7.2古典概型（第2课时互斥事件概率的求法）课件高一上学期数学北师大版

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古典概型第2课时互斥事件概率的求法第七章概率北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.理解互斥事件的概率加法公式.2.了解互斥事件与对立事件之间的关系,掌握对立事件的概率公式.3.能利用互斥事件、对立事件的概率计算公式解决复杂的古典概型的概率计算问题.基础落实·必备知识一遍过知识点1

互斥事件的概率加法公式1.定义:在一个试验中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),这一公式称为互斥事件的概率加法公式.使用该公式时必须检验是否满足前提条件“两两互斥”.2.推广:一般地,如果事件A1,A2,…,An两两互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).名师点睛互斥事件概率加法公式的作用在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解为一些较为简单的并且概率已知或较容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功能.思考辨析在同一试验中,对任意两个事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?提示

不一定.只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.(

)(2)事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A+B发生的概率为P(A)+P(B).(

)(3)事件A1∪A2∪…∪An发生即事件A1,A2,…,An中至少有一个发生.(

)××√2.[人教B版教材例题]甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳,求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)甲不输的概率.解

因为甲有3种不同的出拳方法,乙同样也有3种不同的出拳方法,因此一次出拳共有3×3=9种不同的可能.因为都是随机出拳,所以可以看成古典概型,而且样本空间中共包含9个样本点,样本空间可以用下图直观表示.因为锤子赢剪刀,剪刀赢布,布赢锤子,所以若记事件A为“平局”,B为“甲赢”.则:(1)事件A包含3个样本点(图中的△),因此(2)事件B包含3个样本点(图中的※),因此(3)因为A+B表示“甲不输”,且A,B互斥,所以所求概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=知识点2

对立事件的概率公式名师点睛1.对立事件的概率公式使用的前提是两个事件对立,否则不能使用.2.当一个事件的概率不易直接求出,但其对立事件的概率易求时,可运用对立事件的概率公式,即运用间接法求概率.思考辨析在同一试验中,设A,B是两个随机事件,若A∩B=⌀,则称A与B是两个对立事件,此说法对吗?提示

不对,若A∩B=⌀,仅能说明A与B的关系是互斥的,只有A∪B为必然事件,A∩B为不可能事件时,事件A与事件B才互为对立事件.自主诊断1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率为0.42,摸出白球的概率为0.28,那么摸出黑球的概率为(

)

A.0.42 B.0.28

C.0.3

D.0.7C解析

由题意知,摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故选C.2.[人教B版教材例题]先后掷两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A:点数之和为7,B:至少出现一个3点,求P(A),P(),P(B),P(AB).解

用数对(x,y)来表示抛掷结果,则样本空间可记为Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},而且样本空间可用下图直观表示.样本空间中,共包含36个样本点.不难看出,A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},A包含6个样本点,因此由对立事件概率之间的关系可知类似地,可以看出,图中框中的点可以代表事件B,因此B包含11个样本点,从而P(B)=不难知道,AB={(4,3),(3,4)},因此重难探究·能力素养速提升探究点一互斥事件、对立事件的概率求解角度1互斥事件的概率★【例1】

袋中有12个除颜色外其他均相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是

.(1)分别求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率.解

(1)从袋中任取一球,记事件A为“得到红球”,B为“得到黑球”,C为“得到黄球”,D为“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥.∵B与C+D互斥,B+C与D互斥,(2)∵得到的球既不是黑球也不是绿球,∴得到的球是红球或黄球,即事件A+C,故得到的小球既不是黑球也不是绿球的概率为规律方法

互斥事件的概率的求解策略(1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式计算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,必须先判断A,B是否为互斥事件.变式训练1(1)一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,那么摸出红球的概率为(

)A.0.42 B.0.38 C.0.2 D.0.8C解析

记“摸一个球为红球”“摸一个球为白球”和“摸一个球为黑球”为事件A,B,C,则A,B,C为两两互斥事件,且A+B+C为必然事件,由题意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.★(2)向三个相邻的站点投放一份物资,投中第一个站点的概率为0.2,投中第二个站点的概率为0.12,投中第三个站点的概率为0.28,三个站点中,只要投中一个另两个也会拥有物资,求站点拥有物资的概率.解

设A,B,C分别表示投中第一、第二及第三个站点这三个事件,事件D表示站点拥有物资,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因为只投放了一份物资,故不可能投中两个及以上站点,所以A,B,C是两两互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即站点拥有物资的概率为0.6.角度2对立事件的概率【例2】

某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28,计算这个射手在一次射击中:(1)射中10环或7环的概率;(2)不够7环的概率.解

(1)设“射中10环”为事件A,“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A∪B,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环,但由于这些概率都未知,故不能直接求解,可考虑从反面入手,不够7环的反面为大于等于7环,即7环、8环、9环、10环,由于这两个事件必有一个发生,另一个不发生,故是对立事件.设“不够7环”为事件E,则事件为“射中7环或8环或9环或10环”,又“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”是彼此互斥的事件,所以P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,从而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.所以不够7环的概率为0.03.规律方法

公式P(A)=1-P()的应用说明(1)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时,常常使用该公式转化为求其对立事件的概率.(2)该公式的使用实际是运用逆向思维(正难则反),比较适合含有“至多”“至少”“最少”等关键词语型题目.变式训练2在数学考试中,小明的成绩在[90,100]的概率是0.18,在[80,90)的概率是0.51,在[70,80)的概率是0.15,在[60,70)的概率是0.09,在[0,60)的概率是0.07.计算下列事件的概率:(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩;(2)小明考试及格.解

分别记小明的成绩在[90,100],[80,90),[70,80),[60,70)为事件B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥.(1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)(方法一)小明考试及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.(方法二)因为小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93.探究点二互斥事件、对立事件与统计的综合运用【例3】

某初级中学共有学生2000名,各年级男、女生人数如下表:性别七年级八年级九年级女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名,抽到八年级女生的概率为0.19.(1)求x的值.(2)现按年级用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,应在九年级中抽取多少名学生?(3)已知y≥245,z≥245,求九年级中女生比男生少的概率.解

(1)由题得

=0.19,解得x=380.(2)由题得九年级人数为y+z=2

000-(373+377+380+370)=500,现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生,应在九年级抽取的人数为(3)设九年级女生比男生少为事件A,九年级女生数、男生数记为(y,z),由(2)知y+z=500,y,z∈N.满足题意的所有样本点是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11个.事件A包含的样本点是(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),共5个,故P(A)=规律方法

求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.变式训练3某校从高一年级某次数学竞赛的成绩中随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示.(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1).(2)为调查高一年级学生课外学习数学的情况,学校决定从成绩在[70,100]之间的学生中用分层随机抽样的方法抽取6人组成一个调研小组,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正、副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率.(2)成绩为[70,80),[80,90),[90,100]这三组的频率分别为0.3,0.2,0.1,所以[70,80),[80,90),[90,100]这三组抽取的人数分别为3,2,1.(3)由(2)知成绩在[70,80)的有3人,分别记为a,b,c;成绩在[80,90)的有2人,分别记为d,e;成绩在[90,100]的有1人,记为f.所以从抽取的6人中选出正、副2个小组长的样本空间Ω={ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe},共30个样本点.记“成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q,则Q={ad,da,ae,ea,bd,db,be,eb,cd,dc,ce,ec,de,ed,df,fd,ef,fe},共18个样本点,所以成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率本节要点归纳1.知识清单:(1)互斥事件的概率加法公式及应用;(2)对立事件的概率公式及应用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:将事件拆分为若干事件时出现遗漏,导致计算概率错误.学以致用·随堂检测促达标123451.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为(

)A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.7B解析

由于中一等奖,中二等奖为互斥事