2025年中考数学复习复习：几何问题解法讲解之二倍角三倍角问题

第6章二倍角、三倍角问题

第1节一倍角、中点、60。角

1.【8上】【☆☆☆】△ABC,中线CD,/A=2/B,/ADC=60。,求NA.

【简释】a2a

【法1】正△CDE,CE〃AB,两个a,绿△三[SAS]/EBD=/A=2aanEB=EC=ED,a=30。（或

先父，后正△）

[法2][2倍角等腰法】AE=AC,CH_L平分BE,令HD=m,HA=n则DB=AD=m+n,HE=HB=2

m+n,AE=2m=AC=CD【法3】/ACD=120。-2a=2/BCD,【2倍角等腰法】AC=CE

【8字等高法】AH=BT,蓝灰△三【边锐角】EH=CT

故CE=HT=2HD=AD=AC,IEAACD

【法4］正4BDK,灰绿△=【SSS】，CD〃KB,三个P,KC=KB=KD正4CDK,p=3（T=a（或先

0，后正△）

【法5】E、B关于CD对称，正△ADE,AE〃CD,三个p,AC=AE=AD

［法6］CH,AD,中位线DE,两个a,斜边中线EH=EA,两个2a

故EH=HD,CD=2HD=2EH=AC,RACD

第2节二倍角三折腰等腰法

2.[8上】【☆☆】四边形ABCD的又寸角线交于E,BC=CD,/ADB=2/ABD,NDAC=2NBAC,AC=2,求AD.

HG=1,令GD=k=GF,FH=k—1

HD=k+l=HB,BF=2=AD

3.【8下】【☆☆】△ABC,CD=BE=2,D、E分另!!在AC、AB上2BDE=30°,NABC=2NACB=4/DBC,求AB.

绿4三[HL]ABDH中,a=15°

BC=2+2V3MB=1+V3

4.【8上】[☆☆]在4ABC中,AB=AC,AD〃BC,NADC=30o,/ABD=2NDBC,求/ABD.

5.【8下】【☆☆☆】四边形ABCD,AC=AD,AABD=30°,Z/1CB=2/2BC,BC=V3,CD=1,求BD.

【简释】

【二倍角等腰法】EA=EB

两个%两个中垂线EF,高AG

AG=0.5XB=AF

黄A三（HL"AED=60°

a+0=150°,ABDH中,.BD=小

6.【8下】【☆☆☆☆】C是4ADB外一点,AB=AC,NBAC=30o,/DBA=2NDAB,NCDA=15C)o,DE_LAB于E,DE=

【简释】两个a

【法1]令BE=k,G、B关于DE对称,,AG=GD=V1+/c2

=+灰蓝丽W冷烂牛

AC=Q.SAD2=0.5(DE2+AE2)=1+fc2+ZcVl+k2

2k+V1+fc2=1+fc2+fcVl+/c2,(1-k)2-(1-k)Vl-k2=(

(1—fc)(l—fc—V1—A:2)=0

k=l今4E=1+VX或1-k-V1-k2=0=>fc=0(舍)

【法2】G、B关于DE对称,中垂线GH,灰黄△三[AAS]

PB=AF=0.5AD=DH,蓝△三【HL】，等腰RtABDG(略)

【法3】△ADC外心ACF,NFAB=90°,NFAD=NFDA=90°-a/AFD=2a,作FG=BD,绿△=

[SAS]AD=AG,两个90。一a/FAB=4a=90。(略)

【法4】G、B关于DE又寸称,DF〃AC,DF=2DE=2,蓝黄△-[AA]

AD2=FD-AC=2AC,1+k2+/cVl+k2=2k+71+余同法i,略)

【法5】F、A关于CD对称，正.△4DF灰黄△三[SAS]AG=AF=AD两个

3a=ZBAG,AABG中,8a=180°（略）

第3节二倍角计算法

7.【8上】【☆☆☆】四边形ABCD,AB=AC.^BAC=乙BDC=120°„E在BC上,NG4E=2/CBD,求证:AE+ED=A

C.

【简释】

【三等腰法】AF=AC=AB,a,2a

【法1]120。-2a,a与a+30°,90°-a/BFC=120°,灰.-AS)蓝A三[SAS]ED=EF,

AE+ED=AE+EF=AF=AC

【法2】两个30°-a,两个2a,作AG=AE,灰&三(SAS')两个30。,两个60。正4CDF.^A三[SAS]G

F=ED,AE+ED=AG+GF=AF=AC

8.【8下】【☆☆☆】△ABC,D在AB上.NBDC=120O/BCD==9,CD=8,求BC.

【简释】

【法1】N乙BCD=2/.ACD=2a,/.ABC=60°-2a,^CAE=60。+a=zC/EAZBEC=60°+a=ZB

CE,BC=BE=9+2m,中垂线(CH=4V3(9+2m)2-(9+m)2=48,m=2,BC=13NADHBC

构型“7/8/13”】

【法2】O、A关于CD对称,O是ABCD内心,AD=OD=2MD=2DN=2m

CH=CN=8-m,BH=BM=9-3m,(l7-4m)2-(l3-2m)2=48

m=l,BC=13

9.【☆☆☆☆】AABC,中线BD,ZABC=60°,E在BC上,NABD=2/BAE,BD=7,BE=2,贝！］CE=().

【简释】

a,2a,60°—2a,两个60°+a,BN=BD,中位线DN今AE=AF

中垂线AH,灰绿。［44)高=券

28m=AF2=3(m+2)2+m2,m2—4m+3=0

m=l,CE=8.左图］^m=3,CE=4.右图U

10.【8下】【☆☆☆】ZkABCD、E分别在BC、AC上,AD=CD,/ADE=60°,NCDE=2/BAD,BD=8,DE=7,求AE.

【简释】

a,2a^j(60°—a),/BAC=60°

【法1】P=60°+a,正△ADF,截AG=AB,黄△三［SAS］FE=FG=BD=8

AF=DF=15,【解△AEF构型“8/15/13"】AE=13

【法2】黄。［44］案=器=*40=CD=7m,DF=8m

【解△ADF］AF=13m,【美人鱼】△EDA^AEAF［AA］

—==13

DEAD7

第4节二倍角旋转法

11.【8下】【☆☆】四边形ABCD,NACD=2/ABD=60°,NBAC=2NADC,BD=6,求CD.

【简释】【旋转法】

【法1】CE=BD=6,蓝黄△三［SAS］AE=AD,ZCDE=90°,CD=V3

【法2】AE=AD,灰绿三［SASICD=BE=3用

【法3］正^ACE,两个60。一出灰4三［SAS］两个12(r,DE=FD=FB=V33(略

第5节二倍角平移法

12.【8下】【☆☆☆】△ABC,DSE分别在BC、AC上,BD=AC,/ABC=2/CDE,AB=CD+CE,求/BAC.

【简释】

【平移法】BD平移到AFQABDF,则AF=AC,作CG=CE蓝黄△三［SAS］EF=EG,

【平行线与角分线】灰绿△三［SAS］EF=FG,1EAAEG,AF//BG,2a+2p=60°,ZBAC

=120°

第6节三倍角计算法

13.【☆☆】AABC,D^BC±,ZBAD=120°,ZC=3ZCAD,AB=ll,BC=25.^<sinjzS.

【简释】

14.【☆☆☆】AABC,