故选A.

【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答

此题的关键.

10.如图，往竖直放置在A处的由软管连接的粗细匀称细管组成的“U形装置中注入肯定量的

水，水面高度为6cm,现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长

度约为（）

A.4cmB.61§cmC.8cmD.12cm

【答案】C

【解析】【分析】依据旋转后两侧液面的高度相等，而且软管中液体的总长度与原来是一样

的，结合己知可知此时AB中水柱的长度为左边水柱长度的2倍，据此即可得.

【详解】如图，旋转后AB中水柱的长度为AD,左侧软管中水柱的长度为EF,

由题意则有EF+AD=2x6=12cm,

VZDAM=90°-60°=30°,ZAMD=90°,；.AD=2DM,

；EF=DM,

AD=8cm,

故选C.

【点睛】本题主要考查了30度角所对直角边是斜边的一半，旋转的性质等，解本

题的关键是明确旋转前后软管中水柱的长度是不变的.

11.如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,

贝1Jsina-cosa=()

77

C.—D.——

1313

【答案】D

【解析】【分析】设直角三角形的直角边长分别为x、y(x>y),依据大正方形的面积为169,

小正方形的面积为49可得关于x、y的方程组，解方程组求得x、y的值，然后利用正弦、

余弦的定义进行求解即可得.

2

【详解】设直角三角形的直角边长分别为X、y(x>y),由题意得(§可4=49,

(x2+y=169

・••直角三角形的斜边长为13,

5127

sina-cosa=—--=-一,

131313

故选D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，依据题意求出直角三角形的三边长是

解题的关键.

12.已知：冈表示不超过x的最大整数,例：⑶9]=3J-1,8]=-2,令关于k的函数

k+]k3+13

触)=[7]-卬(k是正整数)，例：的)=[丁]-卬勺，则下列结论第误的是()

A.f(l)=OB.f(k+4)=f(k)

C.f(k+1)>f(k)D.f(k)=。或1

【答案】C

【解析】【分析】依据新定义的运算逐项进行计算即可做出推断.

【详解】A.f(l)=[-~~-]-[^-]=0-0=0,故A选项正确，不符合题意;

k+4+1k+4k+1kk+1kk+1k

B.f(k+4)=[^^]-[—]=[]+丁]-口+/=[7]4

所以f(k+4)=f(k),故B选项正确，不符合题意;

rk+1+1

C.f(k+l尸

4

■3+2-•3+1I3+13

当k=3时，f(3+l)=『0,f(3)=[3—]-[/=L

44

此时f(k+l)vf(k),故C选项错误，符合题意;

D.设n为正整数,

r4n+1r4n-i

当k=4n时,f(k)=--=n-n=0,

4J4

r4n+2i4n+l

当k=4n+l时,f(k)==n-n=O,

4J4J

r4n+3i4n+2i

当k=4n+2时,f(k尸=n-n=O,

4J4J

r4n+4i4n+3i

当k=4n+3时，f(k产=n+l-n=l,

44

所以f(k)=O或1,故D选项正确，不符合题意,

故选C.

【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类探讨思想是解题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

2

13.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点P是反比例函数y=-图象上的一点，PAlx

x

轴于点A,贝必POA的面积为.

【答案】1

【解析】【分析】设P点坐标为（m,n）,依据三角形的面积公式以及点P在反比例函数图

象上即可得.

【详解】设P点坐标为（m,n）,则有mn=2,OA=|m|,PA=|n|,

SpoA=-OA»PA=-|m|«|n|=l,

A22

故答案为：1.

【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，有到的学问为：在反比例

函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数.

14.如图，P是AABC的内心，连接PA、PB、PC,APAB、APBC、APAC的面积分另为S］、S2、S3,

则Si___________S2+S1（填"〈"或“=”或“>”）

【解析】【分析】依据点P是AABC的内心，可知点P到AABC三边的距离相等，设这个距

离为h,依据三角形的面积公式表示出Si、S2+S3,然后再依据三角形三边关系进行推断即

可.

【详解】•.•点P是AABC的内心，

点P到AABC三边的距离相等，

设这个距离为h,

.\Si=-AB«h,S+S=-BC.h+-AC«h,

22322

VAB<BC+AC,

.•.S1VS2+S3,

故答案为：<.

【点睛】本题考查了三角形内心的性质，三角形三边关系，熟知三角形的内心到

三角形三边距离相等是解本题的关键.

15.从2024年中学一年级学生起先，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程

后，可以依据高校相关专业的选课要求和自身爱好、志向、优势，从思想政治、历史、地理、

物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参与等级考试.学生A已选物理，还想从思

想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选

思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概

率为.

【答案】-

6

【解析】【分析】列表格得出全部等可能的状况，然后再找出符合题意的状况，依据概率公

式进行计算即可得.

【详解】列表格：

政治历史地理

化学化学，政治化学，历史化学，地理

生物生物，政治生物，历史生物，地理

从表格中可以看出一共有6种等可能的状况，选择地理和生物的有1种状况，

所以选择地理和生物的概率是1,

6

故答案为：1.

6

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的学问点为：概率=所求状况

数与总状况数之比.

16.如图，AABC中，AB=AC,AD1BC于D点，DE1AB于点E,BFLAC于点F,DE=3cm,

则BF=cm.

【答案】6

【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得/C=NABC,BD=DC=-BC,再依据

2

NBED=NCFB=90。，可证△BEDs/^CFB,依据相像三角形的对应边成比例即可求得.

【详解】VAB=AC,

:.ZC=ZABC,

又・.,ADLBC于D点，

1

:.BD=DC=-BC,

2

又DE_LAB,BF±AC,

・・・NBED=NCFB=90。，

.".△BED^ACFB,

ADE：BF=BD：BC=1：2,

/.BF=2DE=2x3=6cm,

故答案为：6.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相像三角形的判定与性质，得到

△BEDc-ACFB是解本题的关键.

17.如图，已知半圆。与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C,半径

OC=1,贝IJAE.BE_.

【答案】1

【解析】【分析】连接OE,由切线长定理可得NAOE」NDOE,ZBOE=-ZEOC,再依据

22

ZDOE+ZEOC=180°,可得NAOB=90。，继而可证AAEOS/^OEB,依据相像三角形对应边

成比例即可得.

【详解】连接OE,

VAD,AB与半圆O相切，

AOE±AB,OA平分NDOE,

1

:.ZAOE=-ZDOE,

2

同理NBOE」NEOC,

2

VZDOE+ZEOC=180°,

・•・ZAOE+ZBOE=90°,

BPZAOB=90°,

・•・ZABO+ZBAO=90°,;ZBAO+ZAOE=90°,

AZABO=ZAOE,

NOEA二NBEO90。，

.,.△AEO^AOEB,

AAE：OE=OE：BE,

.\AE-BE=OE2=1,

【点睛】本题考查了切线长定理、相像三角形的判定与性质等，证得△AEOs^OEB

是解题的关键.

18.设立,％,%……是一列正整数，其中也表示第一个数，a?表示其次个数，依此类推，综表示

第n个数(n是正整数)已知a】=1,4%=(an+[I)?-(/T)?.则@2018=.

【答案】4035

【解析】【分析】4%=&+「1)2-(%-1)2整理得a+1)2=(%+「1)2,从而可得an+l-an=2或

an=-an+i,再依据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2024.

【详解】43n=1+1.1)2.(%-1)2,

・・・43n+a-1)2=4+「1)2,

・・・电]+1)2=(%+1-1)2，

/.an+l=an+i-l或an+l=-an+i+L

an+l-3n=2或Un--3n+l，

又・・“泗3……是一列正整数，

・・.an=-an+l不符合题意，舍去，

••an+i-an=2，

又♦ai=L

a2=3,a3=5,.......，an=2n-l,

/.a2024=2x2024-1=4035,

故答案为：4035.

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关

键是通过已知条件推导得出an+i-a„=2.

三、解答题

19.计算：ETlN+DZl-^l+dcosBO。.

【答案】10

【解析】【分析】先分别进行0次嘉的计算、负指数幕的计算、二次根式以及肯定值的化简、

特别角的三角函数值，然后再按运算依次进行计算即可.

【详解】原式=1+9-2g+4><3

=10-2g+2由

=10.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及到。指数嘉、负指数幕、特别角的三角

函数值等，娴熟驾驭各运算的运算法则是解题的关键.

11X-

20.先化简，再求值：(7+二—)・工，其中x=啦.

x+lX2-1X2+2X+1

X+1

【答案】原式=―=3+2也

X-1

【解析】【分析】括号内先通分进行加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后把数值代入化简后

的式子进行计算即可.

【详解】原式=xT+1.(x+l)2

(x+X

2

=X(x+l)

(x+X

_x+1

-------，

x-1

「〜，也+1「

当X=也时,原式=丁=—=3+2屈

【点睛】本题考查了分式的化简求值，娴熟驾驭分式混合运算的法则是解题的关键.

21.为了取得扶贫工作的成功，某市对扶贫工作人员进行了扶贫学问的培训与测试，随机抽

取了部分人员的测试成果作为样本，并将成果划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不

完整统计图如下图，请依据图中的信息，解答下列问题；

(1)求样本容量；

(2)补全条形图，并填空：n=;

(3)若全市有5000人参与了本次测试，估计本次测试成果为A级的人数为多少？

【答案】⑴60；(2)10；(3)2000

【解析】【分析】(1)依据B等级的人数为18,占比为30%即可求得样本容量；

(2)用样本容量减去A等级、B等级、D等级的人数求得C等级的人数，补全条

形图，用D等级的人数除以样本容量再乘以100%即可求得n；

(3)用5000乘以A等级所占的比即可求得.

【详解】(1)样本容量为：18—30%=60；

(2)C等级的人数为：60-24-18-6=12,补全条形图如图所示:

6-60x100%=10%,

所以n=10,

故答案为：10;

24

(3)估计本次测试成果为A级的人数为：5000X—=2000(人).

60

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图

中得到必要信息是解题的关键.

22.如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m,是目前湖南省第一高楼，和它处于

同一水平面上的其次高楼DE高340m,为了测量高楼BC上放射塔AB的高度，在楼DE底端D点

24

测得A的仰角为a,sma=一,在顶端E测得A的仰角为45°，求放射塔AB的高度.

【答案】AB的高度为28米

【解析】【分析】设AB的高度为x米，过点E作EFLAC于F,则FC=DE=340米，继而

可得BF=112米，从而可得AF=(112+x)米，在R3AEF中，依据等腰直角三角形的性

2424

质可得EF=AF=CD=(112+x)米，RtzkACD中，由sina=—,可得tana=—,再由

257

AC

tana=—得到关于x的方程，解方程即可求得AB的长.

CD

【详解】设AB的高度为x米，

过点E作EF±AC于F,则FC=DE=340米，

.•.BF=452—340=112米，

；.AF=(112+x)米，

在RtAAEF中，ZFAB=ZAEF=45°,

；.EF=AF=CD=(112+x)米，

24AC

RtAACD中，sina=—=——,

25AD

设AC=24k,AD=25k(k>0),由勾股定理则有CD=/B复13=7k,

AC24

tana=——=——,

DC7

AC452+x

RtAACD中，AC=(452+x)米，tana=——=--------,

CD112+x

解得x=28,

答：放射塔AB的高度是28米..

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直

角三角形并正确的利用边角关系求解.

23.“绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了爱护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处

理设备共10台，已知每台A型设备日处理实力为12吨；每台B型设备日处理实力为15吨，

购回的设备日处理实力不低于140吨.

(1)请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；

(2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定

货款不低于40万元时，则按9折实惠；问:采纳(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什

么？

【答案】(1)共有4种方案，详细方案见解析；(2)购买A型设备2台、B型设备8台时

费用最少.

【解析】【分析】(1)设该景区购买A种设备为x台、则B种设备购买(10-X)台，其中0WXW10,

根据购买的设备日处理能力不低于140吨，列不等式，求出解集后再根据x的范围以及x为整数即可

确定出具体方案；

(2)针对(1)中的方案逐一进行计算即可做出推断.

【详解】(1)设该景区购买设计A型设备为x台、则B型设备购买(10-x)台，

其中0<x<10,

由题意得：12x+15(10-x)>140,

解得X<-,

3

V0<x<10,且x是整数,

，x=3,2,1,0,

・・・B型相应的台数分别为7,8,9,10,

共有4种方案:

方案一：A型设备3台、B型设备7台;

方案二：A型设备2台、B型设备8台;

方案三：A型设备1台、B型设备9台;

方案四：A型设备0台、B型设备10台

（2）方案二费用最少，理由如下:

方案一购买费用：3x3+4.4x7=39.8（万元）＜40（万元）.•.费用为39.8（万元）,

方案二购买费用：2x3+4.4x8=41.2（万元）＞40（万元）

费用为41.2x90%=37.08（万元）

方案三购买费用：3xl+4.4x9=42.6（万元）＞40（万元）

费用为42.6x90%=38.34（万元）

方案四购买费用：4.4x10=44（万元）＞40（万元）...费用为44义90%=39.6（万

元）

方案二费用最少，即A型设备2台、B型设备8台时费用最少.

【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、最优购买方案，弄清题意，找到不

等关系列出不等式是解题的关键.

24.如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点

作EF1BD,分别交AD、BC于点E、F.

⑴求证：AAOE=ACOF;

（2）推断四边形BEDF的形态，并说明理由.

【答案】(1)证明见解析；(2)四边形BED是菱形，理由见解析.

【解析】【分析】(1)依据对角线相互平分的四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD

是平行四边形，继而可依据ASA证明AAOE丝ACOF；

(2)由AAOE丝ACOF可得OE=OF,再依据OB=OD可得四边形BEDF是平行四

边形，再依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.

【详解】(1)VOA=OC,OB=OD,

四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,

；.NDAC=/BCA,

又：NAOE=NCOF,OA=OC,

.,.△AOE^ACOF(ASA)；

(2)四边形BEDF是菱形，理由如下：

,/△AOE^ACOF,

；.OE=OF,

又；OB=OD,

四边形DEBF是平行四边形，

又：EF_LBD,

平行四边形DEBF是菱形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定，熟记平行四边形的

判定与性质定理、菱形的判定定理是解本题的关键.

25.如图，C、D是以AB为直径的。O上的点，恚=51：,弦CD交AB于点E.

上FB

(1)当PB是。O的切线时，求证：ZPBD=ZDAB;

(2)求证：BC2-CE2=CE-DE；

(3)已知OA=4,E是半径OA的中点，求线段DE的长.

6

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE

【解析】【分析】（1）由AB是直径，可得/DAB+/ABD=90。，再依据PB是。O的切线,

可得/ABD+NPBD=90。，依据同角的余角相等即可证得NPBD=NDAB；

（2）证明ABCEs^DCB,依据相像三角形对应边成比例可得BC2=CE・CD,再

依据CD=CE+DE经过推导即可得BC2-CE2=CE*DE；

（3）连接0C,由&=直，AB是直径，可得/AOC=NBOC=90。，依据勾股定理

则有CE2=OE2+CO2,BC2=OB2+CO2,再依据OA=4,E是半径OA的中点，继

而可得BC=4加，CE=2也，再依据（2）中BC2-CE2=CE.DE,即可求得DE的长.

【详解】（1）「AB是直径，

NADB=90°,即/DAB+/ABD=90°,

又•/PB是。O的切线，

.\PB1AB,

.,.ZABP=90°,即/ABD+/PBD=90°,

.\ZPBD=ZDAB；

（2）：恚=胧，

；.NBDC=NEBC,

又；NBCE=BCD,

.,.△BCE^ADCB,

ABC：CE=CD：BC,

.\BC2=CE«CD,

；.BC2=CE（CE+DE）,

.\BC2=CE2+CE*DE,

/.BC2-CE2=CE»DE；

（3）连接OC,

AC=AB是直径，

.\ZAOC=ZBOC=90o,

/.CE2=OE2+CO2,BC2=OB2+CO2,

VOA=4,E是半径OA的中点，

；.BC=4也，CE=2B

由(2)中BC2-CE2=CEDE,所以DE=(BC2-CE2)^CE=12^275=七,

乜6君

故DE=1L.

【点睛】本题是综合题，考查了切线的性质、相像三角形的判定与性质、圆周角

定理等，解