2024年中考数学复习：《分类讨论思想》大单元复习教学设计

中考《分类讨论思想》大单元复习

第一部分选材分析

一、学科本质

分类讨论思想，又称为分治策略，是一种基本的思维方法.其核心思想是将

复杂的问题分解为若干个相对简单、相互独立的子问题，分别进行讨论和解决，

最后再将这些子问题的解决方案合并，形成对原问题的完整解答.这种方法的重

要性在于，它能够将复杂问题简化，使得问题易于理解和处理.

分类讨论思想在人的成长过程中无处不在.从第一次学会识别男女厕所开始,

到人工智能时代数以亿万件的快递包裹被高效分类，准确送达客户，都无不体现

了分类讨论思想.那么怎样落实教育“立德树人”这一根本任务，培养人的思维

能力，完成思维进阶？数学课程的学习就起着至关重要的作用.

《义务教育数学课程标准（2022年版）》简称《新课标》明确指出：数学是源

于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数

学的研究对象及其关系.数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发

展中发挥着不可替代的作用.义务教育数学课程目标以学生发展为本，以核心素

养为导向，进一步强调学生获得数学基本知识、基本技能、基本思想和基本活动

经验（简称“四基”）.分类讨论思想就是最重要的数学思想之一.

于是，我们在小学数学学习中遇到了这样的问题：

【问题1】请问图1中三角形的个数是多少？

图1

怎样不重不漏准确的数出三角形的个数，准确的进行分类是关键.

事实上，分类讨论思想也我们初中数学学习遇到的第一个思想方法，比如七

上第一章《丰富的图形》的图形分类问题；七上第二章《有理数》中有理数分类,

绝对值，甚至有理数加法，乘法法则等等，都是分类讨论思想的体现.而教材最

后一次出现分类讨论思想是九下第三章《圆》回顾与思考：数学理解19题.表1

为北师大版初中数学教材含“分类讨论思想”内容的部分截图.

表1

表2和图2为北师大版初中数学教材各分册出现分类讨论思想的次数.

教材分类讨论问题次数

（次）

七年级上册13

七年级下册15分类讨论问题次数

1616

八年级上册16

八年级下册11

九年级上册16

九年级下册

9七年l级上册l七年级下册h八年级上册八年级下册h九年级上册九年级下册

表2图2

而到了高中，分类讨论思想在问题2中得以充分体现.

【问题2】用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？

请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截

面的示意图.例如，可以按照截面图形的边数进行分类:

图3

（1）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？

（2）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？

（3）能否截出五边形？为什么？

（4）是否存在正六边形的截面？为什么？

（5）有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？

由此可见，分类讨论思想一直贯穿了小学到高中的数学学习的过程.初中阶

段，在学习三角形，四边形，相似图形，平移和旋转等图形的性质和变化时，出

现的频率达到最高.究其原因，是因为分类讨论思想最能让学生体会数学命题中

条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，进而形成重论据、有条理、

合乎逻辑的思维品质，培养科学态度与理性精神.

我们以分类讨论为主题进行大单元中考复习，目的就是将复杂的数学问题按

特定的标准进行分解，形成若干子问题群，再通过数学方法逐一解决，最终归纳

获得复杂数学问题的解决办法.

同时以数学思想为主线组织专题大单元复习，往往能跨出知识层面的限制，

教材单元的束缚，凸显思维和思想方法层面，进而有利于揭示其中蕴含的学科本

质.

二、中考分析

《新课标》第六部分“课程实施”中关于学业水平考试的命题原则指出：坚

持素养立意，凸显育人导向.以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质,

关注通性通法，综合考查“四基”“四能”与核心素养.适当提高应用性、探究

性和综合性试题的比例.题目设置要注重创设真实情境，提出有意义的问题，实

现对核心素养导向的义务教育数学课程学业质量的全面考查.

我们知道，成都市中考的全称为《成都市高中阶段教育学校统一招生考试》,

又称为《成都市初中毕业生学业考试》.试卷采用“二卷合一”的形式，兼顾初中

会考毕业和普通高中招生选拔两项功能.那么数学试题怎样体现适当提高应用性、

探究性和综合性试题的比例这一特点呢？我们不妨从分类讨论思想这一数学思想

角度来看一看.

表4和图4为近5年成都中考数学需运用分类讨论思想解题的题号，内容及

分值.

年份题号分类内容分值合计分值

A18(2)图形面积4

B23创新问题分类讨论4

202316

B25（2）等腰二角形4

B26（2）相似二角形4

A18(2)相似二角形4

B22分段函数新定义4

202217

B25（2）图形面积4

B26(3)等股三角形5

2021B28（2）相似三角形44

A19(2)图形面积6

202011

B28（3）相似二角形5

B25创新问题分类讨论4

20199

B28（3）函数图象变化5

表4图4

可以发现，成都中考数学试题中，压轴题是蕴含分类讨论思想最集中的地方,

特别是在2022年《新课标》颁布实施以后，相比以前分值又有了较大提升.这充

分体现了分类讨论思想在数学思维培养，学科核心素养达成，及严谨、理性、创

新等数学精神的形成方面起到重要的作用.更是试题区分度，选拔性的重要体现.

2022年成都市初中学业水平考试数学分析报告显示：中考试卷具有“渗透思

想方法，发展核心素养”的特点，数学思想方法的渗透和数学思维水平的提升直

指学生的数学学科素养的养成和发展.其中218(2),822(2),825(2),826

(3)题都是数学思想方法渗透的集中体现，而它们都不约而同的出现了分类讨论

思想.

我们来看一看这几道题的解答得分情况：表5为2022年成都市数学中考中涉

及分类讨论思想考题的得分情况和难度系数.

题号分值平均分难度

A18题103.580.36

B22题40.40.1

B25题102.560.26

B26题123.520.3

表5

从得分情况看，由于是对学生数学综合能力的考查，难度普遍较大，得分普

遍不高.对于其中涉及分类讨论思想的小问，学生缺乏分类讨论意识，漏解是最

主要的失分点.

综合来看，中考中涉及分类讨论思想的问题难度较大.对学生分析问题，解

决问题能力的要求很高.是对“推理能力”，“空间观念”，“创新意识”等核心素

养的综合考察.

三、学情分析

《新课标》指出：在小学阶段，主要侧重学生对图形认识、图形性质，以及

图形变化与度量的感知.到了初中阶段，主要侧重学生对图形概念的理解，以及

对基于概念的图形性质、关系、变化规律的理解，要培养学生初步的抽象能力、

更加理性的几何直观和空间想象力；学生还将第一次经历几何证明的过程，需要

理解几何基本事实的意义，感悟数学论证的逻辑，体会数学的严谨性，形成初步

的推理能力和重事实、讲道理的科学精神.

以分类讨论思想为主题，我们对上课班级进行了前测（题目见作业设计部

分）.表6为学生解答情况统计.

正确

问题类型掌握情况（全班41人）

率

图形面积问题50%18人求出2个点，12人求出其巾右侧1点，1人求出左侧1点。

人理解两种型相似，人理解“正型相似，无学生单独理解“反

相似三角形问题1611A”A”

40%型相似。

8人求出完整的4个点，其巾5人采用几何求解法，3人采用代数设点列方程。另外

等腰三角形问题30%

10人求出问题中部分点。

7人求出完整的3个点，其巾5人利用设点勾股定理列方程，2人利用斜率关系求解

直角三角形问题30%

o另外12人求出问题申部分点。

5人求出完整的3个点，其申4人利用图形性质求解，1人利用申点坐标公式求解。

特殊四边形问题20%

另外10人求出问题申的部分点。

代数开放性问题4%只有2人正确解答。

表6

从上表我们可以看出：

（一）学生已有知识能力储备

1.通过初中三年的学习，已形成一定的分类讨论思想.对常见的需分类讨论

的知识点有了一定的认识.如绝对值，等腰三角形，直角三角形，特殊四边形存

在性问题，以及没有给出图形的几何填空问题等.

2.对常见的分类标准有了一定的了解.如绝对值通过符号分类，等腰三角形

通过腰的不同或顶角为锐角或钝角进行分类，直角三角形通过直角的位置分类，

四边形通过边及对角线位置进行分类等.

（二）学生思维障碍点

1.学生对数学法则，性质，定理的条件和结论没有精确的理解.

2.综合思维能力不够，“四基”存在短板.分析问题，解决问题的能力不够.

3.由于在前期学习中面对分类讨论问题积累了太多的挫败感，进而产生强烈

的畏难情绪，解题信心不足.

（三）学生思维进阶点

1.能从代数和几何两个角度对问题进行分类解答.对于计算能力较强的同学

可首选代数解法，对于图感较好的同学可首选几何解法，而对于数学综合能力较

强的同学可以两种解法相互验证.

2.对中考中的常见分类讨论问题在思考方向，分类标准，解题方法等方面有

更清晰的认识.

第二部分课程标准

一、核心素养

根据学科本质，中考分析，学情分析，我们发现如果以分类讨论思想来进行

大单元复习，主要会涉及到“空间观念”，“推理能力”“创新意识”等三方面的学

科核心素养.它们在《新课标》的具体阐述如表7所示.

表现内涵阶段

空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置

关系的认识.能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几

何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达物体的空间小学与

空间观念

方位和相互之间的位置关系；感知并描述图形的运动和变初中

化规律.空间观念有助于理解现实生活中空间物体的形态

与结构，是形成空间想象力的经验基础.

推理能力主要是指从一些事实和命题出发，依据规则推出

其他命题或结论的能力.理解逻辑推理在形成数学概念、

法则、定理和解决问题中的重要性，初步掌握推理的基本

形式和规则；对于一些简单问题，能通过特殊结果推断一

推理能力初中

般结论；理解命题的结构与联系，探索并表述论证过程；

感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯.推

理能力有助于逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形

成实事求是的科学态度与理性精神.

创新意识主要是指主动尝试从日常生活、自然现象或科学

情境中发现和提出有意义的数学问题.初步学会通过具体

的实例，运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学小学与

创新意识

命题与猜想，并加以验证；勇于探索一些开放性的、非常初中

规的实际问题与数学问题.创新意识有助于形成独立思考、

敢于质疑的科学态度与理性精神.

表7

图形的运动和变化规律具有特定要素组成，如平移的两个要素是距离和方向,

旋转的三个要素为旋转中心，旋转角，旋转方向.当其中的某个要素不确定时，

就需要用分类讨论来分析解决问题，所以分类讨论需要学生具备较强的“空间观

念”这一核心素养.

数学具有严谨性，分类讨论是逻辑思维习惯，理性精神最直观的表现.所以

分类讨论最能体现“推理能力”这一核心素养.

分类讨论思想的直观表现就是问题的开放性，而开放性问题的特征之一就是

非常规.所以分类讨论思维的形成也是学生创新意识形成的体现.

那么怎样通过中考复习，促进学生分类讨论思想形成呢？专题大单元复习不

失为一条有效的途径.

崔允渊教授指出：“核心素养发展的大单元是一种学习单位，一个单元就是一

个学习事件，一个完整的学习故事.因此，一个单元就是一个微课程，一个学习

单元由素养目标，课时，情景，任务，知识点等组成，单元就是这些要素按某种

需求和规范组织起来，形成一个有结构的整体

基于以上认识，我们设计了如图5所示的分类讨论思想大单元复习结构图.

分类讨论~

1、基本原则：标准统一，不重不漏

W进阶要求：优化分类，优化方日）

图5

（一）“不确定性”引发分类讨论

对于一个数学问题需要用到分类讨论思想的原因是“不确定性”，主要体现在

问题条件的不确定性所带来的问题结论的不确定性.如以下两个问题：

【问题3】计算卜7=----------

当代数式的符号不确定时，我们要去绝对值就需要进行分类讨论，可以分为

x-5>0,x-5=0,%-5<0三种情况进行进一步计算.同时，几何角度理解

门一’可以表示数轴上表示x的点到表示5的点之间的距离，进而可以分为点了在5

的右侧，点了与5重合，点工在5的左侧三种情况.进而可以将问题延伸为：求

卜―5|+仅+3］的最小值？在数轴上当x位于-3和5之间时，到两点的距离之和最短

为8.由此可见，绝对值既是分类讨论思想的典型知识点，同时也是解决分类讨论

问题的最有力的工具.

【问题4】如图

本问题为龙泉驿区初中数学导学案九年级下册第三章《圆》第4课时“圆周

角与圆心角关系”星级达标第1题.由于点/在。。上位置的不确定，进而需要分

类讨论优弧和劣弧两种情况.同时也进一步理解圆周角定理中圆周角是和所对的

弧相对应，而不能描述为弦所对的圆周角.

（二）分类讨论的核心是“标准统一优化”

运用分类讨论思想的关键是如何正确进行分类，正确分类的原则是：标准统

一，不重不漏.在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行；对于多级讨论，

应逐级进行.

同时，同一个问题按不同的分类标准进行分类，问题的解决也会随之有简单

和复杂之分.分类标准选的好，分类就会神奇的化繁为简.如下面这个问题：

【问题5］（2023年成都中考23题）定义：如果一个正整数能表示为两个正

整数机，〃的平方差，且也一〃>1,则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16=

52—32,16就是一个智慧优数，可以利用切2一〃2=（加+〃）（机一〃）进行研

究.若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优

数是.

（1）常规分类标准（枚举法）

解：m—n>1,即机一〃三2,机三〃+2.

当m=〃+2时，由（〃+2）2—〃2=4+4〃产生的智慧优数为：8,12,

16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,

80,......

当根=〃+3时，由（〃+3）2—〃2=9+6〃产生的智慧优数为：15,21,

27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,......

当根=〃+4时，由（〃+4）2—〃2=16+8〃产生的智慧优数为：24,32,

40,48,56,64,72,80,.......

当根=〃+5时，由（〃+5）2—〃2=25+10〃产生的智慧优数为：35,

45,55,65,75,85,......

当根=〃+6时，由（〃+6）2—〃2=36+12〃产生的智慧优数为：48,

60,72,84,.......

当机=〃+7时，由（〃+7）2—〃2=49+14〃.产生的智慧优数为：63,

77,91,……当机=〃+8时，由（〃+8）2—〃2=64+16〃产生的智慧优数为：

80,96,...............综上，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：8,12,

15,16,20,21,24,27,28,32,33,35,36,39,40,44,45,48,

51,52,55,56,57,60,63,64,65,68,69,……故第3个智慧优数是

15；第23个智慧优数是57.故答案为：15,57.

（2）按奇偶分类法

由a=毋—〃2=（加—〃分析（加+〃）与（根同奇同偶，所以分积为

奇数和偶数两类讨论：

①若（加+〃）与（根一〃）同偶时，设a=4左=（左+1>—（左一1）2（左》2）,这样的

取值有8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56......

②若（根+〃）与（根-〃）同奇时，则a可表示为两个不同且大于1的奇数之

积，即小式这样的数有15,21,27,33,35,39,45,51,

55,57......

总结两类的数排列：8,12,15,16,20,21,24,27,28,32,33,

35,36,39,40,44,45,48,51,52,55,56,57......

（三）分类讨论问题的解题方法一般包括“代数解法”和“几何解法”

数学思想方法是数学思维的体现，是数学思想和数学方法的统一.如抽象思

想、分类思想、符号化思想、归纳思想、类比思想、数形结合思想、方程思想、

函数思想、模型思想、分析法、综合法等.各种思想之间并不是孤立存在的，它

们之间是“兼容并包”的关系.所以可以从“数”和“形”两方面入手对复杂问

题进行有效分类求解，学生可以根据自身数学学习基础进行有效选择.对于计算

能较强的同学可首选代数解法，对于图感较好的同学可首选几何解法，而对于数

学综合能力较强的同学可以两种解法相互验证.如下面这个问题：

【问题6】（2023年成都中考25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知

y---x十1

抛物线4经过点尸（4,—3）,与y轴交于点Z（0,1）,直线y=Ax（左

#0）与抛物线交于8,C两点.若△ZB尸是以43为腰的等腰三角形，求点5的

坐标；

备用图

二、内容分析

（一）《新课标》内容及学业要求（第四学段7——9年级）

1.数与代数领域的学习，有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,

发展几何直观和运算能力.

2.“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，

在用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质

和定理，理解和掌握尺规作图的基本原理和方法；“图形的变化”强调从运动变化

的观点来研究图形，理解图形在轴对称、旋转和平移时的变化规律和变化中的不

变量；“图形与坐标”强调数形结合，用代数方法研究图形，在平面直角坐标系

中用坐标表示图形上点的位置，用坐标法分析和解决实际问题.

3.在具体现实情境中，学会从几何的角度发现问题和提出问题，经历用几何

直观和逻辑推理分析问题和解决问题的过程，培养应用意识和创新意识，提升几

何直观、空间观念、抽象能力、推理能力等.

（二）根据课标要求及中考分析，分类讨论思想大单元复习的内容主要包括4

个大类，6种常见问题.即为：

1.点不确定的图形面积问题，特殊四边形存在性问题；

2.角不确定的直角三角形存在性问题；

3.边不确定等腰三角形问题，相似三角形问题；

4.数不确定的代数开放性问题.

具体如结构图所示:

（~分类讨论~

1、基本原则：标准统一，不重不漏

q较高要求：优化分类，优化方受，

三、学业质量

（一）《新课标》学业质量标准要求（7—9年级）

能从生活情境、数学情境中抽象概括出数与式、方程与不等式、函数的概念

和规则，掌握相关的运算求解方法，合理解释运算结果，形成一定的运算能力、

推理能力和抽象能力；知道运动过程中的不变量、图形运动的变化特征，能运用

几何图形的基本性质进行推理证明，初步掌握几何证明方法，进一步增强几何直

观、空间观念和推理能力；知道频数、频率和概率的意义，能够进行简单的数据

分析，形成数据观念.综合运用数学和其他学科知识与方法解决问题，积累数学

活动经验，发展核心素养.

能从具体的生活与科技情境中，抽象出函数、方程、不等式等数学表达形式,

用数学的眼光发现问题并提出（或转化为）数学问题，用数学的思维探索、分析

和解决具体情境中的现实生活问题，给出数学描述和解释，运用数学的语言与思

想方法，综合运用多个领域的知识，提出设计思路，制订解决方案.能够在解决

问题的过程中选择合适的方法进行评估，并对结果的实际意义作出解释.能够知

道解决问题方法的多样性，具备一定的应用意识和模型意识，初步会用数学语言

表达与交流.

（二）根据课标要求及中考分析，分类讨论思想大单元复习设计了具

第三部分教学设计

课题中考《分类讨论思想》大单元复习设计者课时2课时

分类讨论是一种思想方法，可以涉及到初中数学的所有内容，我们研

究了近5年的中考题，根据中考需要和学生目前的答题情况，本次大单元

教学

复习，我们以点的不确定性、边的不确定性、角的不确定性、数的不确定

内容

性为主线，以我们常见的分类讨论题型为素材，以期让学生达到掌握基本

方法，熟悉常见类型，构建思维方法的目的.

1.对常见的需分类讨论的知识点有一定的认识，对常见的分类标准

有一定的了解；

学情2.面对较复杂的图形综合问题时，不能通过分类清晰抽象出几何图

分析形，进而画出简图并解答；

3.不能清晰的判断什么分类标准会更简化，更合理，更具有可操作

性，不能判别分类情况是否有重叠或遗漏.

1.知道“不确定性”而需要“分类讨论；

2.会用代数解法和几何解法解决中考常见的分类讨论问题；

教学3.运用分类讨论思想解决常见的综合性问题和开放性问题，提升学

目标生的空间观念、推理能力以及创新意识；

4.具备空间观念、几何直观、推理能力、模型思想、方程思想、创

新意识、转化与化归思想、分类讨论思想.

重点：1.感悟中考常见分类讨论题型的解题方法；

教学

2.理解分类原则是“统一标准，不重不漏”.

重难

难点：1.会用几何解法和代数解法解决中考常见分类讨论题型；

点

2.有多种分类方法时，做到优化分类，优化方法.

学生主要通过观察、思考、倾听、反思等过程，感悟分类的原则，理

学法

解基本的算法，课堂上学生做到眼会、脑会、口会，详细的书写过程在课

指导

后的练习作业中去再去完成。

教学

教学内容教师活动设计意图

活动

活动1.播放歌由3《可能》（20秒）1.由歌曲《可

2.侯课朗曾g能》进入课堂1.从热歌

a>0）到生活、

（1）同=,o（a=0）

课堂2.语言引入：到学习、

-a（a〈0）

引入由生活到学习，到做题，

⑵两点间战三离公式：

再到做题，很让学生感

（等腰三角形）

多时候都充满受数学就

E直：kk=-l（直角三角形）

（3）两直线可c2了“不确定在我们身

（,*史娥驾：性”，要解决边，数学

2（平行四边形）这种“不确定的思维就

3.引入课售性的”问题，是我们学

我们就需要习、生活

3-

4.知识构鼠“分类讨论”，的思维。

（分类讨论）这是一种思想，

1、基本原则：标准统一，不重不漏

艮较高要求：优化分类，优化竺，也是一种方法，2.将本课

［代数解法］数JL）形［几何解法］引入课堂。时内容结

铅垂法匚—1不确定性1G二二口割补法

距离公式列方程一、廿㈢构化，呈

「点不确定<1—边不确定［3、构建分类讨现数学学

1e形面积问题）1；角不确定；数不确定nI等腰三角形问题）；

论解题思路。科本质，

『直角三角形I『代数开放性1!r-—―-一J

F殊四边形:|（存在性问题J问题Ji（相似三角形J

!<2口在性问题,；帮助学生

;!;……I；……

!1_____'LJ

构建思维

方法，建

5.学法指导：通过观察、思考、倾听、反思

4、对本节课进立知识间

等过程，感悟分类的原则，理解基本的算

行学法指导。的相互联

法，课堂上做到眼会、脑会、口会，课后做

系.

好过程书写.

活动一、“点不确定”类

—*•1.三角形面积问题中“点位置不确定”的分

梳理类讨论

中考方法指导用“割补法”和“铅垂法”解△Z05

常见的面积.

“不例1.(2023成都18题)如图，在平面直角

坐标系xQy中，一次函数图象y=—x+5与V轴交

确定

4

性”于点4(0,5),与反比例函数y=—的图象的一个交

题型

点为8(1,4),过点8作48的垂线/.

(2)若点0在直线/上,且△48C的面积为5,求

点C的坐标；

为/y=x+3培养学生

(0,5)>在中考实

VB(1,4)

4

y--操问题中

-----X

O的几何模

y^-x+5型思想及

1

分类讨论

解：(1)几何解法(割补法)找点：思想，目

①点C在直线左侧：课件展示，同的是让学

1/学口述方法.生直观看

\/

\1到“点不

q确定”就

A知道要分

类讨论，

/4找准分类

li

标准，做

\

/、\到不重不

S/XABC

-s&ACD+^^BCD=5

漏.

②点C在直线N8右侧：

\1/让学生掌

\!/握代数解

X法列方程

V求解，并

感受代数

法解此类

题简便快

捷不漏解

SAABC=CD~SXABD~5

的优点，

（2）代数解法（铅垂法）列方程求解：引导学生口述同时感受

S^ABC=AD-\X—X\=5方法.绝对值在

2BC

几何题型

2.特殊四边形存在性问题中“点位置不确定”中的使

的分类讨论用.

方法指导：几何解法（三定一动型，分别做三

边的平行线）、代数解法（对角线为标准，中

点坐标公式建立方程）

例2.已知抛物线y=f+2x-3与％轴相交于

N(-3,0),8(1,0)两点,与了轴交于点C,在平面

内是否存在点。，使得Z,B,C,。为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，求出点。的坐标；若不

存在，请说明理由.

1\L

V

解：

几何解法：三定一动型，分别过三个定点作对几何法画图课培养学生

边的平行线，三条所作直线的交点即为所求点件展示，学生几何模型

D.口述点坐标.思想.

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一Y卜工一

（-M5.4^OTHIIA

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D\/TD

代数解法：设点。（x，y）,以对角线为标准分

类，建立方程求解.带领学生设点，培养学生

学生口述方程代数思想

\X+X=x+x

①4B,CO为对角线AABKrcDn

旧+%=Vc+%建立.解几何题

AC,8。为对角线「，，型.

©x+x=x+x

<AcBD

M+汽=%+%

③4D,8c为对角线底+丫_丫+丫

<

M+%f+汽

二、“边不确定”类

3.等腰三角形存在性问题中“腰不确定”的

分类讨论

方法指导：几何法（两圆一线）、代数法

（两点间距离公式）解等腰三角形腰不确定

问题.

例3.（2023成都25题）如图,在平面直角坐标系xOy

中，已知抛物线了=—；/+1经过点尸（4厂3）,与了

轴交于点幺（0/），直线>="（左。0）与抛物线交于

8,C两点.感悟分类

（2）若△48尸是以48为腰的等腰三角形，求讨论的原

点B的坐标.因是“腰

不确

定”.

mm

备用图

解：（1）几何解法找点：

①以Z0为底，做N尸的垂直平分线与抛物线

的交点即为所求的点既再利用中点坐标，两

直线垂直左值乘积为一1,解出中垂线的解析

式，再和抛物线联立方程组求解，即得8的坐

带领学生一起

标.

回顾“两圆一几何法培

线”法找点，养学生的

课件展示画图几何模型

找点，学生口思想和分

述建立方程.类思想，

②以2尸为腰，分别以Z,尸为圆心，Z尸长为建立几何

半径做圆与抛物线的交点即为所求点反此时直观.

AP=AB,很容易得出3与尸关于了轴对称.

V

（2）代数解法列方程求解：

设8(私—工/+l),A(0,1),。(4,—3)

4

带领学生熟悉

5P=^(m-4)2+(-1ffl2+l+3)2

回顾“两点间代数法培

距离公式”以养学生的

AB=^(0-m)2+(l+^m2-l)2

及分类讨论建数形结合

立方程.思想、方

ZP=J(0-4)2+(1+3)2

设点后，学生程思想及

分类讨论(建立方程)：

口述建立方分类思

①4P=②AB=BP

程.想.

4.相似三角形中“对应边不确定”的分类讨

学生根据

论

自身数学

学习基础

学法指导：分类讨论，找准对应边，列比例

进行有效

式.

选择.对

1C

y=—x7+3x+8于计算能

例4.如图，抛物线.2与x轴交于

较强的同

“(—2,0)和点2(8,0),与了轴交于点C,顶点为。，

学可首选

连接ZC,BC,5c与抛物线的对称轴/交于点

代数法，

E.点N是对称轴/右侧抛物线上的动点，在射线

对于图感

上是否存在点“，使得以点M,N,E为顶

较好的同

点的三角形与儿8。。相似？若存在，求点”的坐标

学可首选

若不存在，请说明理由.

几何法，

而对于数

学综合能

力较强的

同学可以

两种分类

方法相互

验证.

解：①当/NME=90。,=时，

bOBCs如INE

\

y/\*?***,•

力d-----史

②当/MENr=90°,EN=〃E时，

AMNE^AB,OC带领学生学生

[/画图分析，课培养学生

件展示.结合的空间观

2KM

函数设点，利念，代数

1

用对应边成比设点，几

r建立方程求何列式.

解.

③当NMNE=90°,MN=EN时，

AMNE^AE>oc

p

1

5.图形操作问题中“边不确定”引起的分类

讨论（翻折、旋转、平移）

方法指导：分类讨论，几何直观，模型思想.

例5.（2022年26题）如图，在矩形48co中，

AD=〃皿〃>1），点£是AD边上-动点（点E不

与4。重合），连接8E,以3E为边在直线BE的

右侧作矩形EBFG,使得矩形EBFGs矩形ABCD,

EG交直线C。于点在点E的运动过程中，

△48E与MDEH始终保持相似关系.

（3）连接AFZ,FH,当△8/0是以即为腰

的等腰三角形时，求tan/ABE的值（用含〃

的代数式表示）.

培养学生

的“空间

观念”

“几何直

•••矩形Z8CQs矩形£皮田,AD=nAB

EG=nEB观”“推

又可得等AFGH理能力”

EG=2EH=nEB

课件展示引导的核心素

•：AABEsADEH

DEEH_n学生展开分类养及分类

"AB~EB~2讨论，引导学讨论的思

AD-AEnAB-AEAEn

--------------------------n-------——

ABABAB2生用眼直观观想.

AFvj

—=-=tanZABE察几何图形中能够感知

AB2

的全等、相似,矩形、三

学生口述.角形在图

②FB=FH