2024年广东省某中学高三数学高考三模试卷（附答案解析）

2024年广东省潮阳实验高三数学高考三模试卷

本卷满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.下列命题是真命题的是()

A.两个四棱锥可以拼成一个四棱柱B.正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形

C.经过不共线的三个点的球有且只有一个D.直棱柱的侧面是矩形

2.已知全集"=孔集合A={x|尤一2一2-15},2={x[或*22},则41aB=()

A.-1,21B.^—3,——C.(—3,3]D.(2,3]

3.己知z是虚数，z?+2z是实数，则2的()

A.实部为1B.实部为-1C.虚部为1D.虚部为-1

4.已知数列{3%}是公比为3“，的等比数列，S,是数列{册}的前"项和，则》=()

A.1B.-C.一D.3

22

5.在△ABC中，已知a=acosB+Z?cosA=1,sinC=,贝1()

2

A.b=lB.b=^2C.c=y/2D.c=6

6.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该

构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85,当第一次没有受损时第二次实施打击也没

有受损的概率为0.80,则该构件通过质检的概率为()

A.0.4B.0.16C.0.68D.0.17

7.已知平行六面体中，AAi=2,BD=3,AQ「£>C-A4-8C=4,则COS(AVBD)=()

2233

A.B.C.D.

3344

8.若存在直线与曲线/(%)=丁-彳g(x)=f+a者B相切，则a的范围为()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分

9.甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3,4,5,5,8,乙同学参加了7

场，得分是3,3,4,5,5,7,8,那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是()

A.得分的中位数甲比乙要小B.两人的平均数相同

C.两人得分的极差相同D.得分的方差甲比乙小

10.已知圆Gd+y2=l,圆C2：(x-3)2+(y+4)2=产(r>0),P、Q分别是圆G与圆C2上的点，则()

A.若圆C]与圆C?无公共点，贝|0<r<4

1

B.当r=5时，两圆公共弦所在直线方程为6%-8丁-1=。

7

C.当〃=2时，则斜率的最大值为-

72T4

D.当r=3时，过尸点作圆C,两条切线，切点分别为A,B,则NAPS不可能等于1JT

11.已知函数〃力的定义域为R,/(x+y)+2移=〃x)+/(y),〃i)=2,则()

A.f(o)=oB./(-2)=-10

c.y=/(x)+f是奇函数D,、=/(%)-炉是偶函数

三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.

12.(x-2y+l)5展开式中含尤2y项的系数为.

13.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为小弓，且

T2=l,则它的内切球的体积为.

22

14.椭圆C:当+1=1(。>6>0)的左、右顶点分别为A8,点尸在椭圆上第一象限内，记

矿b

NPAB=a/PBA=0,存在圆N经过点P,A,8,S.NA-NB=0,tana+tan]3=8,则椭圆C的离心率

为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，四面体ABCO中，E是8C的中点，CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=y/2

(1)求异面直线AB与C。所成角余弦值的大小；

(2)求点E到平面ACD的距离.

2

16.已知函数"X)=lnx-or,g(x)=一,a^0.

ax

⑴求函数/(x)的单调区间；

⑵若/(x)Wg(x)恒成立，求。的最小值.

17.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且

至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10：10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局

比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地

均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为乙发球时甲得分的概率为:，各球的比赛

2

结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.

2

(1)若每局比赛甲获胜的概率P=§,求该场比赛甲获胜的概率.

(2)已知第一局目前比分为10：10,求

(i)再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(ii)第一局比赛甲获胜的概率P。；

18.如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取

一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上

点尸处，用铅笔尖扣紧绳子(使两段细绳绷直)，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时

笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3,经测量，当笔尖运动到点P处，此时，

NE4P=30。，NAFP=90。.设直尺边沿所在直线为。，以过尸垂直于直尺的直线为x轴，以过下垂直于a

的垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C的方程;

(2)斜率为左的直线/过点。(0,-3),且与曲线C交于不同的两点N,已知左的取值范围为(0,2),若

DM=2N，求力的范围.

19.定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制:

满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满

几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若％是一个大于1的整数，那么以上为基数的上进

制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式

a„a„_i-每恤)(q，an_v--,ai,ao&N,O<an<k,O<an_x,q,4〈人)Z进制的数也可以表示成不同位上数

32

字符号与基数的事的乘积之和的形式.7342(8)=7x8+3x8+4x8*+2x8°.

定义2三角形数：形如1+2+3++m,即g加(相(根eN*)的数叫做三角形数.

(1)若“"…上是三角形数，试写出一个满足条件的。的值；

9个a

(2)若11111㈤是完全平方数，求启的值；

(3)已知％=上上，设数列｛%｝的前"项和为S“，证明：当”>3时，S,>生3

〃个12

3

1.D

【分析】利用空间几何体的结构，依次分析选项即可得到答案.

【详解】对于A,两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A错误.

对于B,正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B错误.

对于C,经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C错误.

对于D,直棱柱的侧面是矩形，D正确.

故选：D

2.A

【分析】解集合A中的不等式，得到集合A,由集合B得乐8,再求A*B.

【详解】不等式》一2/2-15解得一二A=-|,3,

8=｛尤|x4-3或xN2｝,则63=(-3,2),

Ac”=一别.

故选：A

3.B

【分析】设虚数z=a+历)。0),直接利用复数的运算求出结果.

【详解】设虚数z=a+Ai(a,b，R,bwO),

贝Uz2+2z=(a+Z?i)2+2(々+历)=〃—b2+2a+2〃(a+l)i,

而z?+2z是实数，故%(〃+1)=0,得到a=—l.

故选：B.

4.D

【分析】利用己知可得。“一%7=可，进而可得数列｛《,｝为公差为生的等差数列，计算可求》的值.

【详解】根据题意康1=3%一=3"'("22),可得%—a“_|=4("之2),

5x4q

则数列｛«„｝为公差为生的等差数列，所以反=।2=3•

a5ax+4q

故选：D.

5.B

【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角互化，求得J再根据三角形等腰，求得与，结合勾股定理

即可求得结果.

【详解】6zcosB+Z?cosA=l,即2R(sinAcosB+sin_BcosA)=l,也即2Rsin(A+_B)=l,2RsinC=l,即

c=l；

又sinC=^,CG(O,7T),故C=5或个；又°=c=l,故4=(7,显然4=。=力则2=兀-===,&

2744422

4

ABC为等腰直角三角形，

故从=（?+C2=2,解得b=

故选：B.

6.C

【分析】运用概率乘法公式求解即可.

【详解】设A表示第i次打击后该构件没有受损，;1,2,

则由已知可得P（A）=0・85,P（AIA）=0.8,

所以由乘法公式可得P（AA）=尸（A）尸（4IA）=0.85x0.8=0.68,即该构件通过质检的概率是0.68.

故选：C.

7.B

【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求AV3D,结合向量夹角公式可求结论.

【详解】因为AD［•£＞（7-AB1-8C=（AO+A4j.A3-（AB+A4）A。

=ADAB+AAlAB-ABAD-AAlAD=AAl^AB-AD'\=AAiDB=4

所以AVBDuT,

AA.BD-42

cosAA],BD=

I词悭I2^33,

故选：B.

8.A

【分析】利用导数分别求得与〃x）,g（x）相切的切线方程，可得,?：；［］，进而可得

931

a=白：-2x：-；尤：+；有解，从而利用导数可求。的范围.

424

【详解】设直线与相切与点（如因为/'（x）=3f_l,

所以切线方程y-（片一玉）=（3^-1）（%-%））,即y=（3x；-l）x-2%f,

设直线与g（x）相切与点6芯+"），

5

因为g'（x）=2x2，所以切线方程，-（%+。）=2*2（%-々），即y=2x?尤-x；+a,

2X2-3x；-1

—%2+a=-2x；

所以Q==广；11_2"；="|x：_2x；_'|x；+；有解，

aQi

令/i（x）=WX4-2x3-2%2+4,"（%）=9%3一612-3%=3%（3%+1）（%-1）,

所以函数妆X）在（f-£|,（0,1）上单调递减，在「，°），（1，+8）上单调递增，

因为为（1）=一1，d$，所以3）皿=硝）=一1，所以心T，

•'-a的范围为［-L+00）.

故选：A.

【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标,

利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解.

9.BCD

【分析】由中位数，极差的概念即可判断AC,由平均数、方差计算公式可分别判断BD.

【详解】对于A,甲的得分中位数是5,乙的得分中位数是5,故A错误；

_LTe”/1，、-i-rjiELi=i3+4+5+5+825_,,丁口3+3+4+5+5+7+8_,,

对于B,甲的得分平均数是-----------=5,乙的得分平均数是----------------------=5,故B

557

正确；

对于C,甲的得分极差是8-3=5,乙的得极差是8-3=5,故C正确；

对于D,甲的得分方差是gx［（3-5/+（4-5『+（5-5/+（5-5『+（8-5）1=弓，

乙的得方差是9［（3_5）2+（3—5）2+（4_5）2+（5_5）2+（5_5）2+（7_5『+（8_5）〔=弓>3>4，故D正

确.

故选：BCD.

10.BC

【分析】对于A,当两圆内含时即可判断错误；对于B,两圆方程相减即可验算；对于C,画出公切线

通过数形结合即可验算；对于D,画出圆CZ两条切线，通过数形结合即可验算.

【详解】对于选项A,当两圆内含时，「可以无穷大，所以A不正确；

当r=5时两圆相交，两圆的方程作差可以得公共弦的直线方程为6x-8y-l=0,所以B为正确选项；

对于选项B,当r=2时如图，

6

P。和8为两条内公切线，且CDx=l,

CA14

由平面几何知识可知8=4,而W,CA二'

32tan/C]AC24z17

所以可得tan/£AC=_,tan/PAC=-----，kPC=-----------------------

41-tanVqAC7PQtm^PAC24

7

即尸。斜率的最大值为-三，C选项正确;

24

对于D选项，如图，

点P在片位置时6c2=4<3A/2,ZA^C2>:,

点尸在£位置时P2C1=6>3五,ZBP2C2<E,

所以中间必然有位置使得NBPA=g7T,故D错误.

故选：BC.

【点睛】关键点睛：判断CD两选项的关键是准确画出图形，通过数形结合即可顺利得解.

11.ABC

【分析】x=y=O求得/(0),判断A,再令x=y=l求得/(2),从而令尤=一2,〉=2,可得了(—2),判断

B,已知等式变形为/(x+y)+(x+y)2=〃x)+x2+/(y)+y2,令g(x)=/(%)+/，则

g"+y)=g(x)+g(y)，由赋值法得g(M是奇函数，判断c,再计算出g(-2)+g⑵,判断D.

【详解】令尤=y=o,可得/(o)=o,故A正确；

令x=y=l,可得"2)=2,令x=-2,y=2,可得/⑼-8=/(2)+/(-2),则/(-2)=-10,故B正确;

由f(x+y)+2孙=〃x)+/(y),可得〃x+y)+(x+y)2=/(x)+f+/(、)+；/,令g(x)=/卜)+/，

7

则g(x+y)=g(x)+g(y),令犬=〉=0,可得g(O)=O,令)=一%贝i|g(o)=g(x)+g(—x)=。，所以g(x)

是奇函数，即y=/(x)+V是奇函数，故c正确；

因为/(2)—22彳/(一2)-(—2)2,所以y=/(x)—f不是偶函数，故D错误.

故选：ABC.

12.-60

【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】(x-2y+l)5=[l+(x-2y)]5,

设该二项式的通项公式为&1=/『.。_2月’=CKx-2y)’，

因为尤为的次数为3,所以令厂=3,

二项式(x-2»的通项公式为T；,+l=C；.(一2y)',

令/=1,

所以项的系数为2)=-60,

故答案为：-60

13.加

3

【分析】利用已知条件求得圆台的母线长，进而根据勾股定理求得圆台的高，即内切球的直径，最终利

用球体体积公式求解即可.

【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，。，C分别为上、下底面的圆心，点0

为内切球的球心，点E为球。与圆台侧面相切的一个切点.

CD=y/AB2-(BC-AD)2=&+-(4-j=2.

因此可得：内切球半径『=与m=1,即得内切球的体积为千4口3=?4兀.

47r

故答案为：

14.迪##2正

33

8

b2

【分析】根据给定条件，利用和角的正切求得⑥1&4=-9,再设出点P,结合斜率的坐标公式求出」即

CT

可求出离心率.

【详解】显然直线PA,PB斜率都存在，且kPA=tana,%=-tan£,

由乂4-M5=O，得/AA®=90=，

2

,/…八/c、tana+tan£tana+tan£,八

则tanZA尸3=-tan（a+/）=-；-----------=--------=1,而tana+tan£=8,

1-tan-tanp1+kPB-kPA'

2

于是kpB，kpA=_9,设尸（x。,%）,则

b

因此L•即8=白；-弋；=事¥=一（=一9,解得4=1，

x0+bx0-bx0-bba9

所以椭圆c的离心率为e

故答案为：空

3

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得“，c得值，根据离心率的定义求解离心率，；

②齐次式法：由已知条件得出关于a，。的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解;

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

15.⑴包

4

⑵与

【分析】（1）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案;

（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.

【详解】（1）取AC的中点连结OM、ME、0E,

9

由E为BC的中点知ME//AB,OE//DC,

则直线0E与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角,

在VOME中，EM=-AB=—,OE=-DC=l,

222

因为是直角.AOC斜边AC上的中线，则OM=』AC=1,

2

OE2+EM2-OM2上

可得cosNOEM=

2OEEM一4

所以异面直线与所成角的余弦值为史.

4

(2)设点石到平面ACD的距离为瓦

=

因为^E-ACDVA—CED，即耳,力•SyACD=耳,AOtSycED,

在ACD中，CA=CD=2,AD=yl2,可得$公及=；x0x,2?—(孝了=弓,

且AO=1,SCE»=；X括xl=¥，可得力—二*~=理，

为

所以点E到平面AC。的距离为回.

7

16.(1)答案见详解

【分析】(1)求导后，利用导数与函数单调性的关系，对。>0与。<0分类讨论即可得;

(2)结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【详解】(1)f'(x}=--a=^^(awO),

XX

当”0时，由于x>0,所以03>0恒成立，从而“X)在(0,+8)上递增；

10

当a>0时，0<x<L>0；x>—,r(x)<0,

从而〃x)在d上递增，在［川递减；

综上，当4<0时，/(x)的单调递增区间为(0,+8),没有单调递减区间;

当0>0时，”尤)的单调递增区间为(of,单调递减区间为

2

(2)令//(尤)=〃x)-g(x)=lnx-ox---,要使/(x)Wg(x)恒成立，

只要使/?(x)W0恒成立，也只要使故司1raxW0.

“⑺」-〃+3」(办+1)产一少

xaxax

若a>0,x>0,所以ax+l>0恒成立，

29

当0<x<—时，/z7x)>0,当—<%<+8时，/z7x)<0,

aa

可知/?(x)在［o,1［内单调递增，在［-001内单调递减，

所以〃(xLx=d2］=ln2-3W。,解得：a>^,

\a7ae

2

可知〃的最小值为不；

e

若〃<0,x>0,所以or-2Vo恒成立，

当0<%v——时，当——〈犬<+oo时，/zr(x)>0,

可知在1o,-。内单调递减，在内单调递增，

所以/©)在(0,+8)内无最大值，且当X趋近于+8时，妆”趋近于+8,不合题意;

综上所述：〃的最小值为彳2.

e

17.⑴”

81

72

(2)(i)分布列见详解，£(%)=-；(ii)p0=w

【分析】(1)由五局三胜制的规则，可知丫的所有可能取值为3,4,5,求出对应概率相加即可求得甲获

胜的概率为粤；

81

(2)(i)易知X的所有可能取值为0」,2,根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值;

2

(五)根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得Po=］.

11

7

【详解】（1）因为甲每局获胜的概率均为（，根据五局三胜制的规则，

设甲获胜时的比赛总局数为乙因为每局的比赛结果相互独立，

所以y的所有可能取值为3,4,5,

可得P（1）=C；xL$,尸『5）=40,口噂

64

故该场比赛甲获胜的概率尸=尸（丫=3）+尸"=4）+尸（y=5）=7T.

ol

（2）（i）依题意，X的所有可能取值为。,1,2

_1

设打成10：10后甲先发球为事件A,则乙先发球为事件印，且尸（A）=P（A）=5,

__1111111

所以P(X=O)=P(A).P(X=O|A)+P(A>P(X=0|A)=_x_x_+_x_X-=-,

2322236

尸尸⑷-尸尸㈤・尸同11211<1112

(X=l)=(X=1]A)+(X=I1x—x——i——x—+—X：—x-+—x—

32322{2323-2

__1211121

P(X=2)=P(A>P(X=2|A)+P(A>P(X=2|A)=—x_x_+_x_x_=_.

2322233

iii7

故X的均值为石(X)=0X%+1X5+2X§=%

（ii）设第一局比赛甲获胜为事件B,则P（3|X=O）=O,P（5|X=1）=P（5）,P（5|X=2）=1.

由(i)知，P(X=0)=1,P(X=1)=1,P(X=2)=1，

由全概率公式，得P（B）=P（X=0）P（3|X=O）+P（X=l）P（3|X=1）+P（X=2）P（3|X=2）

=：x0+；尸⑻+；,

o23

72

解得P（3）="即第一局比赛甲获胜的概率p°=§.

18.(l)/=3x

（2）（0,1）0（4,+oo）

4

【分析】（1）根据题意，得到笔尖留下的轨迹为以R为焦点，直线。为准线的抛物线，结合抛物线的定

义，即可求得其轨迹方程；

（2）设直线/的方程为＞=依-3,联立方程组，利用根与系数的关系，结合共线向量的坐标表示，得到

%=4%,列出函数关系式，结合二次函数的性质得出不等式，即可求解.

【详解】（1）由题意，笔尖到点歹的距离与它到直线〃的距离相等，

12

所以笔尖留下的轨迹为以F为焦点，直线。为准线的抛物线,

设其方程为y2=2px(p>0),则峭,0),

因为NE4P=3O°,ZAFP=90°,且|即+俨司=3,

可得|四=2|P尸\PF\=1

由NFR4=60。，可得点尸的横坐标为

22

又由抛物线的准线方程为彳=-£,则与-1+4=1，解得P=［，

22222

所以曲线C的轨迹方程为/=3x.

(2)假设存在力,使得DM=；LDN，

设M(xt,%),N(X2,%),直线/的方程为>=依-3,

y——3

{；2：3尤,整理得人42-(6k+3"+9=0,且上式0,2),

6k+3Q

贝!JA=[—（6k+3）]2-36k2=36左+9>0,贝|%+%=，/+%=记

6Z+32

可得至+三+2=（%+々）2=Y_=±+1+4,

x2玉2kk

由。M=/ION，可得%=2%,即％=所以2+g=£+：+2,

111417

令/=1£（/,+8）,