《用空间向量研究距离、夹角问题》题型突破

高中数学精编资源2/2《用空间向量研究距离、夹角问题》题型突破重难点突破1.求平面α外一个点P到平面α的距离,可以分以下几步完成:①求出该平面的一个法向量n;②找出从点P出发与平面的任一条斜线段对应的向量PA;③求出法向量n与斜线段对应的向量PA的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点P到平面α的距离.由于n|n|=n0可以视为平面的单位法向量,所以点P到平面α的距离实质就是平面α的单位法向量n02.求直线与平面所成的角应该注意:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,直线l与平面α所成的角为θ,a与u的夹角为φ,则有:①当φ为锐角时,θ=π2-φ,sin⁡θ=cos⁡φ,cos⁡θ=sin⁡φ;3.求两平面的夹角有两种方法:(1)定义法:在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线,这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角,但要注意其异同.(2)向量法:分别求出两平面的法向量n1,n2,则两平面的夹角为n1n2(当n1n2∈典型例题剖析题型1点到直线的距离例1在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90解析:建立空间直角坐标系,写出所需点的坐标,利用点到直线的距离公式求解.答案:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A1002,M201,C10变式训练1已知a=-101为直线l的一个方向向量,点A12-1在l上,A.15B.4C.17D.3答案:C点拨:由题意,a0=a|a|=-2题型2点到平面的距离例2如图,在正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面边长为22,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点,求点D'到平面B'EF的距离解析:以点D为原点建系,设法求出平面B'EF的法向量,然后利用点到平面的距离公式求解.答案:以D为原点,DA,DC,DD'所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则E2220设平面B'EF的法向量为n=则n⋅EF令y=1,则n=又D'B=所以点D'到平面B'EF的距离d=D'B'⋅n答案:建立同例2答案中一样的空间直角坐标系,由例2的解答可知平面B'EF的一个法向量为n=又AE所以点A到平面B'EF的距离d=题型3各种距离的相互转化例3如图所示,在已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB//CD,且∠ADC=90∘,AD=1,解析:求直线A1B1到平面ABE的距离,因为直线A1B1平行于平面ABE,所以直线A1B1上任意一点到平面ABE的距离均相等,所以直线A1答案:如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则过点C作AB的垂线交AB于点F,易得BF=3,所以B所以AB=设平面ABE的法向量为n=则由n⋅AB所以y=0,x=z,不妨取n=因为直线A1B1所以直线A1B1到平面ABE的距离等于点A1因为A1所以直线A1B1到平面ABE归纳总结:（1）求直线到平面的距离,在直线与平面平行的条件下,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点可适当选取,以求解最为简单为准则,反之,求点到平面的距离时也可用直线到平面的距离过渡.(2)两平行平面间的距离可转化为一个平面内的一点到另一个平面的距离,即转化为点到平面的距离.变式训练3如图,在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⟂底面ABCD,BC//AD,∠ABC=90∘,PA=AB=BC=2,AD=1,则直线AD到平面答案:2点拨:由已知可得AB,AD,AP两两垂直,所以以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A000设平面PBC的法向量为n=abc,则由n⋅PB=0,n⋅BC=0可得2a-2c=0,2b=0,令a=1,则n=101.易得AD//平面PBC,故直线AD到平面PBC题型4直线与平面所成的角例4如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠BAD=90∘,PA⟂底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点,求BD与平面ADMN所成的角解析:建立空间直角坐标系,先求平面ADMN的一个法向量,再求出BD与平面ADMN的法向量的夹角的大小,进而求出BD与平面ADMN所成的角θ的大小.答案:如图,建立空间直角坐标系,不妨设BC=1.则A000所以BD=设平面ADMN的法向量为n=则由n⋅AD=0,n⋅AN=0得所以n=因为cosBD所以sinθ=|又0∘⩽θ⩽90∘变式训练4如图所示,已知点P在正方体ABCDA'B'C'D'的对角线BD'上,∠PDA=60(1)求DP与CC'所成角的大小;(2)求DP与平面AA'D'D所成角的大小.答案:如图,以D为原点,DA,DC,DD'所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,不妨设正方体的棱长为1,则DA=100在平面BB'D'D中,延长DP交B'D'于点H.设DH=(m,m,1)(m>0),由已知DHDA=60∘,又由DA⋅DH=|DA||(1)因为cosDHCC'=2即DP与CC'所成的角的大小为45∘(2)平面AA'D'D的一个法向量是DC=因为cosDH所以DHDC可得DP与平面AA'D'D所成角的大小为30∘题型5平面与平面的夹角例5如图,已知PA⟂平面ABC,AC⟂BC,PA=AC=1,BC=2,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值解析:分别求出平面PAB的法向量n1与平面PBC的法向量n2,注意到平面PAB与平面PBC的夹角为锐角,答案:如图,建立空间直角坐标系,则A000所以AP=设平面PAB的法向量为n1由n1⋅令x1=1,则又CP=设平面PBC的法向量为n2则由n2⋅令z2=1,则所以cosn因为平面PAB与平面PBC的夹角为锐角,所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为33变式训练5如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⟂底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⟂PB交PB于点F.(1)求证:PB⟂平面EFD;(2)求平面PBC与平面PBD夹角的大小.答案:如图所示,以D为原点,DA,DC,DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,不妨设DC=1.则有A1(1)依题意得B1得DE=故PB⋅DE=0+1由已知EF⟂PB,且EF∩DE=E,所以PB⟂平面EFD.(2)已知PB⟂EF,由(1)可知PB⟂DF,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.设点F的坐标为xyz,则因为PF=kPB,所以xyz-1因为PB⋅所以11所以k=13,点F的坐标为131因为cosFE所以∠EFD=60即平面PBC与平面PBD夹角的大小为60∘规律方法总结1.求点到平面的距离的注意点(1)点到平面的距离公式d=PA⋅n0中(2)求点到平面的距离的步骤可简化为:①求平面的法向量;②求斜线段对应的向量在法向量上的投影向量的模,即为点到平面的距离.2.计算直线l与平面α所成的角θ的方法(1)利用法向量计算θ的步骤如下:(2)利用定义计算θ的步骤如下:3.利用向量法求两平面的夹角通常有以下两种方法：(1)若AB,CD分别是两个平面α,β内与棱l垂直的异面直线,则两个平面的夹角的大小就是向量AB与CD