湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版）

2024年下学期长大附中高二入学考试数学数学考试范围：必修部分；考试时间：120分钟，满分120分.注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共40分）1.命题：的否定是（）A.使得B.使得C都有D.都有2.若：，：，则是的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数的定义域为（）A. B.C. D.4.已知函数，且函数最小正周期为，则下列关于函数的说法，①；②点是的一个对称中心；③直线是函数的一条对称轴；④函数单调递增区间是.其中正确的（）A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④5.已知实数，，，则，，这三个数的大小关系是（）A. B.C. D.6.在直三棱柱中，底面是以B为直角的等腰三角形，且，.若点D为棱的中点，点M为面的一动点，则的最小值为（）A. B.6 C. D.7.已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（）A. B. C.1 D.28.已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（共18分）9.已知平面向量，，则下列说法正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.与垂直的单位向量的坐标为D.若向量与向量共线，则10.已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（）A.-2 B.3 C.5 D.811.对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间,使在上的值域为.那么把称为闭函数.下列结论正确的是A.函数是闭函数B.函数是闭函数C.函数是闭函数D.时,函数是闭函数E.时,函数是闭函数三、填空题（共15分）12.若函数具有性质：①为偶函数，②对任意，都有，则函数的解析式是_____________．（只需写出满足条件的一个解析式即可）13.若正实数x，y满足，则的最小值为______．14.已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______.四、解答题（共77分）15.已知函数，.（1）求函数的最小正周期和对称轴；（2）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值.16.如图，在五面体中，四边形是正方形，，，.（1）求证：平面平面；（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.17.已知某科技公司某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．（1）若临界值，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；（2）设且，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B型手机各1万部的生产：方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值（单位：万元）的表达式，并从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．18.设A是符合以下性质的函数组成的集合，对任意的且在上是减函数。（Ⅰ）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数