湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（原卷版）

高三数学试卷试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试装、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知b，，虚数是方程的根，则（）A. B. C.4 D.23.已知向量，，若，则（）A2 B. C.1 D.04.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（）cm.A. B. C. D.5.已知随机变量，且，则的最小值为（）A.5 B. C. D.6.已知某圆台上下底面半径分别为2.5和6，母线长为7，则该圆台内能放入最大球的表面积为（）A. B. C. D.7.设函数，若，则a，b满足的关系式为（）A. B. C. D.8.小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现1点的率为，他掷了k次骰子，最终有6次出现1点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数，现以使最大的N值估计N的取值并计算.（若有多个N使最大，则取其中的最小N值）.下列说法正确的是（）A. B.C. D.与6的大小无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的极小值点为1B.有三个零点C.点为曲线的对称中心D.过点可以做曲线的两条切线10.受潮汐影响，某港口5月份每一天水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的关系都符合函数（，，，）.根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于2.5米，否则该船必须立即离港，一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划于5月10日进港卸货（该船进港立即可以开始卸货），已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米（不计船停靠码头和驶离码头所需时间）.下表为该港口5月某天的时刻与水深关系：时刻2：005：008：0011：0014：0017：0020：0023：00水深/米1074710747以下选项正确有（）A.水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的函数关系为，B.该船满载货物时可以在0：00到4：00之间以及12：00到16：00之间进入港口C.该船卸完货物后可以在19：00离开港口D.该船5月10日完成卸货任务的最早时间为16：0011.已知圆，过点向圆引切线，切点为，记的轨迹为曲线，则（）A.曲线关于轴对称B.在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为C.的渐近线为D.当点在上时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，若的系数为，则_____.13.M、N分别为曲线与直线上的点，则的最小值为______.14.将椭圆上所有的点绕原点逆时针旋转角，得到椭圆的方程：，椭圆的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C大小；（2）若，，求AB边上中线长.16.已知平面内一动圆过点，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若过点的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.17.某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复.（1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率.（2）记王同学第天去餐厅用餐概率，求；（3）求九月（30天）王同学去餐厅用餐的概率大于去餐厅用餐概率的天数.18.已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求a的值；（3）求证：，.19.类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面S和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.（1）写出坐标平面的方程（无需说明理由），并说明平面截曲面所得交线是什么曲线；（2）已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上（即