2024年中考数学复习直角三角形的核心知识点精讲（讲义）（解析版）

专题18直角三角形的核心知识点精讲

rtF~~=^n

।弊复习目标h

1.了解直角三角形的概念；

2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余（无需证明）；直角三角形斜边上的中

线等于斜边的一半；

3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；

4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；

5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；

考点梳理

考点1：直角三角形的性质与判定

1.两锐角之和等于90°

2.斜边上的中线等于斜边的一半

3.30°角所对的直角边等于斜边的一半

1.若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°

性质（应用时需先证明）

2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则

a2+1b2=c2

1.有一个角为90°的三角形时直角三角形

2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形

1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形

判定2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足

22

a+b=c，那么这个三角形为直角三角形。

11,其中a是底边常，hs是底边上的高

Sc=-aKb=—c/7z

面积公式

b

考点2：勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别

为a,b,斜边长为c,那么

(2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+〃=。2,那么这个三角形是直角三

角形.

(3)勾股数：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

*

\典例引领

【题型1：直角三角形的性质与判定】

【典例1】(2022•绍兴)如图，把一块三角板的直角顶点2放在直线跖上，2c=30。，AC//EF,

贝“1=()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解答】解：:/c〃斯，4c=30°,

ZC=ZCBF=30°,

•­-AABC=90°,

•..41=180°-AABC-ACBF=1SO°-90°-30°=60°,

故选：C.

■

年BD时检测

1.（2022•岳阳）如图，已知/〃45,CDLI于点、D,若乙。=40。，则41的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【解答】解：在中，ACDE=90°,ADCE=40°,

则乙CED=90。-40°=50°,

■.-I//AB,

...41=乙CED=50°,

2.（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许

多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120。，腰长为12%,则底边

上的高是（）

【答案】3

【解答】解：如图，作于点。,

AB=ZC=A(1800-ABAC)=30°,

2

5L-：ADVBC,

.'.AD=^AB=—x12=6(m),

22

故选：B

【题型2：勾股定理及逆定理】

【典例2］（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户

不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文:

今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放,

竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别

是8,6,10尺.

DC

高

【答案】8,6,10.

【解答】解：设门对角线的长为x尺，贝!1门高为（x-2）尺，门宽为（x-4）尺，

根据勾股定理可得：

x2=（x-4）2+（x-2）2,即/=/一8x+16+f-4x+4,

解得：xi=2（不合题意舍去），X2=10,

10-2=8（尺），

10-4=6（尺）.

答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺.

故答案为：8,6,10.

?BD时希泅

1.（2023•天津）如图，在△/水：中，分别以点/和点C为圆心，大于/AC的长为半径作弧（弧所在圆的

半径都相等），两弧相交于N两点，直线VN分别与边8C,/C相交于点。，E,连接/D若BD=

【答案】。

【解答】解：由题意得：是/C的垂直平分线,

：,AC=2AE=?>,DA=DC,

ADAC=AC,

:BD=CD,

:.BD=AD,

二.AB=乙BAD,

vAB+/LBAD+AC+ADAC=180°,

.'.2ABAD+2ADAC=180°,

...乙BAD+乙DAC=90°,

ABAC=90°,

在Rta/BC中，BC=BD+CD=2AD=\0,

-'-AB=VBC2-AC2=V102-82=6,

故选：D.

2.（2023•东营）一艘船由N港沿北偏东60°方向航行30加至8港，然后再沿北偏西30°方向航行40筋7

至。港，贝I」/,C两港之间的距离为50km.

【答案】50.

【解答】解：如图：

由题意得：ADAB=60°,乙FBC=30°,AD//EF,

；.乙DAB=LABE=60°,

AABC=180°-乙ABE-乙FBC=9Q°,

在RtZUBC中，AB=30km,BC=40km,

AC=VAB2+BC2=Vso2+4O2=50（km）,

.'.A,C两港之间的距离为50km,

故答案为：50

3.（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积

的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如

22

图，4D是锐角4ABC的高，贝I8D=」■（BC+次―）当N3=7,8C=6,/C=5时，CD=1.

2BC

【解答】解：5D=-1（BC+^~^2）,AB=1,BC=6,AC=5,

2BC

=（6+jW2.）=5,

26

.-.CD=BC-BD=6-5=1,

故答案为：1.

4.（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4c加的点/处有

一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点8处，则蚂蚁从外

壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm.（杯壁厚度不计）

【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作B关于M的对称点Q，

连接夕A,则夕/即为最短距离，

B'A=D2+AD2=782+62=1。（。加）•

故答案为：10.

€典例丽

【题型3：勾股定理与弦图、拼图】

【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在

我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定

理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）①请叙述勾股定理;

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该

定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这

三个图形中面积关系满足Si+S2=S3的有3个;

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分

别为S1,直角三角形面积为S3,请判断Si,S2,S3的关系并证明；

(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重

复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方

形M的边长为定值机，四个小正方形N,B,C,。的边长分别为a,b,c,d,已知乙1=乙2=乙3=乙

a,则当乙a变化时，回答下列问题：(结果可用含的式子表示)

①。2+y+。2+解=加2；

②b与c的关系为b=c,a与d的关系为a+d=,力.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.

(或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.)

②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即c2=x4+(6-a)2,

2

化简得：cr+b2=c2.

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即(a+b)2=c2+Aa/)x4,

2

化简得：/+庐=C2.

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

即工(a+b)(a+b)=Lbx2+lc2,

222

化简得:a2+b2=<?.

(2)①三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有3个；

故答案为3；

②结论：S1+S2=S3.

'：S\+S2=—JI(—)2+—JT(—)2+S3-—n(£)2,

222222

S1+S2=—n(a2+b2-c2)+S3,

8

cP+b2=c2.

•.•S1+S2=S3.

(3)①/+序+/+/=m2；

②b与c的关系为b=c,a与d的关系为〃+d=冽.

故答案为：m2;b=c,a+d=m.

・60时鞋测

1.（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如

图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”.若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面

积均为1,a为直角三角形中的一个锐角，则tana=（）

A.2B.3C.-1D.近

225

【答案】Z

【解答】解：由已知可得，

大正方形的面积为1x4+1=5,

设直角三角形的长直角边为。，短直角边为6,

贝I]a2+b2=5,a-b=\,

解得a=2,b=l或a=l,b=-2（不合题意，舍去），

丁•tana=且_=2=2,

b1

故选：A.

2.（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如

图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的

面积是25，小正方形的面积是1,则AE=3.

【答案】3.

【解答】解：•••大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

:,AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,

根据题意，设AF=DE=CH=BG=x,

贝=1,

在Rt/\AED中,AE2+ED2=AD2,

（X-1）2+/=52,

解得：xi=4,X2=-3（舍去）,

「.x-1=3,

故答案为：3.

屈^好嬴*1]

选择题（共7小题）

1.在中，若一个锐角等于40。，则另一个锐角的度数为（）

A.40°B,45°C.50°D.60°

【答案】C

【解答】解：,••直角三角形中，一个锐角等于40°,

・•・另一个锐角的度数=90°-40°=50°.

故选：C.

2.如图，在△/8C中，乙/C8=90。，点。在上，沿。折叠，使/点落在8c边上的£点，若乙B

=26°,则4CDE的度数为（）

c

E

T~DB

A.52°B.71°C.72°D.81°

【答案】5

【解答】解：V^ACB=90°,乙8=26。,

/.AA=90°-26°=64。,

根据折叠，ACDE=AADC,乙ACD=LBCD=45°,

/.AADC=180°-45°-64°=71°,

/.ACDE=AADC=7l°,

故选：B.

3.如图，在△45。中，ZC=90°,44=15。，点。是4C上一点，连接AD,乙DBC=60。,BC=2,

则/。长是（）

【答案】Z

【解答】解：..•4。=90。,ADBC=60°,

ABDC=90°-ADBC=30°,

/.BD=2BC=4,

,.24=15。，

/.AABD=ABDC-AA=15°,

/.^A=AABD=15°,

:.AD=BD=4,

故选：A.

4.以2,3为直角边的直角三角形斜边长为（）

A.V5B.413C.4D.5

【答案】B

【解答】解：以2,3为直角边的直角三角形斜边长=正丁=0与，

故选：B.

5.下列各组数据是勾股数的是（）

A.-1,A,AB.4,5,6

345

C.0.3,0.4,0.5D.9,40,41

【答案】。

【解答】解：4（L）2+（■1）2厘（上）2,不能构成直角三角形，故不符合题意；

453

B、42+52/62,不能构成直角三角形，故不符合题意；

c、0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；

D、92+402=412,能构成直角三角形，且9,40,41是正整数，故符合题意.

故选：D.

6.如图，已知CD1BD,若用“HL”判定RS/AD和RQCDB全等，则需要添加的条件是（

A.AD=CBB.=ZCC.BD=DBD.AB=CD

【答案】/

【解答】解：-；ABLBD,CDLBD,

:.乙ABD=LCDB=90°,

A.AD=CB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理HL,能推出RtzXNAD和RQC£>5全等，故

本选项符合题意；

B.AA=AC,乙ABD=LCDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理44S,不是两直角三角形

全等的判定定理HL,故本选项不符合题意；

C.AABD=ACDB,BD=DB,不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出RtZUAD和Rt^CDB

全等，故本选项不符合题意；

D.AB=CD,乙ABD=LCDB,BD=DB,符合两直角三角形全等的判定定理&4S,不是两直角三角形

全等的判定定理加，故本选项不符合题意；

故选：A.

7.如图所示，已知在△48C中，ZC=90°,AD=AC,DELAB交BC于点、E,若42=28。，贝

)

A.28°B,59°C.60°D.62°

【答案】栗

【解答】解：在△/BC中，AC=90°,AD=AC,交BC于点E,且ZE=/E,

△CAE/4DAE(HL),

乙CAE=乙DAE=—/_CAB,

2

AB+ACAB=90°,43=28°,

ACAB=90°-28°=62°,

AAEC=90°-X/LCAB=90°-31°=59°.

2

故选：B.

二.填空题(共6小题)

8.如图，在△NBC中，AACB=90°,乙/=40。，。为线段的中点，则43。=50,

［答案］50.

【解答】解：•.•在△/BC中，AACB=90°,AA=40°,

.,22=50°.

为线段N8的中点，

：.CD=BD,

：.乙BCD=48=50°.

故答案为：50.

9.我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方

形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达

到岸边的水面”，则水池的深度为12尺.

［答案】见试题解答内容

【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得:

/+(10+2)2=(x+1)2,

解得：x=12,

答：水的深度是12尺.

故答案为：12.

10.如图△48C中，AA：乙B=l：2,DELAB于E,且4FCD=75。,则-D=40°.

［答案】见试题解答内容

【解答】解：,•・乙尸cr>=75°,

AA+AB=75°,

•­•AA：AB=1：2,

=AX75°=25°,

3

,:DELAB于E,

AAFE=90°-44=90°-25°=65°,

/LCFD=AAFE=65°,

•­-ZFCZ)=75°,

...△£>=180°-ACFD-ZFC£>=180°-65°-75°=40°.

故答案为：40°

11.如图，在一个三角形的纸片(△4BC)中，4c=90。，则图中41+乙2的度数为270

B

［答案1270.

【解答】解：,.,』C=90。，

•,AA+AB=90°,

；乙1+42+24+42=360°,

Zl+Z2=360°-90°=270°,

故答案为：270.

12.如图，在中，AACB=90°,以NC为边向外作正方形4DEC,若图中阴影部分的面积为9c

【答案】5.

【解答】解：；正方形ADEC的面积为9,

.'.AC2=9,

在Rta/8C中，由勾股定理得，

AB=7AC2+BC2=49+16=5(cm),

故答案为：5.

13.如图，。为△NBC内一点，CD平分乙4CB,BDLCD,AA=AABD,若BD=1,BC=3,贝I]NC的长

为5.

【解答】解：延长与/C交于点E,

AA=乙ABD,

:.BE=AE,

:BD1CD,

：.BE±CD,

〈CD平分乙4CB,

乙BCD=乙ECD,

乙EBC=乙BEC,

•.BC=CE,

.BE人CD,

.，.2BD=BE,

•••BD=\,BC=3,

：.CE=3,

・•.AE=BE=2,

'.AC=AE+EC=2+3=5.

故答案为：5.

三.解答题（共4小题）

14.如图，在△48C中，。是8C的中点，DELAB,DF1AC,垂足分别是E,F,S.DE=DF.求证：Rt

△BDE"RtACDF.

［答案】见解析.

【解答】证明：■-DEA.AB,DFVAC,

：.ADEB=ZDFC=90°,

・・,。是2c的中点，

：.BD=CD,

在Rt/XBDE与RtACZ)F中，

(BD=CD

IDE=DF'

RtASD^RtACDF(HL).

15.如图，已知乙NDC=90°,4D=8,CD=6,AB=26,2C=24.

(1)证明：△NBC是直角三角形.

(2)请求图中阴影部分的面积.

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：,•・在中，AADC=90°,/。=8,CD=6,

.-.AC2=AD2+CD2=82+62=100,

■.AC=10（取正值）.

在△NBC中，-.-AC^+BC2=102+242=676,AB1=261=616,

：.AC1+BC2=AB2,

△N8C为直角三角形;

（2）解：S阴影=5氏人/8。-SJUANCD

=AX10X24-AX8X6

22

=96.

16.如图1,荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动.有一天，小明在公园里游玩，如图2,他发

现秋千静止时，踏板离地的垂直高度。£=1根，将它往前推送(水平距离8C=6〃?)时，秋千的踏板

离地的垂直高度BF=CE=3m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度?

图1图2

【答案】10m.

【解答】解：由题意得：AACB=90°,

在中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

设绳索40的长度为x%,则/C=(x-2)m,

.'.x2=62+(x-2)2,

解得：x=10,

答：绳索/。的长度是10m.

17.一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据勾股定理:

梯子距离地面的高度为：7252-72=24（米）；

（2）梯子下滑了4米，

即梯子距离地面的高度为48=-44'=24-4=20（米），

根据勾股定理得：25={+（7+CC’―）"2，

解得CC=8.

即梯子的底端在水平方向滑动了8米.

维力想升

选择题（共5小题）

1.如图，在Rta/BC中，AACB=90°,乙4=30°,点。是/C上一点，将△NAD沿线段3。翻折，使

得点N落在4处，若乙4BC=20°,则4c8D=（）

A.5°B.10°C.15°D.20°

【答案】。

【解答】解：由折叠得乙乙H8Q,

...在中，乙ACB=90。,44=30。，

AABC=60°,

...乙48C=20°,

/.^ABAy=80°,

・•.乙ABD=LA'BD=40。,

；.LCBD=LABD-LA'BC=2。。,

故选：D.

2.如图，RSZBC中，AC=90°,乙ABC=60。，以顶点5为圆心、适当长为半径作弧，在边5C、BA

上截取BE、BD；然后分别以点。、E为圆心、以大于QE的长为半径作弧，两弧在4CA4内交于点尸;

作射线5方交4。于点G.若力C=6,尸为边45上一动点，则G尸的最小值为（）

【答案】3

【解答】解：由尺规作图步骤可得，5G平分443C,

VAC=90°,AABC=6Q°,

AACBG=AABG=30°,44=30。,

，AB=2BC,而/C=6,

(25C)2-BC2=62,

解得:BC2=U,

同理可得：BG=2GC,

/.(2GC)2-GC2=BC2=12,

・•.GC=2,

当G尸，45时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP=GC=2,

故选：B.

3.如图，△/BC中，AACB=9Q°,ACAB=60°,动点尸在斜边所在的直线加上运动，连接尸C,

那点尸在直线加上运动时，能使图中出现等腰三角形的点尸的位置有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】C

【解答】解：如图所示：以8为圆心，5c长为半径画弧，交直线小于点P4,尸2,

以/为圆心，NC长为半径画弧，交直线S于点P,P3,

边AC和BC的垂直平分线都交于点尸3位置，

4.如图，线段。尸=1,过点尸作尸产i_LOP且尸P=l,连结。Pi;过点尸1作为尸2，。为且为尸2=1,连结

。P2；过点尸2作P2P3LOP2且尸2P3=1,连结。尸3,则。尸3的长为（）

A.1B.V2c.VsD.2

【答案】。

【解答】解：由勾股定理得：op/：。尸2+pp/=2,

2=2+2=3

0P2P1P2OP1'

。「=Jopg+p2P

故选：D.

5.如图，以RtZ\45C的三条边作三个正三角形，贝iJSi、S2、S3、S4的关系为（）

$4

B

A.S1+S2+S3=S4B.S1+S2=S3+S4

C.S1+S3=S2+S4D.不能确定

【答案】c

【解答】解：如图，设RQ/BC的三条边48=c,AC=b,BC=a,

■：AACG,NBCH,尸是等边三角形，

1

Si=SAACG-S5="^-b-S5,S3=S^BCH-$6=-$6,

44

22

S1+S3=®(a+b)-&-S6,

4

:S2+S4=S^ABF-S5-S6=叵2

-Ss-S6,

4

c2=a2+b2,

「•S1+S3=82+84,

二.填空题（共3小题）

6.如图，在△Z8C,乙4cB=90。，分别以三边为直径向上作三个半圆.若4B=5,AC=4,则阴影部分

【解答】解：VAACB=90°,AB=59AC=4,

2222

BC2+AC2=AB2，BC=7AB-AC=7B-4=3，

SKABC-^BC・AC=_Lx3x4=6,

22

设以5C为直径的半圆的面积为S1,以为直径的半圆的面积为S3,以/C为直径的半圆的面积为S2,

Si=—n*()2=_2Lj9C2,S2-—TI*(i4c)2=-H-AC2,S3-—n*(XAB)2=JI-AB2,

228228228

222

・二S阴影=S2+S1+S/5C-S3=(BC+AC-AB)+SLABC=S^ABC=6,

8

故答案为：6.

7.如图，在一个长方形草坪N8C£＞上，放着一根长方体的木块.已知/。=12米，N8=8米，该木块的较

长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程

【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后43方向上线段长度变长，长度为/8+1+1=8+2=1

0米，BC=AD=12ABLBC,

•■•^c=Vio2+i22=2V6i(米)，

故答案为：2闹.

8.如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学

家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.如果图①中的直角三角形的长直角边

为7cm,短直角边为3c〃z,连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为J2

［答案］32.

【解答】解：由题意得：BD=1cm,AB=CD=3cm,

BC=7-3=4(cm),

由勾股定理得：AC=A/AH2+HC2=(。加)，

，阴影的周长=4(48+/C)=4x(3+5)=32(cm).

9.如图，在△48C中，ZC=90°,AA=30°,AB=4cm,动点P、。同时从/、3两点出发，分别在/

3、8C边上匀速移动，它们的速度分别为。=2c〃?/s,VQ=lcm/s,当点尸到达点3时，尸、0两点同时

停止运动，设点P的运动时间为ts.

(1)当/为何值时，△尸3。为等边三角形？

(2)当:为何值时，△PB。为直角三角形？

(2)，=L

【解答】解：在△/BC中，•.•乙C=90。，AA=30°,

...48=60°.

---44-2=2,

...0W/W2,BP=4-2t,BQ=t.

(1)当AP=20时，△尸3。为等边三角形.

即4-2f=t.

4

-t=~•

3

当t4寸，△尸3。为等边三角形；

(2)若△尸80为直角三角形,

①当450尸=90。时，BP=2BQ,

即4-2/=2t,

.”=1.

②当乙2尸0=90。时，BQ=2BP,

即/=2(4-2,)，

.8

=

-t~5•

即当或，=1时，APB。为直角三角形.

10.如图，等腰直角三角板如图放置.直角顶点3在直线CD上，分别过点/、E作直线CD于点C,

直线CD于点D

(I)求证：CD=AC+ED.

(2)若设△/5C三边长分别为.、b、c,利用此图证明勾股定理.

［解答］证明：(1)：乙4BC+乙EBD=90°,

乙ABC+乙BAC=90°,

(BAC=/LEBD,

■■△4BE是等腰直角三角形，

1'AB=BE,

在AABC与ABED中,

，ZBAC=ZEBD

,ZACB=ZBDE，

AB=BE

.・.NABgXBED(AAS),

：.BC=DE,BD=AC,

CD=BC+BD=AC+ED；

(2)由(1)矢口，DE=BC=a,BD=AC=b,

11«19

一.S梯形=q(软+b)(a+b)而4+ab+*yb，

又S梯形ZCQE=S»BLS»BE+SpDE

=^+yc2+yab

=ab^—r2,

2

.12,1,2-I2

,,'a+Jabqb=ab+5c，

a2+b2=c2.

11.如图，铁路上/,5两点相距25痴，C,。为两庄，DAIAB^A,已知£U=15左m,C

B=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站£,使得C,D两村到E站的距离相等.

问：(1)在离/站多少机处？

(2)判定三角形DEC的形状.

D

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)丫使得C,D两村到E站的距离相等.

-'-DE=CE,

-：DAVAB^-A,CBUB于B,

J.4/=乙8=90°,

.-.AE2+AD2=DE2,BE1+BC1=EC2,

：.AE2+AD2=BE2+BC1,

设/£=x,贝i]5E=NB-4£=(25-x),

DA=15km,CB=1Okm,

.*.X2+152=(25-x)2+102,

解得：x=10,

-"-AE=\0km；

(2)△DEC是直角三角形，理由如下:

•••△DAE"AEBC,

/_DEA=/-ECB,/_ADE=乙CEB,

ADEA+AD=9Q°,

:.乙DEA+匕CEB=90°,

ADEC=90°,

即△OEC是直角三角形.

12.今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如

图，台风“烟花”中心沿东西方向N8由/向8移动，已知点C为一海港，且点C与直线N3上的两点

4、8的距离分别为NC=300而1,BC=400km,又AB=500km,经测量，距离台风中心260左根及以内的

地区会受到影响.

(1)海港C受台风影响吗？为什么？

(2)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？

(2)台风影响该海港持续的时间为典小时.

7

【解答】解：(1)海港C受台风影响，理由:

AC=300km,BC=400km,AB=500km,

.-.AC2+BC2=AB2,

・・・△/5C是直角三角形，AACB=90°；

过点C作CDL4B于。，

•••△ABC是直角三角形，

\ACxBC=CDxAB,

.•.300x400=500x0),

CD=240(km),

•••以台风中心为圆心周围260的?以内为受影响区域，

，海港C受台风影响；

（2）当EC=260前，FC=260bw时，正好影响C港口，

22

■■■ED=VEC-CD=72602-2402=100（.）,

EF=2ED=200km,

•••台风的速度为28千米/小时，

.•.200528=蚂（小时）.

7

1.（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知乙，。3=90。，

点。为边的中点，点/、3对应的刻度为1、7,则CD=（）

D/\B

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【答案】8

【解答】解：由图可得，

AACB=90°,A8=7-1=6（的），点。为线段AS的中点，

CD==3cm,

2

故选：B.

2.（2022•永州）如图，在RtZUBC中，248c=90°,4c=60。，点。为边NC的中点，BD=2,则8C

的长为（）

【解答】解：在RQ48C中，Z^5C=90°，点。为边NC的中点，BD=2,

：.AC=2BD=4,

ZC=60°,

Z.A=30°,

：.BC=XAC=2,

2

故选：c.

3.（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形

纸片，面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的

三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

【答案】3

【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时，围成的直角三角形的面积是近,迎=退_,

22

当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时，围成的直角三角形的面积是正又如二垣;

22

当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时，围成的三角形不是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是2,2,4时，围成的直角三角形的面积是亚2Hz=1_,

22

・••所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2,3,5,

故选：B.

4.（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒.若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点/爬

到顶点8去觅食，则需要爬行的最短路程是（）

B.2C.V5D.3

【答案】C

【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段的长，如图:

••,正方体棱长为1,

二.BC=1,AC=2,

■■AB=7AC2+BC2=A/22+12=烟'

.•・需要爬行的最短路程为遥；

故选：C.

5.（2023•攀枝花）如图，在△NBC中，44=40。，AC=90°,线段45的垂直平分线交45于点。，交4

【解答】解：.••乙C=