江苏省泰州市2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题含答案

江苏省泰州市2023-2024学年高一下学

期6月期末考试数学试题

2023〜2024学年度第二学期期末考试

高一数学试题

(考试时间：120分钟；总分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.在正方体45CQ-44。。中，与8G所成的角为

A.30°B.60°C.90°D.120°

2.记△N8C的内角乩瓦。的对边分别为a,b,c.已知c=4,2=45。，若角8有两解,

则。的值可以是

A.2B.272C.2GD.4

3.在△NBC中，4(1,一2),四=(2,6),则

1

A.tB.tK一C.D.z声2

423

4.设甲：直线a与平面a内两条直线垂直，乙：直线a1平面a,则甲是乙的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.复数z与复平面内的点(3,-4)对应，则/=

A.-7+24iB.25+24/C.2D.25

6.已知互不相等的一组数孙工2，工3,…的平均数为再0,方差为s：.苞户2，毛,…用的方差

为官，则

A.s；＞s；B.s；=s；

C.D.s；与$大小关系不确定

7.已知圆锥底面半径为3,体积为3兀，若圆锥底面圆周和顶点都在球。的表面上，则球O

的表面积为

c苧而500兀

A.100KB.40%D.

8.在△A8C中,BC=8,2sin/+3cos3cosc=4,则△NBC的面积为

A.4B.8C.24D.32

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得。分。

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9.已知zgeC,方程F+X+JO的两个根为4/2，则

A.z=zB,区上㈤C.|禧=乎2

x2D.z；=z1z2

10.已知事件48满足P(m=；/(3)=g,则

A.若43互斥，则尸(43)=1

6

B.若4B互斥,则P(/+B)=；

C.若43独立，则尸(力3)=上

7

D.若43独立，贝i」P(N+3)=q

11.如图，在三棱柱/BC-44G中，BC=B[C,AC=CC,=2,。为四边形2CG4对角

线的交点.若尸为棱的中点，4F_L平面3CG片，贝U

A.CF1AB

B.g_L48i

C.三棱锥尸-/BC的体积小于三棱锥8-。4£的体积

D.三棱柱ABC-44G的体积的最大值为2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.抛掷两颗质地均匀的骰子，记“第一颗骰子结果向上的

点数为偶数”为事件N，记“第二颗骰子结果向上的点数为

5或6”为事件8,贝I」尸(4B)=▲

13.已知向量厉=(1,2),丽=(4,3),灰=(3,加).若而上灰,则向量标在向量方上的

投影向量的坐标为▲.

14.如图，设草地与山坡所成二面角尸-Z3-。的平面角

为6,且tan6=-J1S.山脚线上有一个标志物/,猎

人在/点的正东方向100米的G点处，一只兔子在/点的

正北方向100米的J点处.若兔子沿垂直于4s的方向往

山坡上以10米/秒的速度奔跑，15秒后到达”点，同时

被猎人击中，则点G与点”之间的距离为米；猎

人行走至H点的最短路程是▲米.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知兀＜a＜包，sina=-&,求下列各式的值：

25

⑴2sin2a+sin2a

cos2a

(2)tan(a-手).

16.(15分)

某医院在一次体检中抽取了100名患者的心跳数据(均为整数)，分成[59.5,69.5),

[69.5,79.5),[79.5,89.5),[89.5,99.5),[99.5,109.5]五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求心跳为89.5次的百分位数，并估算这批患者心跳次数的平均数；

(2)'为进一步了解患者的心跳次数的情况，从高于89.5次的患者中分层抽样6人，再

从6人中任取2人，求抽中的2人心跳次数都高于99.5的概率.

17.(15分)

在△N8C中，角4瓦。的对边分别是瓦c,从下面的三个条件中选取适当的：个并

解答如下问题.

2b—ca?+方2—c?.\/3.

①-------=73-----5-----'②c-acos8=—asinB；③acosB+8cosN=2ccosB.

cb+c-a3

(1)求/；

(2)若a=2,求/+c2的取值范围.

(若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答记分)

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18.(17分)

如图，在四棱柱4404中，四边形/3CD为直角梯形，ABHCD,AB>CD,

ZABC=90°.过点G作G。，平面"CO，垂足为O，OB=OC，”是CQ的中点.

(1)在四边形/8CQ内，过点。作OE_L4D,垂足为E.

(i)求证：平面OEG，平面；

(ii)判断。，邑％,G是否共面，并证明.

(2)在棱5。上是否存在一点N,使得“C"/平面。MV?若存在，给出证明：若不存

在，请说明理由.

19.(17分)

在△4BC中，48=1,过点4分别作的垂线I"?，点8关于《的对称点为用，

点C关于4的对称点为£・

(1)若/物C=£,ZC=7i，尸是△4BC所在平面内的任意一点，求9•(西+西)

的最小值；

(2)(i)若4是△3CG的重心，求ZC的值；

(ii)若丽=x而+|无，~ACX=yAB+zAC,x,z为实数，y为正整数，求cos乙4cB

的值.

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2023〜2024学年度第二学期期末考试

高一数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.B；2.C；3.D；4.B；5.D；6.C；7.A；8.B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.ABC；10.BCD；11.BD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.—；13.（—8,—6）；14.IOOA/5,50j^.（第一空2分；第二空3分）

6

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

37r44

14.解答：（1）由乃——,sina=——，得tana=—.............3分

253

2

/、2smor+sm2a2sm^z(sma+cosa)2sina2tanoo

(l)=-------Z--------7-----=--------------=---------=-O；

cos2dzcoscf-sinacosa-sina1-tana

...........8分

-z5兀、tancr-11…八

(2)tan(。----)—--------——...............13刀

41+tanor7

15.解答：（1）89.5的百分位数为100x（1—（0.2+04））=70,..........3分

设心跳次数为X,

则元=64.5x00+74.5x0.25+84.5x005十94.5x0.214005x0。=84,

所以这批志愿者的心跳数的平均数为84；...........7分

（2）由从高于89.5次的检测者中分层抽样6人得［89.5,99.5）抽4人，

［99.5,109.5］抽2人，............10分

记“抽中的2人心跳数高于99.5”为事件A,

从6人中任取共有15种，2人心跳数高于99.5有1种，

则p（A）=上，即抽中的2人心跳数高于99.5的概率为工..............15分

17.解答：⑴若选①,根据正弦定理及题意,得『然黑

所以2sinBcosA=cosCsinA+sinCeosA,即2sinBcosA=sin(A+C).

因为A+C=TZ■-3,所以2sin5cosA=sin(〃-5)=sin5.

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又sinB/O,所以cosA=；,又Ae(0㈤，所以A=5........................6分

若选②，因为。-acosB=——asinB,所以由正弦定理，

3

可得sinC-sinAcos3=——sinAsinB,

3

=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin5,整理得cosAsinB=^y-sinAsin3,

c

因为3E(0,»),所以sinB>0,可得cosA=——sinA,即tanA=G，

3

因为A£(0,I),所以4=工.............6分

3

若选③，因为ccosA+acosC=2bcosA

所以由正弦定理可得：sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB=2sinBcosA,

因为BEQI),所以sinB>0；

可得cosA='.

2

又AE(0,I),故A=2........................6分

3

246_b_c

(2)由(1)得4=不，因〃=2,由正弦定理，.兀3sinBsinC，

则b=4gsinB,c=4力sinC,

b2+c2=2bccosA+a2=bc+4=^-sinBsinC+4......................9分

ooizr

二-[cos(B-C)-cos(B+C)]+4=-cos(B-C)+—>......................12分

因为3—Ce(—g，T),所以》2+。2的取值范围为(4,8].......................15分

18.解答：(1)(i)由平面A5CD，

4Bi

ADu平面ABCD得G。，A。，

又OE，A。，OE0G=。，OE,OC[u平面OEQ，

得AD1平面OEG，

因为ADu平面ADR4，

所以平面OECi1平面ADD^；............5分

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(ii)O,E，A，£不共面,

假设O,E,"，G共面，

由四棱柱ABCD-4月£。1得平面ABCDII平面AgGA,

所以0E//G2，

又CD//G2，所以OE//CD，即NADC=90°，

从而四边形A3CD为矩形，与AB>C£)矛盾！

所以O,E，A，G不共面；............10分

(2)取3c的中点N,连接C。并延长交于尸，

因为NABC=90°,OB=OC,所以。为CP的中点，0N//A5,

因为6^(2平面45。],ABu平面ABCr所以ON//平面ABC1，

再由"是CG的中点，同理可得MN//平面ABC1，

因为。NMN=N,ON,MNu平面OMN,所以平面。MN//平面ABG，

因为AGu平面A5G，所以AG〃平面OMN.....................17分

97T

19.解答：(1)由题意得NCAG=/氏44=5，

jr

所以ZB]AG=^，....................2分

22

,用+AC1卜^ABt+AQ+2ABrAQ=AB+AC=2；

取耳G的中点为“，AM的中点N,则MN=』，............4分

112

则PA(PBi+PC1)=2PA-PM=2(PN2-MN2)>-1,

即当P为AM中点时，24.(「耳+尸6)取最小值—；；..........6分

(2)以A为坐标原点，AB为光轴正方向，建立直角坐标系，

设C(rcos6,rsine),AC=r>09则5(1,0),AB=(1,0),

由题意得AB】=(cos(26-sin(26-》))=(-cos2^,-sin23),

AC{=(rCOS(TT-rsin(7r-^))=(-rcosO.rsin0),

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-3cos20=1+rcos0-rcos0

(i)因为4是△5CG的重心，所以＜